1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 165 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 的值 （A）等于（B）等于（C）等于（D）没法确定2 设 是边长为 a 的正方形， 1 是以 2 四边的中点为顶点的正方形， 2 是以 1四边的中点为顶点的正方形，则 2 的面积与周长分别是 3 甲、乙两地相距 96km，P，Q 两辆车同时从甲地出发匀速驶往乙地开车 1h 后，P 车在 Q 车前方 12km 处 P 车比 Q 车早 40min 到达乙地，P 车的行车速度是 kmh（A）12（B） 24（C） 36（D）484 设
2、 i 是虚数单位若实数 x，y 满足(+i)(1-i)=y，则 （A）x=1，y=1（B） x=一 1，y=1（C） x=1，y=2（D）x=一 1，y=25 从 1，2，3，4，5，6 这 6 个数中任取 3 个不同的数，使这 3 个数之和能被 3 整除，则不同的取法有 种（A）6（B） 7（C） 8（D）96 某课程试卷由 5 道选择题组成，每题所列的 5 个备选项中只有 1 项是正确的一个没学过该课程的学生参加了这次考试，对每个题目，该考生只能从 5 个备选项中随机选择 1 个备选项该考生答对 4 题以上的概率是 （A）00064（B） 000192（C） 04096（D）073727
3、下列函数中，既是奇函数又在一 1，1上单调递减的函数是 （A）f(x)=sinx（B） f(x)=一 x+1（C） x(x)= (a+a)(a0，a1)（D）f(x)=8 已知 a，b 为实数， i 是虚数单位若(a 一 2i)i=b 一 i，则 a2+b2= （A）0（B） 2（C）（D）59 设(1+x)+(1+x) 2+(1+x)3+(1+x)20=a0+a1x+a2x2+a220x20，则 a1+a2= （A）210（B） 231（C） 1150（D）154010 函数 f(x)=ax+log2(x+1)在0，1上的最大值和最小值之和为 a，则 a 的值是 （A）（B）（C） 2（D）
4、411 由动点 P 向圆 x2+y2=2 引两条切线 PA，PB，切点分别为 A 和 B，且 APB=60，则动点 P 轨迹为 （A）椭圆（B）圆（C）双曲线（D）抛物线12 函数 f(x)=sin2 是 （A）最小正周期为 的奇函数（B）最小正周期为 的偶函数（C）最小正周期为 2 的奇函数（D）最小正周期为 2 的偶函数13 下面 4 个点中，在直线 x+y 一 10 上且到点 A(一 2，3)的距离等于 的点是 （A）P 1(一 2，3)（B） P2(一 4，5)（C） P3(一 2 一 )（D）P 4(一 3，4)14 已知双曲线 C：x 2 一 =1过点(1，1)作直线 l，使 l
5、与 C 只有一个交点，满足这个条件的直线 l 共有 条（A）1（B） 2（C） 3（D）415 已知矩形的长与宽分别为 8cm 和 6cm，则其各边中点连接所得的四边形的周长与面积分别为 （A）20cm， 24cm2（B） 20cm，36cm 2（C） 14cm，24cm 2（D）14cm， 36cm216 设函数 在(一，+)上可导，则有 （A）a=0 ，b=2（B） a=0，b=1（C） a= 一 1，b=2（D）a=e 一 1，b=117 设 f(x)对一切 x(一， +)满足方程 (x 一 1)f“(x)+2(x 一 1)f(x)3=1 一 e1-x，且f(x)在 x=a(a1)取得极
6、值，则 （A）x=a 是 y=f(x)的极小值点，不是曲线 y=f(x)拐点的横坐标（B） x=a 是 y=f(x)的极大值点，不是曲线 y=f(x)拐点的横坐标（C） x=a 是 y=f(x)的极小值点，是曲线 y=f(x)拐点的横坐标（D）x=a 是 y=f(x)的极大值点，是曲线 y=f(x)拐点的横坐标18 设函数 f(x)= ，则当 x0 时，f(x) 是 g(x)的 。（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但不等价的无穷小19 f(x)，g(x) 是连续函数，且 abf(x)dx=abg(x)dx(ab) ，则必有 （A）曲线 y=f(x)与 y=g(x)在a
