1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 166 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 两条长度相同的绳索，一条截掉 16m，另一条接上 14m 后，长绳长度正好是短绳的 4 倍，则两条绳索原来的长度是 m（A）20（B） 24（C） 26（D）302 a，b，c 是满足 abc1 的 3 个正整数，如果它们的算术平均值是 ，几何平均值是 4，那么 b 的值等于 （A）2（B） 4（C） 8（D）不能确定3 设直线 L 的方程为 y=kx+a，且 L 在 x 轴上的截距是其在 y 轴上截距的一 2 倍，则直线 L 与两
2、坐标轴所围图形的面积是 （A）a 2（B） 2a2（C） 2k2（D）4k 24 一个底面半径是 10cm，高是 30cm 的圆柱形容器中，水深 6cm将一个长和宽都是 cm，高是 10cm 的长方体铁块竖直放在该容器中，水面的高度为 cm （A）6（B） 8（C） 10（D）1 25 某人驾车从 A 地赶往 B 地，前一半路程比计划多用时 45min，平均速度只有计划的 80若后一半路程的平均速度为 120kmh ，此人还能按原定时间到达 B地问 A，B 两地的距离为 km（A）270（B） 300（C） 540（D）6006 经统计，某校教工食堂一个售饭窗口每天中午排队买饭的教工人数及相应
3、的概率如下：一周 5 个工作日中，有 2 天或 2 天以上中午出现超过 15 位教工排队买饭的概率是 7 已知集合 M=x 1)，N=x x 2+2x 一 30)，则 M，N 满足关系 8 下列命题中的假命题是 （A）对一切 x0，y0，(x+y)( )4（B）对一切 x0，y0，x 2+y2+22x+2y（C）对一切 x0，y0，（D）对一切 x0，y0，x 3+y32xy29 已知 a1，函数 y=log2x 在区间a，a+1上的最大值是最小值的 2 倍，则 a= 10 已知 an= (n=1，2，)数列a n各项之和等于 11 过圆 x2+y2=r2 上的点 P(x0，y 0)作圆的切线
4、，切线被 x 轴和 y 轴截下的线段长度的取值范围是 （A）(r，+)（B） (2r，+)（C） ( ，+)（D）( ，+)12 如图所示，在正方形网格中，A，B，C 是三个格子点设 BAC=，则 tan= 13 光线从点 A(1，1) 出发，经 y 轴反射到曲线 C：(x 一 5)2+(y-7)2=4 的最短路程是 （A） 一 2（B） 一 2（C） 8（D）914 已知 F1， F2 是椭圆的两个焦点，满足线段 MF1 与线段 MF2 垂直的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 15 菱形 ABCD 的周长为 20cm，对角线 AC 的长为 8cm，则此菱形内切圆的周长与面积分别
5、是 16 f(x)= =0，则 a，b 满足 （A）a0， b0（B） a0，b0（C） a0，b0（D）a0 ，b017 设 f(x)是恒大于零的可导函数，且 xf(x)f(x)，则当 0axb 时有 （A）bf(x)xf(b)（B） af(x)xf(a)（C） xf(x) bf(b)（D）xf(x)af(a)18 设 f(x)在a，b上可导，f(a)f(b)，x 0(a，b)是 f(x)在(a ，b)内的唯一驻点，且f(x0)f(b) ，则 x0 是 （A）f(x)的极小值点（B） f(x)在a，b 上的最小值点（C） f(x)在a，b 上的最大值点（D）f(x)的极大值点，但不是 f(x
6、)在a，b上的最大值点19 设 a1，则在 0，a上方程 =0 根的个数为 （A）0（B） 1（C） 2（D）320 曲线 x2+(y-1)2=1，y= x2 与直线 y=2 在第一象限所围成图形面积为 21 设 ，则 。（A）I 1I 2 I3（B） I2I 1I 3（C） I3I 2I 1（D）I 3I 1 I222 设 D= ，则 A21+A22+A23 的值等于 （A）0（B） 18（C） 4（D）1223 A 是 n 阶可逆矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，则(A *)*= （A）A n-1A（B） A n-2A（C） A n+1A（D）A n+2A24 1=(1，0， 0，O) T，
