1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 119 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 P 是数轴上的一定点，坐标为1，Q 是数轴上的一动点，若要求 Q 与 P 的距离不超过 1，则点 Q 的坐标 x 的取值范围为 （A）x11（B） x11（C） x11（D）x112 已知 a，b， c 是从小到大的 3 个相邻奇数ab132，bc342，且 b 是合数，则 3 某洗衣机生产厂家，为了检测其产品无故障的启动次数，从生产的一批洗衣机中任意抽取了 5 台，如果测得的每台无故障启动次数分别为11300，11000，1070
2、0，10000，9500，那么这批洗衣机的平均无故障启动次数大约为 （A）10300（B） 10400（C） 10500（D）106004 某产品由甲、乙两种物品混合而成，甲、乙两种物品所占比例分别为 x 和 y，若甲物品的价格在 60 元的基础上上涨 10，乙物品的价格在 40 元的基础上下降10时，该产品的成本保持不变，那么 x 和 y 分别等于 （A）50，50（B） 40，60（C） 60，40（D）45，555 把 6 个人分配到 3 个部门去调研，每部门去 2 人，则分配方案共有 种（A）15（B） 105（C） 45（D）906 某车间生产的一种零件中，一等品的概率是 09生产这
3、种零件 4 件，恰有 2件一等品的概率是 （A）00081（B） 00486（C） 0.0972（D）0.067 已知复数 z 的模z 2，虚部 Imz ，实部 Rez0，则 z2 8 有下列 3 个不等式：x1(x1)2， ， 4x2 x1 则 （A）和的解集相同（B） 和的解集相同（C） 和的解集相同（D），和的解集各不相同9 已知方程(x 22xp)(x 22xq) 0 的四个根构成一个首项为 的等差数列，则Pq 10 an)是等比数列，首项 a10，则a n是递增数列的充分必要条件是公比 q 满足 （A）q0（B） q1（C） q0（D）0a 111 记PQR 的面积为 SPQR已知A
4、BC 的重心是 G，P 是AABC 内的一点，（A）在GAB 内（B）在 GBC 内（C）在 GCA 内（D）与 G 点重合12 AABC 为锐角三角形已知 ，BC5，则 ABC的面积等于 （A）5（B）（C）（D）1013 若一个平行四边形的周长为 10，相邻边的乘积为 6，则此平行四边形的对角线平方之和为 （A）36（B） 26（C） 25（D）1314 如果直线 l：x2y20 过椭圆*(n60)的左焦点 F1 和短轴上的顶点(0，6)，则该椭圆的离心率等于 15 棱长为 1 的正方体各顶点都在同一个球面上，则该球面的面积等于 （A）2n（B）（C） 3（D）416 设 f(x)具有连续
5、导数， ，则 （A）f(0)0 且 f(0)2（B） f(0)0 且 f(0)1（C） f(0) 1 且 f(0)2（D）f(0)1 且 f(0)117 设 ，则 （A）f(x)在 x0 处间断（B） f(x)在 x0 处连续但不可导（C） f(x)在 x0 处可导，但导数在 x0 处不连续（D）f(x)在 x0 处有连续导数18 在(0 ，)内 f(x)0，若 存在，则 （A）在(0 ，) 内 f(x) 0（B）在 (0，)内 f(x)0（C）在 (0，1)内 f(x)0，在 (1，) 内 f(x)0（D）在(0 ，1) 内 f(x)0，在(1，)内 f(x)019 在e，e 2上的最大值为
6、 （A）0（B） 1（C） 21n2（D）20 若 lnx 是 f(x)的一个原函数，则 xf(ex )dx （A）xe x ex C（B）一 xex 一 ex C（C） xex 一 exC（D）一 xex exC21 f(x)为连续函数， (a 为常数)，则 I （A）（B） a（C） 2a（D）022 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2A0若 A 的秩为 3，则 A 的特征值为 （A）1，1，1，0（B） l，1，1，0（C） 1，1，1，0（D）1，1，1，023 设矩阵 则矩阵 A 的秩为 （A）0（B） 1（C） n（D）无法确定24 向量组 1( 1，2 ，1，1) T， 2(
7、1，3，2，1) T， 3 一(0，1，1，0)T， 4(1，4，3，4) T 的极大线性无关组是 （A） 1， 2， 2（B） 1， 2， 2（C） 1， 2（D） 3， 425 设 1， 2 是线性方程组 的两个不同解则该线性方程组的通解是 (其中 k1，k 2，k 为任意常数) （A）(k 11) 1k 22（B） (k11) 1k 22（C） (k1) 1k 2（D）(k 1) 1k 2工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 119 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 P 点的坐
8、标为1，Q 点的坐标为 x，如图所示，P 与 Q 的距离为x 一(1)x1，又 P 与 Q 的距离不超过 1，即x11故选 D2 【正确答案】 D【试题解析】 由 ab132 12111 2，ab 342 36119 2 可知11abc19根据 b 是合数可知 a，b ，c 分别是 13，15，17，所以 故选 D3 【正确答案】 C【试题解析】 这 5 台洗衣机的平均无故障启动次数为 故选 C4 【正确答案】 B【试题解析】 每生产一单位的产品，需要甲物品和乙物品的量分别是 x 和 y，其成本为 60x40y当甲、乙物品的价格改变后，其成本为 66x36y，所以60x40y66x36y，从而
