1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 109 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （A）（B）（C）（D）2 已知 对任意的正整数都成立，则 an 。（A）（B）（C）（D）3 甲、乙两台车床 3h 共生产某种零件 210 个两台车床同时生产这种零件，在相同时间内甲车床生产了 666 个，乙车床生产了 594 个甲、乙两台车床每小时生产的零件个数分别为 （A）33，37（B） 37，33（C） 99，111（D）111，994 一列火车通过一座长为 600m 的桥梁用了 15s，经过一根电杆用了 5s，此列火车的
2、长度为 m（A）150（B） 200（C） 300（D）4005 设 1 是底面直径与高均为 2R 的圆柱体， 2 是 1 的内切球体，K 1 是 1 与 2 的体积之比，K 2 是 1 与 2 的表面积之比，则 K1，K 2 的值分别是 ：（A）（B）（C）（D）6 从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 人担任班主任，这 3 位教师中男、女教师都有的概率是 （A）（B）（C）（D）7 下列 4 个式子中，对一切非零实数 x 都成立的是 （A）（B） lnx22lnx（C） arcsin(sinx)x（D）8 已知 a1，不等式 的解集是 （A）(1 ，)（B）（C） (a， )（D）9
3、 已知 x0，y0，且 x，a，b，y 成等差数列，x，c ，d，y 成等比数列，则的最小值是 （A）0（B） 1（C） 2（D）410 数列a n中， （A）（B）（C）（D）11 一个四边形的两条对角线互相垂直，它们的长度分别是 15 和 20，则四边形的面积为 （A）450（B） 300（C） 250（D）15012 AABC 中，A，B，C 的对边分别是 a，b，c已知 则B 等于 。（A）（B）（C）（D）13 已知 aR，函数 ，则下列命题为真命题的是 。（A）对一切 aR，f(x)在(0，)是增函数（B）对一切 aR，f(x) 在 (0，)是减函数（C）存在一个 aR，使 f(x
4、)是偶函数（D）存在一个 aR，使 f(x)是奇函数14 双曲线 的一支上有 3 个不同的点 M(x1，y 1)， 和 P(x2，y 2)，它们与双曲线一个焦点 F 的距离MF ，NF，PF成等差数列，则y1y 2 （A）24（B） 18（C） 12（D）615 如图所示，长方形 ABCD 中，阴影部分是直角三角形且面积为 54cm2，OB 的长为 9cm，OD 的长为 16cm，此长方形的面积为 cm 2（A）300（B） 192（C） 150（D）9616 设 f(x)可导，F(x)f(x)(1x)，若要使 F(x)在 x0 处可导，则必有 （A）f(0)0（B） f(0)1（C） f(0
5、)0（D）f(0)117 设 ，则 f(x （A）（B）（C）（D）18 函数 f(x)在a，b内有定义，其导数 f(x)的图形如图所示，则 （A）x 1，x 2 都是极值点（B） (x1，f(x 1)，(x 2，f(x 2)都是拐点（C） x1 是极值点，(x 2，f(x 2)是拐点（D）(x 1，f(x 1)是拐点，x 2 是极值点19 设 f(x)是( ，) 上的连续的奇函数，且满足f(x)M，其中常数 M0，则函数 是(，) 上的 （A）有界偶函数（B）有界奇函数（C）无界偶函数（D）无界奇函数20 设 (a0)，则必有 （A）b0，（B） c0，6（C） ca ，（D）cb a21
6、已知抛物线 ypx 2x(其中 p0)在第一象限内与直线 xy5 相切，则此抛物线与 x 轴所围的面积 S （A）4（B）（C）（D）22 设 A，B 为三阶矩阵，且A3，B2，A 1B2，则A B 1 （A）（B）（C） 2（D）323 已知向量 ( 1，1， k)T 是矩阵 A ，的逆矩阵 A1 的特征向量，则 k （A）2（B） 1（C） 0（D）124 a2 是向量组 1(1， 1，1，1) T， 2(1 ，0，a ，0) T， 3(1，2，2，a) T 线性无关的 （A）充分但非必要条件（B）必要但非充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件25 若 A，A *，B 都是
7、n 阶非零矩阵，且 A*是 A 的伴随矩阵，AB0，则 r(B) （A）1（B） n1（C）， 2（D）不能确定工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 109 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 n(n2)(n1)1(n1)1(n1) 21，即 n(n2)1(n1) 2，所以 故选 B2 【正确答案】 D【试题解析】 当 n1 时，由于 ；当 n2 时，由于，所以 ；当 n3 时，由于；归纳得 故选D3 【正确答案】 B【试题解析】 设甲车床生产 666 个零件所用时间为 t(h)
8、，则有 解得 t18，从而 即甲、乙两台车床每小时生产的零件个数分别为 37 和 33故选 B。4 【正确答案】 C【试题解析】 列车经过一根电杆用了 5s，这说明列车用 5s 走过它自己的长度，同时列车用 15s 走过它的全长再加 600m，因此列车走 600m 要用 10s，5s 走300m，因此列车长度为 300m故选 C5 【正确答案】 A【试题解析】 记 i(j1，2)的体积为 Vj，表面积为 Sj，则 V1R 2.2R2R 3，V 2 。 S 12R.2R 2R 26R 2， S 24R 2 由此得 平 故选 A6 【正确答案】 B【试题解析】 从 9 位教师中选 3 位，共有 C