7、 2=(2，一 1，1，一 1)T， 3=(0，1，一 1，a) T，=(3，一2，b，一 2)T， 不能由 1， 2， 3 线性表出，则 （A）b2（B） a1（C） b=2（D）a=125 下列矩阵中，不能与对角矩阵相似的是 工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 166 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 设两条绳索原来的长度是 xm，则 x+14=4(x 一 16)，解得 x=26m故选(C)2 【正确答案】 B【试题解析】 c1，c 除得尽 64，因此 c 最小为2bc，b 除
8、得尽 64，因此 b 最小为 4ab，a 除得尽 64，因此 a 最小为8又 abc=64=248，因此正好 a=8，b=4，c=2故选(B)3 【正确答案】 A【试题解析】 如图所示，直线 y=kx+a 与 x 轴交点为(一 ，0)，与 y 轴交于(0，a)由题意，2a a=a 2 故选(A)4 【正确答案】 B【试题解析】 容器中水的体积是 1026=600(cm3)由于(100 一 25)10=750600，所以水面没有没过铁块 设水面的高度为 h，则有25h+600=100h，从而水面的高度为 h= =8(cm)故选(B)5 【正确答案】 C【试题解析】 设 A，B 两地的距离为 2x
9、km，计划平均速度为 vkmh 依题意得故选(C)6 【正确答案】 C【试题解析】 一个窗口排队人数超过 15 的概率为 025+02+0 05=05，5 个工作日中，有一天中午出现超过 15 位教工排队买饭的概率是 05 5，只有一天中午出现超过 15 位教排队买饭的概率是 C510505 4，所以有 2 天或 2 天以上中午出现超过 15 位教工排队饭的概率是 105 5-C510505 4= 故选(C) 7 【正确答案】 A【试题解析】 由不等式 1，可知 x1不等式两边乘(1 一 x)2，得 4(1 一 x)(1 一 x)2 整理得 x2+2x 一 30，与 x1 联立，解集为一 3，
10、1) 所以 M=x一3x1) 不等式 x2+2x 一 30 的解集为一 3，1所以 N=x一 3x1)于是有 M N 故选 (A)8 【正确答案】 D【试题解析】 对一切 x0，y0，由均值不等式所以(A)是真命题又由 x2+y2+2 一(2x+2y)=(x 一 1)2+(y 一 1)20，故(B)也是真命题为分析(C) ，不妨设xy0式子可变形为 xyx 一 +y，等价地化为 ，所以(C)也为真命题由排除法可选(D) 事实上，可令 t= ，有 t(0，+)(D)的式子可化为t3+12t而 t3+12t=t3 一 t+1 一 t=(t2 一 1)(t2+t 一 1)=(tt1)(t 一 t2)
11、(t 一 1)，其中，t1= ，则 t3+12t0故(D)为假命题 故选(D)9 【正确答案】 C【试题解析】 函数 y=log2x 在定义域内是增函数，在a，a+1上当 x=a+1 时最大，当 x=时最小，所以由题意得 log 2 (a+1)=2log2a，即 a+1=a2解方程 a2-a-1=0，求得a= 故选(C)10 【正确答案】 C【试题解析】 n 为奇数时， =0所以只要考虑 n 为偶数时各项的和而故选(C)11 【正确答案】 B【试题解析】 圆上(x 0，y 0)点的切线方程是 x0x+y0y=r，若切线与 x 轴和 y 轴都有交点，交点为当x 0=y 0时等号成立，即AB最小值
