1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 112 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （A）（B）（C）（D）2 如果一直角梯形的周长是 54am，两底之和与两腰之：和的比是 2：1，两腰之比是 1：2，那么此梯形的面积为 cm 2（A）54（B） 108（C） 162（D）2163 某道路一侧原有路灯 106 盏，相邻两盏的距离为 36m现计划全部换为新型节能灯，两灯距离变为 70m，共需新型节能灯 盏（A）54（B） 55（C） 108（D）1104 修整一条水渠，原计划由 16 人修，每天工作 75h，6 天可
2、以完成任务由于特殊原因，现要求 4 天完成，为此又增加了 2 人，现在每天要工作的时间为 h（A）7（B） 8（C） 9（D）105 某单位招聘员工，报名表来自两个地区，各有 10 份和 15 份，其中女生的报名表分别有 3 份和 7 份今随机地选择一个地区，然后从该地区的报名表中抽出两份，抽到的两份都是女生报名表的概率是 （A）（B）（C）（D）6 在 的展开式中，x 5 的系数是 （A）28（B） 56（C） 28（D）567 已知复数 x 满足 i，则1z 。（A）0（B） 1（C）（D）28 下列函数中，存在反函数的是 （A）f 1(x)cos(x1)，x（B） f2(xsin(x1)
3、 ，x（C） f3(x) x24x1，x（D）f 4(x)x 22x1， x9 若不等式 的解集是(0，4，则 a 的取值范围是 （A）(， 0)（B） (，0（C） (，4)（D）(0 ，4)10 已知数列 的前 n 项和为 Sn，则 （A）（B）（C）（D）不存在11 已知 ，则 sinx （A）（B）（C）（D）12 平面直角坐标系中向量的集合Aaa(2 ，1)t(1 ，1)，tR ，B bb(1，2) t(1，2)，tR ，则 AB （A）(2，1)（B） (1， 2)（C） (2， 1)，(1，2)（D）13 设 r0在圆 x2y 2r 2 属第一象限部分的任意点作圆的切线，切线被两
4、坐标轴截下的线段长度的最小值是 （A）r（B）（C）（D）2r14 过双曲线 C： (a0，b0)的一个焦点作圆 x2y 2a 2 的两条切线，切点分别县 AB若坐标原占为 O，AOB 120 。刚双曲线的离心率为 （A）（B） 2（C）（D）315 已知一个圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱的底面半径也相等，则圆柱的全面积和圆锥的全面积之比等于 （A）（B）（C）（D）16 设 f(x)的定义域是1 ，0，则 f(sinx)的定义域是 （A）（B） 1，0（C）（D）17 设 f(x)为连续函数，且 J ，则曲线 yf(x)在 x2 处的切线方程（A）yx5（B） y2x7（
5、C） yx5（D）y2x718 在区间0 ，) 内，方程 （A）无实根（B）有且仅有一个实根（C）有且仅有两个实根（D）有无穷多个实根19 设 yy(x) 由方程 （A）2e 2（B） e2（C） 2e2（D）e 220 设 f(x)是连续函数，且满足方程 （A）0（B） 1（C） 3（D）421 抛物线 与其过点 P(1，0)的切线及 z 轴所围图形面积为 （A）（B）（C）（D）122 如果 的值为 （A）6（B） 9（C） 18（D）1823 设 A 为 mn 矩阵。B 为 nm 矩阵，E 为 m 阶单位阵若 ABE，则 （A）A 的秩为 m，B 的秩为 m（B） A 的秩为 m，B 的
6、秩为 n（C） A 的秩为 n，B 的秩为 m（D）A 的秩为 n，B 的秩为 n24 A 为 mn 矩阵，且 mn，Ax0 是 Axb 的导出组，则下述结论正确的是 （A）Axb 必有无穷多组解（B） Ax0 必有无穷多组解（C） Ax0 只有零解（D）Axb 必无解25 已知 A 是 4 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若 A*的特征值是 1，1，3，9，则不可逆矩阵是 （A）AI（B） AI（C） A2I（D）2AI工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 112 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案
7、】 B【试题解析】 因为 故选 B2 【正确答案】 B【试题解析】 设该梯形的两腰中短的长为 a，两底中短的长为 b因为两腰之比是1：2，所以另一腰长度为 2a如图所示，另一底长度为又两底之和与两腰之和的比是 2：1，所以：(a2a) 2：1，即 已知该梯形周长为 54cm，因此 2b 3a54(cm)，将 2b 6a 代入，解得 9a54(cm) ，a6(cm) 该梯形面积为 故选 B3 【正确答案】 B【试题解析】 根据题意，该道路长度为 105363780(m) ，于是所需新型节能灯数为 154155 故选 B4 【正确答案】 D【试题解析】 设每天要工作 x(h)，则 x 满足1675