9、 ，故 x40，y60 故选 B5 【正确答案】 D【试题解析】 把 6 人先分为 3 组，每组 2 人，共有 C6215 种分法然后再把这3 组分配到 3 个部门，有 P336 种分配方法据乘法原理，总的分配方案有156 90 种 解这类有组合又有排列的问题，常常用先组合再排列的方法去考虑 故选 D.6 【正确答案】 B【试题解析】 4 件产品中，2 件一等品，2 件非一等品的概率为 C 42(01) 2(09)200486 故选 B7 【正确答案】 A【试题解析】 设复数 z 的实部为 a，则 ，即 a21因 a0，所以 a1，得到 故选 A8 【正确答案】 D【试题解析】 不等式化成 x
10、23x20，其解集为 (一 ，1) (2，) 不等式化成不等式组 其解集为 (2，) 不等式 化成22x2 x1 ，即 2xx1，x1，解集为(一，1) 3 个不等式解集各不相同 故选 D9 【正确答案】 C【试题解析】 方程的 4 个根是二次方程 x22xp0 和 x22xq 0 的根x1，x 2，x 3，x 4它们构成一个等差数列，设其公差为 d不妨设 ， x2x 1d， x3x 12d ， x4x 13d因此有 x1x 4x 2x 3而两个二次方程各自两根之和都等于 2，所以 x1 和 x4，x 2 和 x3 分别为两个方程的根，可以设 x1x 42， x 1x4p ， x 2x 32，
11、 x 2x3q 已设于是得 pqx 1x4 一 x2x3 故选 C10 【正确答案】 D【试题解析】 a n是递增的等比数列，由 a10， a2a1q，a 2a 1，即 a1qa 1，就得到 q1但是如果 q0，则 a20，a 30，与a n)递增矛盾所以得到 q0在4 个选项中只有选择(D) 事实上，若 0q1，a 10，则数列 a1，a 1q，a 1q2，a 1qn1 ，各项都是负数，各项的绝对值是递减的，所以a n)是递增数列 故选 D11 【正确答案】 A【试题解析】 画出ABC，如图所示，对重心 G 有 1 2 3 对于 P 点，已知 3 ， PAB 和GAB 有共同的底边 AB，所
12、以PAB 在 AB 边上的高为GAB 在 AB 边上高的一半，即 P 在GAB 平行于 AB 的中位线或其延长线上同理分析PCA 在 CA 边上的高与 AGC 在 CA 边上的高相等，若连 PG，则PGAC即可判定 P 在GAB 内 故选 A12 【正确答案】 D【试题解析】 因为B 和 C 均为锐角，由已知得 故选D13 【正确答案】 B【试题解析】 设平行四边形相邻两边的长分别为 a，b，则 ， ab6平行四边形对角线平方和为 2(a 2b 2)2(ab) 22ab 2(5 226)26 故选 B14 【正确答案】 D【试题解析】 左焦点 F1 的坐标为(一 c，0)，F 1 在 l 上，
13、所以一 c20，c2 顶点(0 ，6) 也在 l 上，所以 2b20，b1，故 a 2b 2c 21 22 25，所以 故选 D15 【正确答案】 C【试题解析】 正方体的对角线是球的一条直径，设球的半径为 r，则 ，即得 球面面积 4r23 故选 C16 【正确答案】 C【试题解析】 故选 C17 【正确答案】 D【试题解析】 所以 f(x)在 x0 处连续 故选 D18 【正确答案】 D【试题解析】 因 存在及 x2 时分母的极限为 0，所以又 f(x)可导，从而 f(x)连续，故 f(2 1)f(1)0 因 f(x)0，所以 f(x)是严格单调递增的，于是，当 x(0，1)时 f(x)f
14、(1)0，当 x(1，)时，f(x) f(1)0 故选 D19 【正确答案】 D【试题解析】 ，当 xe，e 2时，f(x)0，所以 I(x)在e，e 2是单调递增函数，I(x)在e，e 2上的最大值是 故选D20 【正确答案】 C【试题解析】 故选 C21 【正确答案】 A【试题解析】 在 中令 axt，当 x0 时，ta；当xa 时，t0；dxdt。所以22 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A 的秩为 3，所以 4 阶实对称矩阵 A 有一个零特征值和三个非零特征值设其非零特征值为 ，与 对应的特征向量为 x，则由 A2A0 可知(A2A)x( 2)x 0故 2 0，且 1 故选 D23
15、 【正确答案】 B【试题解析】 均为 n 维列向量因此 r(A)r( T)r()1，这说明 A 的秩要么是 0，要么是 1又 A 中有非零元素 a1b10，所以 A 的秩是 1故选 B24 【正确答案】 B【试题解析】 A( 1， 2， 3， 4)( 1， 2， 3， 4)，显然r(1， 2， 3， 4)r(A)r(B) 3， 1， 2， 4 为向量组 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组 故选 B25 【正确答案】 C【试题解析】 设 则线性方程组可写为 Axb由于此方程组有两个不同的解，故 r(A，b) r(A)3又因 A 中有一个二阶子式 ，因此 r(A)2，所以 r(A)2，因此对应的齐次线性方程组 Ax0 的基础解系中有一个解向量 1 一 2进而得出 Axb 的通解是 k(1 一2) 1(k1) 1 一 k2(其中 k 为任意常数)故选 C