12、为 2r 故选(B)12 【正确答案】 C【试题解析】 设过 A 点水平的网格线与 BC 交于点 D记 BAD=1， CAD=2，则有 =1+2故选(C)13 【正确答案】 A【试题解析】 C 是以(5，7)为中心，半径等于 2 的圆光线从 A 出发，经 y 轴反射到圆 C 上的某点 B(入射角等于反射角)，其路程等于从 A 关于 y 轴的对称点A(一 1，1) 到圆 C 上点 B 的路程所以求最短的路程，就是作 A(一 1，1)与圆心(5，7)的连线，连线与圆的交点 D(最接近 A的交点)，A到 D 的距离即为所求，即故选(A)14 【正确答案】 C【试题解析】 设椭圆方程为 =1，ab0，
13、则 F2(一 c，0)，F 2(c，0)因MF2MF2，所以点 M 在以 O 为圆心，直径为 2c 的圆上点 M 总在椭圆内部，即有 cb由 a2=b2+c2，得 a22c 2所以有e= 故选(C) 15 【正确答案】 D【试题解析】 如图所示，设菱形中心为 O菱形周长为 20cm，因此边长为5cm又 AC 为 8cm，所以 OD= =3(cm)菱形内切圆半径等于直角三角形 AOD 中 AD 边上的高，所以内切圆半(cm2) 故选(D)16 【正确答案】 C【试题解析】 因 (a-ebx)，从而应有 b0，由此可得不选 (A)和(D) 又因 f(x)在(一 ，+)上连续，必须有 aebx0因
14、ebx0，所以应使 a-ebx0，这样应有 a0 故选(C) 17 【正确答案】 A【试题解析】 设 F(x)= 由于当 0axb 时，xf(x)f(x) ，因此 F(x)0这表明 F(x)是单调递减的函数，当 0xb 时有 F(x)F(b) ，即 ，亦即 bf(x)xf(b) 故选(A)18 【正确答案】 C【试题解析】 因 f(x)在a，b 上可导，所以 f(x)在a，b上连续，进而 f(x)在a，b上一定能取得最大值和最小值。 由题设 f(a)f(b)f(x)可知，f(x)的最大值一定在开区间(a ，b)内取得，即存在 (a，b)使得 f()f(x)由于 (a，b) ，因此 一定是极大值
15、点，利用取得极值的必要条件可得 f()=0 又因 x0 是 f(x)在(a，b)内的唯一驻点，所以 x0=，因而 x0 是 f(x)在a，b上的最大值点 故选(C)19 【正确答案】 B【试题解析】 设 F(x)= ，则 F(x)在0，a上可导，且 F(x)=0，这表明 F(x)在0 ，a上严格单调递增，从而可得 F(x)=0 在0，a内最多有一个实根 又 F(0)=a0e-tdt0， 由连续函数在闭区间上的零点存在定理知存在 x0(0，a)，使得 F(x0)=0 综合上述，F(x)=0 在0，a上有且仅有一个实根故选(B) 20 【正确答案】 A【试题解析】 如图所示，所求面积为曲线 y=
16、x2，y=2 ，y 轴所围成图形面积与半径为 1 的半圆面积之差，所以 故选(A)21 【正确答案】 A【试题解析】 由定积分性质有 I1I 2I 3 故选(A)22 【正确答案】 C【试题解析】 设A= ，则 A 中元素的 A21，A 22，A 23 与 D 中元素的这三个代数余子式相同因此故选(C)23 【正确答案】 B【试题解析】 由于 AA*=AI，所以(A *)-1= ，且A *=A n-1又因为A*(A*)*=A *I，所以(A *)*=A *(A *)-1= =A n-2A 故选(B)24 【正确答案】 A【试题解析】 设 x11+x22+x33=，对( 1， 2， 3，)做行初
17、等变换有当 b2 时，线性方程组x11+x22+x33= 无解，所以 不能由 1， 2， 3 线性表出注意 b=2 时，a=1 或a1， 都可由 1， 2， 3 线性表出 故选(A)25 【正确答案】 B【试题解析】 选项(A) ，有三个不同的特征值，所以可以对角化 对于选项(B)，设(B)中矩阵为 B，则 矩阵B 的特征值为 1=2=0， 3=4 对于二重特征值 =0，有r(BI)=2，所以齐次线性方程组(BI)x=0 的基础解系中只有一个向量，即 =0 只有一个线性无关的特征向量，因此B 没有 3 个线性无关的特征向量从而 B 不能对角化 故选(B) 注 选项(C)中的矩阵是对称矩阵，所以可以对角化 设选项(D)中的矩阵为 D，则r(D 一 I)=1，所以二重特征值 =0 对应于两个线性无关的特征向量，故(D) 中的矩阵可以对角化