8、6(16 2)x4解得 x10h故选 D5 【正确答案】 B【试题解析】 设两个地区分别为甲、乙两地，选到甲地的概率为 ，从甲地的报名表中抽出两份，抽到的两份都是女生报名表的概率是 选到乙地的概率为 ，从乙地的报名表中抽出两份，抽到的两份都是女生报名表的概率是 所求概率为 故选 B6 【正确答案】 C【试题解析】 的展开式中，一般项为得 k6，所以 x5 的系数为(1) 86C8628 故选 C7 【正确答案】 C【试题解析】 由原式， 故选 C8 【正确答案】 C【试题解析】 f 1(x)在 上是增函数，在 上是减函数函数 f1 不是到其值域的一一对应，即在 中，会有两个自变量的值对应同一个
9、函数值，所以 f1(x)不存在反函数 同理，f 2(x)在 上是增函数，在 上是减函数，不存在反函数。 f 3(x)的图像是抛物线的一段该抛物线的对称轴为 x2在 ，f 3(x)是单调递减的，存在反函数 同理，f 4(x)对应的抛物线的对称轴为 x1所以 f4(x)在 上是减函数，而在上为增函数，不存在反函数 故选 C9 【正确答案】 A【试题解析】 记 ，它的定义域是0，4yf 1(x)的图像是圆(x2)2y 2 4 的上半部分记 f2(x)ax，yf 2(x)的图像是过原点的直线要满足不等式，即在区间(0，4 上 f1(x)图像都要在 f2(x)图像上方，只有 a0 注意不能取 a0，此时
10、不等式的解集是(0，4) 故选 A10 【正确答案】 C【试题解析】 因为 故选 C11 【正确答案】 B【试题解析】 因为 故选 B12 【正确答案】 B【试题解析】 令平面向量 ，a 的坐标即点 A 的坐标，向量的集合与端点 A的集合一一对应题中的集合 A 对应于直线 即直线l1：xy 一 10 集合 B 对应于直线 即 l2：2xy40直线 l1 和 2 是相交的直线，有一个交点(1，2)所以 AB 只有一个元素向量(1，2) 故选 B13 【正确答案】 D【试题解析】 如图，设圆上任意点 P(x0，y 0)其中 x00，y 00过 P 切线与OP 垂直，切线斜率 切线方程为 ，即 x0
11、xyy 0r 2 切线与 x 轴和 y 轴分别交于点 ，利用平均值不等式，有 等号当且仅当 x0y 0 时成立，此时 故选 D 也可利用圆的参数方程 xrcos，yrsin，有 当时AB最小，最小值为 2r14 【正确答案】 B【试题解析】 如图所示，OAAF，OBBF，AOB120 所以在直角 AOF 中，OAa，OFc( 半焦距)， AOF60，故有 c2a，即 。故选B15 【正确答案】 C【试题解析】 图所示为圆锥和圆柱剖面图的一半，设圆柱和圆锥底面半径分别为r 和 R由题设，有 OEOCr，OAOBR，BEDBOA，从而得所以 R2r ，圆柱全面积 S12r.rr 2r 24r 2圆
12、锥全面积 所以 故选 C16 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)的定义域是 1，0有 ，即 ， (1)及1 故选 C17 【正确答案】 A【试题解析】 由 又因f(x)是连续函数，故有 所以曲线 f(x)在 x2 处的切线方程为 yf(2)f(2)(x2)，即 y3x2，亦即 yx5 故选 A18 【正确答案】 B【试题解析】 设 ，当 x1 时，f(x)0，所以只需讨论在0，1上的情形 f(0) 10，f(1)1sinl0， f(x)在0，1上连续，由零点存在定理，f(x)0 在(0，1)内至少有一个实根 又当 x(0，1)时，这说明 f(x)在(0，1)内是单调增加的，因此 f(x
13、)0 在(0 ，1)内只有唯一的一个实根，从而 在0，)内只有一个实根故选 B19 【正确答案】 A【试题解析】 把 x0 代入 中，得 y1对方程两边关于 x求导，得 故选A20 【正确答案】 B【试题解析】 在 中，令 xtu,则 dtdu，而且当 t0 时ux；当 tx 时，u 0于是故选B21 【正确答案】 A【试题解析】 设切点坐标为 ，则切线方程为 将 x1，y0 代入此切线方程，解得 x01，故切点为(1 ，1) 参考图有故选 A22 【正确答案】 C【试题解析】 根据行列式的性质，有 故选 C23 【正确答案】 A【试题解析】 因为 ABE，所以 r(AB)m由 r(AB)r(
14、A)，r(AB)r(B)知mr(A)m， mr(B)m，所以 r(A)m，r(B)m故选 A24 【正确答案】 B【试题解析】 由 mn 可得 Ax0 中方程个数小于未知量个数(即 r(A)n) ，所以Ax0 存在非零解，从而 Ax0 必有无穷多组解 Axb 有解 r(A)r(Ab) ，在此题中没有提供 r(A)与 r(Ab)是否相等的信息，因此，无法判断 Axb 解的情况 故选 B25 【正确答案】 B【试题解析】 由 A*的特征值是 1，1，3，9 可得 A*27又因A *A n1，所以A 327，即A3 根据性质：如果可逆矩阵 A 的特征值是 ，其伴随矩阵 A*的特征值为 *，则有 所以 A 有特征值3，3，1， 因此，AI 的特征值为4，2，2， 因 AI 的特征值非零，所以 AI 可逆 AI 的特征值为2，4，0， 因 AI 的特征值中有为 0 的数，所以 AI 不可逆 故选 B 注 (1)解本题时用到了结论：如果 是方阵 A 的特征值，则 k 是 AkI 的特征值 (2) 利用“如果 是方阵 A 的特征值，则 k 是 kA 的特征值 ”可很容易得出 ZAI 的特征值中不含零，所以不选D (3)利用(1)同样可求出 A2I 的特征值，显然 A2I 的特征值中也不含零，所以不选 C