7、，b上重合（B）曲线 y=f(x)与 y=g(x)仅在 x=a 与 x=b 相交（C）曲线 y=f(x)与 y=g(x)在a ，b上至少有一个交点（D）不能确定曲线 y=f(x)与 y=g(x)在a ，b上是否有交点20 若 f(x)在a，b上具有连续的导数，且 f(a)=f(b)=0，又 abf2(x)dx=1，则 abxf(x)f(z)dx= （A）（B） 1（C） 0（D）21 设在0 ，+) 上 f“(x) 0，则当 x(0，+)时如下不等式成立的是 （A）f(0)xf(0)一 f(x) f(x)x（B） f(0)xf(x)一 f(0)f(x)x（C） f(x)-f(0)f(0)xf(
8、x)x（D）f(x)xf(0)xf(x)-f(0)22 在 f(x)= 中，x 2 的系数为 （A）1（B）一 1（C） 0（D）223 已知 若线性方程组 Ax=b 的两个解为 x1=(1，2，1)T， x2=(2，3，0) T，则 b 与齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系分别是 （A）(2 ，5，7) T；(1，2，1) T（B） (2，5，7) T；(1 ，1，一 1)T（C） (2，4，6) T；(1 ，2，1) T（D）(2 ，4，6) T；(一 1，一 1，1) T24 设 1=(1， 2，3，1) T， 2=(3，4，7，一 1)T， 3=(2，6，a，6)T， 4=(0，
9、1，3，a) T，则 a=8 是 1， 2， 3， 4 线性相关的 （A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既不充分也不必要条件25 设 A 是三阶矩阵，A=3，2AI ，A 一 2I 均不可逆，A *是 A 的伴随矩阵，则 A*的 3 个特征值是 工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 165 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 故选(C)2 【正确答案】 B【试题解析】 如图所示，设 的边长为 a，故选(B) 3 【正确答案】 D【试题解析】 设 P
10、 车行车速度为 vkmh，Q 车 1h 比 P 车慢 12km，Q 车速度为(v 一 12)kmh。从甲地到乙地，P 车需 ，因此 v2 一 12v 一 14412=0， (v 一 48)(v+36)=0， v=48即 P 车速度为 48kmh 故选(D)4 【正确答案】 C【试题解析】 由(x+i)(1-i)=x+1+(1-x)i=y，得 解得 x=1，y=2 故选(C)5 【正确答案】 C【试题解析】 本题讨论取出 3 个数之和的性质，是与 3 个数次序无关的组合问题因为数目不太大，可以将各种情形逐个列出例如，首先取 1，然后取 2，第3 个可以取 3 或 6然后再依次(从小到大)考虑，列
11、出1，2，3，1 ，2，6，1，3，5，1，5，6，2，3，4 ，2，4，6，3，4，5，4，5，6)，共 8 种取法只要按顺序不遗漏即可故选(C)6 【正确答案】 B【试题解析】 根据题意，该考生每道题做对的概率都是 02，该考生 5 道题全对的概率为 02 5，做对 4 道题的概率为 C5402 402，所以该考生答对 4 题以上的概率是 C5402 402+02 5=602 5=000192 故选(B)7 【正确答案】 D【试题解析】 先考查奇偶性易见(A)奇，(B)非奇非偶，(C) 偶再看(D)： f(-x)=一 f(x)所以(A) ，(D)为奇函数再考查它们的单调性f(x)=sinx
12、 在 ，所以 f(x)在一1，1上单调增，故排除(A)。 故选(D) 事实上，若令 g(x)=因 x(一 2，+)时 g(x)单调减，而 y=lnx 在定义域上单调增所以复合函数 lng(x)是单调减的8 【正确答案】 D【试题解析】 由已知 2+ai=b 一 i所以 a=一 1，b=2，a 2+b2=5 故选(D) 9 【正确答案】 D【试题解析】 (1+x)+(1+x) 2+(1+x)20 = = (1+C211x+C212x2+C213x3+x21 一 1-x) =20+C212x+C213x2+x20所以 a1+a2=C212+C213=1540 故选 (D)10 【正确答案】 B【试
13、题解析】 若 a1，函数 ax 和 loga(x+1)均为增函数，故 f(x)在0，1上为增函数若 0a1，f(x)在0，1上为减函数所以 f(x)在0，1上最大值与最小值之和为 f(0)+f(1)=a0+loga1+a+loga2=1+a+loga2，其值为 a，故 1+loga2=0，得 loga2=一1，故 a= 故选(B)11 【正确答案】 B【试题解析】 如图所示，圆半径为 ，APO=30 ，故PO= ，其轨迹为圆 x2+y2=8故选(B)12 【正确答案】 A【试题解析】 所以 f(x)是奇函数，其最小正周期为 故选(A) 13 【正确答案】 D【试题解析】 A 点在直线 x+y-