9、93 种不同选法其中二男一女和一男二女的选法共有 C52C41C 51C42 种所求概率为 故选B 注意 若问 9 位教师选 3 位派到 3 个班任班主任，则有 C933!种不同派法其中男、女教师都有的派法有(C 52C41C 51C42)3 !种注意排列问题和组合问题的区别7 【正确答案】 B【试题解析】 所以 A 式子左端一定是非负数，而sin x可以是负数，A 不对一切非零实数成立 由反正弦函数的性质，(c)中式子只对 时，sinx1，而 arcsin(sinx)arcsin(1) ，所以不能选 (c) D 中式子左端 ，开方运算不是对x2 的所以 D 也不成立 只有 B 对一切非零实数
10、 x 成立 故选 B8 【正确答案】 B【试题解析】 设函数 ，两边平方得 x2y21，此函数的图像是等轴双曲线在 X 轴上方的部分(见图)，又设函数 ya x，其图像是与双曲线一条渐近线平行的直线，它与 y 轴交于点(0，a)直线与双曲线交点为 P，其横坐标为 x*当 xx *时双曲线图像在直线图像上方，故选 B如果从代数式子来看，使根式 有意义，必须x210，即x1若 xa，不等式自然成立若 xa，则不等式两边都大于零，同时平方得 x21a 22axx 2，解得 而根据均值不等式有所以解集为 故选 B9 【正确答案】 D【试题解析】 x，a，b ， y 成等差数列，所以 xyab x，c
11、，d ，y 成等比数列，所以 xycd 因x0，y0，由均值不等式有 当且仪当 xy 的等号成立 故选 D10 【正确答案】 C【试题解析】 可得到 同理推出 可以总结得 ，用数学归纳法易证：，所以 得证a n是首项为 ，公比为 的等比数列 故选 C11 【正确答案】 D【试题解析】 如图所示，设四边形为 ABCD，对角线 BD15，AC20，AC 与BD 交于 0四边形面积等于 SABDS BCD故选 D12 【正确答案】 D【试题解析】 由已知条件及正弦定理有 因为A C B，所以 sin(AC)sinB，得到 sinB(2cosC )0而sinB0，所以 故选 D13 【正确答案】 C【
12、试题解析】 若取 a0，则 f(x)x 2 为偶函数，所以 C 为真命题故选 C 注意 当 a0 时，f(x)x 2 在(0，) 不是减函数，故 B 为假命题 若取 a1，则时，f(x)0，f(x) 在(0，) 不是增函数，故 A 为假命题 而对所有 aR， f(x) f(x)x 2 2x 2，所以 f(x)f( x)不能恒成立，即 f(x)不是奇函数，故 D 也是假命题 故选 C14 【正确答案】 C【试题解析】 双曲线的实轴是 y 轴，设其焦点为 F(0，c) ，其中 c0(事实上c21213， c5)对应的准线 据双曲线的性质有 这里 e 是双曲线的离心率，而且设 M，N 和P 都在双曲
13、线的上半支上由等差数列性质 MFPF2NF， 所以有 y1y 212 故选 C15 【正确答案】 A【试题解析】 阴影部分直角三角形面积为 54cm2， OB9cm，因此 。 AABD 的面积等于 BD.AO，因此长方形面积为 BD.AO(B0OD).AO(916)12300(cm 2) 故选 A16 【正确答案】 A【试题解析】 要使 存在，必须，所以必须 f(0)0 故选 A 注意(1) ；(2)Eh f(x) 可导有 f(x)连续，所以 17 【正确答案】 D【试题解析】 设 ln(x1)U，则xe u1，于是 把上式代入(ln(x1)x 中得故选 D18 【正确答案】 D【试题解析】
14、在 x1 处，f(x)由单调递减变为单调递增，因此曲线 f(x)由凸变为凹，于是(x 1，f(x 1)是曲线的拐点；在 x2 处，f(x 2)0，f(x)的符号由负变为正，因此x2 是 f(x)的极小值点 故选 D19 【正确答案】 B【试题解析】 因 所以，F(x)是奇函数对任意 x0，)， 利用 F(x)是奇函数，当 X(，0)时，上面不等仍成立，这表明 F(x)在( ，)内是有界的，故正确选项为B 故选 B 注意利用结论：“如果 g(t)是连续的偶函数，则变限积分 是奇函数”来判断 是奇函数更为快捷，这是因为由题设 f(x)是(， )上的连续奇函数，显然， 是( ，)上的连续偶函数，因此
15、 为奇函数20 【正确答案】 A【试题解析】 在 f(ax)g(x)dx 中，令 axt ，则当 xa 时，t0，当，且 dxdt，因此有 所以有 ，b0 故选 A21 【正确答案】 B【试题解析】 因直线 xy5 与抛物线 ypx 2x 相切，所以它们有唯一的公共点，由方程组 得 px22x50，其判别式必等于零，即 2 24P(5)420p0从而得 抛物线开口向下而且与 x 轴的交点横坐标为 x10，x 25，因此，此封抛物线与 x 轴所围的面积为 故选 B22 【正确答案】 D【试题解析】 因为B2，所以 从而 A B 1 AEA 1B1ABA 1B 132 3 故选 D23 【正确答案
16、】 D【试题解析】 设 是 所相应的特征值，则 A1，于是 A，即 故选 D24 【正确答案】 A【试题解析】 1， 2， 3 线性无关 线性方程组 1， 2， 3 =0 只有零解r(1， 2， 3)=3。 当 a=2 时，r(1， 2， 3)=3，但当 a2时，r( 1， 2， 3)=3因此，a=2 是向量组线性无关的充分但非必要条件 故选(A)25 【正确答案】 A【试题解析】 因 B 是非零 n 阶矩阵，所以线性方程组 Ax0 有非零解，因而 r(A)n又因 A*是非零矩阵，所以 A 存在 n1 阶非零子式，因而 r(A)n1 线性方程组 Ax0 的基础解系中含有线性无关的解向量的个数等于 nr(A)1矩阵 B 为非零矩阵，它的每一列均为 Ax0 的解，因此 r(B)1 故选 A