14、1=0 上，到 A 的距离为的圆上，圆的方程为 (x+2) 2+(y 一 3)2=2圆与直线有两个交点(一 1，2) 与(一 3，4) ，其一为 P4故选(D)14 【正确答案】 D【试题解析】 过点(1，1)的直线，如果斜率不存在，则直线为 x=1，它与 C 有一个公共点，即 C 右支上的顶点(1，0) 过点(1，1) 且斜率为 k 的直线方程为 y=k(x-1)+1将 y 代入 C 的方程，得 (4 一 k)x2+2(k2 一 k)x 一(k 2 一 2k+5)=0 (*) 若k=2，方程(*)可分别解出一个 x，即有两条符合条件的直线若 k2，(*)式为二次方程，其判别式 =4(k 2
15、一 k)2+4(4 一 k2)(k2 一 2k+5)=4(一 8k+20)当 k= 时，=0，l 与 C 有一公共点 综上，共有 4 条直线满足条件，其中 2 条分别平行于双曲线的渐近线(k=2)，另两条分别与双曲线的右支相切结合图形不作上述计算也可得到选项(D) 故选(D)15 【正确答案】 A【试题解析】 如图所示，AA 1=3cm，AD 1=4cm，A 1D1= =5(cm)因此所求四边形 A1B1C1D1 的周长为 54=20(cm) A 1C1=8cm，B 1D1=6cm，A 1B1C1D1 的面积=A 1C1D1 的面积2，A 1C1D1 的面积= =43=12(cm2)，故四边形
16、 A1B1C1D1 面积为 24cm2 故选(A)16 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)在不是分段点处是初等函数，因此，只需讨论在分段点 x=1 处的情形 要使 f(x)在 x=1 处可导，必须使 f(x)在 x=1 处连续，即=0，所以 a=0 要使 f(x)在 x=1 处可导，必须使 f-(1)=f+(1)而因此 b=1故选(B)17 【正确答案】 A【试题解析】 因 x=a 是极值点，所以 f(a)=0，于是有 (a 一 1)f“(a)=1 一 e1-a显然f“(a)= 0，所以，x=a 是极小值点，而不是曲线 y=f(x)拐点的横坐标故选(A)18 【正确答案】 B【试题解析】
17、利用洛必达法则并利用当 x0 时 sinxx 来求 这表明当 x0 时，f(x)是比 g(x)高阶的无穷小 故选(B)19 【正确答案】 C【试题解析】 设 F(x)=axf(t)dtaxg(t)dt，则 F(a)=F(b)=0F(x)在a，b上连续，在(a， b)内可导，由罗尔定理，至少存在 (a，b)使得 F()=0而 F(x)=f(x)一g(x)，F()=0，即 f()一 g()=0 故选(C) 20 【正确答案】 D【试题解析】 abxf(x)f(x)dx=abxf(x)df(x) 故选(D)21 【正确答案】 B【试题解析】 由拉格朗日中值定理得f(x)一 f(0)=f()x， (0
18、，x) 又因 f“(x)0，所以 f(x)单调递增，所以有 f(0)f()f(x)，因而有f(0)xf(x)一 f(0)f(x)x故选(B) 22 【正确答案】 B【试题解析】 由于在 f(x)的表达式中，与 x2 有关的项只有一(x+1) 2(x-1)一项，所以x2 的系数为一(1+11)=一 1 故选(B)23 【正确答案】 B【试题解析】 因为 x 是线性方程组 Ax=b 的解，所以是 Ax=0 的非零解，所以 就是 Ax=0 的一个基础解系 故选(B)24 【正确答案】 B【试题解析】 n 个 n 维向量线性相关性的判定一般用行列式 1， 2， n=0较方便 当 a=8 时，行列式 1
19、， 2， 3， 4=0，向量组 1， 2， 3， 4 线性相关，但 a=2 时仍有行列式 1， 2， 3， 4=0，所以 a=8 是向量组 1， 2， 3， 4 线性相关的充分而非必要条件故选(B)25 【正确答案】 D【试题解析】 按定义，如果行列式IA=0，则 是矩阵 A 的特征值由于2AI，A 一 2I 不可逆，所以有2AI=0，A 一 2I=0 这表明1= ， 2=2 是 A 的特征值又由A= 123=3 可知， 3=3 为 A 的特征值，因而 A*的 3 个特征值分别是 =1 故选(D) 注意 如果矩阵 A 可逆，设 是 A 的特征值， 是 A 的属于 的特征向量，即 A=，两边左乘 A-1得，A -1A=A-1，即 =A-1，把 A-1= 是 A*的特征值
