1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 167 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 如图所示，若相邻点的水平距离与竖直距离都是 1，则多边形 ABCDE 的面积为 （A）7（B） 8（C） 9（D）102 2100 一 = （A）-1（B） 0（C） 1（D）23 如果 是半径为 R 的球， 是以 的大圆为底面、顶点在 表面上的一个圆锥，那么 的体积是 体积的 4 两个码头相距 198km，如果一艘客轮顺流而下行完全程需要 6h，逆流而上行完全程需要 9h，那么该艘客轮的航速和这条河的水流速度分别是 kmh（A）2
2、75 和 55（B） 275 和 11（C） 264 和 55（D）264 和 115 若 i(a+bi)=3+4i，则a+bi= （A）2（B） 3（C） 4（D）56 某种测验可以随时在网络上报名参加，某人通过这种测验的概率是 若他连续两次参加测验，则其中恰有一次通过的概率是 7 已知 a 为正整数，且关于 x 的方程 lg(42x 2)=lg(ax)+1 有实数根，则 a 等于 （A）1（B） 1 或 2（C） 2（D）2 或 38 若关于 x 的不等式x-2+x+1 b 的解集是 ，则 b 的取值范围是 （A）(3 ，+)（B） 3，+)（C） (一，3（D）(一， 3)9 已知 f(
3、x)=3ax-2a+1，若存在 x0(一 1，1)，使 f(x0)=0，则实数 a 的取值范围是 10 已知a n为等比数列，首项 a1=2，公比 q=2，其前 n 项之和为 Sn，前 n 项之积为 Tn，则 = （A）22 -n（B） 12-n（C） 22n（D）12 n11 若方程 =x+6 有实数解，则 b 的取值范围是 12 ABC 中，AB=3 ，BC= ，AC=4，则 AC 上的高等于 13 坐标平面内，与点 A(1，2)距离为 2，且与点 B(4，0)距离为 3 的直线共有 条（A）1（B） 2（C） 3（D）414 已知双曲线 ，则 m 的值是 （A）9（B） 9（C）（D）1
4、5 两圆的半径之比为 3：1，则大圆的内接正三角形与小圆的外切正三角形的面积之比为 （A）3：2（B） 9：4（C） 3：1（D）9：116 已知 =2，则必有 （A）a=9 ，b=一 12（B） a=b=9（C） a=一 9，b=0（D）a=1 ，b=217 曲线 y= 在 x=0 处的切线方程是 （A）2xy=0（B） x 一 2y=0（C） 2x+y=0（D）x+2y=018 已知某厂生产 x 件产品的成本为 c(x)=1000+150x+ x2(元)，要使平均成本最小所应生产的产品的件数为 件（A）50（B） 100（C） 150（D）20019 I=02(2sinx 一 2-sinx
5、)dx，则 （A）I=0（B） I0（C） I0（D）I=220 曲线 y=x2-3x+2 与 x 轴、y 轴及 x=3 所围成图形的面积为 （A） 03(x2 一 3x+2)dx（B） 03(x23x+2)dx（C） 01(x23x+2)dx+12(x23x+2)dx 一 23(x23x+2)dx（D） 01(x23x+2)dx 一 12(x23x+2)dx+23(x23x+2)dx21 设 f(x)是以 1 为周期的连续函数，F(x)= -10xf(xt)dt，则 F(x)= （A）0（B） xf(0)（C） 01f(t)dt（D）x22 设 =( )T， A=I-T，B=I+2 T，其中
6、 I 是 4 阶单位矩阵，则 AB= （A）I（B）一 I（C） 0（D）A23 已知 A 为三阶方阵，A *为其伴随矩阵，且有A+2I=0，A 一2I=0，2AI=0，则A *= （A）4（B）一 4（C） 2（D）一 224 设向量组 1， 2， 3 的 r(1， 2， 3)=3， 4 能由 1， 2， 3 线性表示， 5 不能由 1， 2， 3 线性表示，则 r(1 一 2， 2， 3-1， 5 一 4)= （A）1（B） 2（C） 3（D）425 已知 =(2，1，a 一 1)T 是矩阵 A= 的特征向量， 是特征向量 所对应的特征值，则 （A）a=3 ，=5（B） a=一 2，=0（
7、C） a=5=3（D）a=0 =一 2工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 167 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 如图所示，多边形 ABCDE 的面积等于长方形 EFGH 的面积与三个直角三角形AFB，BGC 与CHD 的面积之差，所以故选(B)2 【正确答案】 C【试题解析】 故选(C)3 【正确答案】 A【试题解析】 是半径为 R 的球，其体积为 R3 的底面为 的大圆，其面积等于 R2 的顶点在 表面上，因此 的高等于 的半径 R，于是 体积为故选(A)4 【正确答案】 A
8、【试题解析】 两码头相距 198km，客轮顺流而行要 6h，逆流而行要 9h,因此顺流速度为 =22kmh顺流速度是客轮的航速加上水流速度，逆流速度是航速减去水流速度，因此航速为 =275(km h)，水流速度为 33275=55(kmh) 故选(A)5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 i(a+hi)=3+4i，所以i(a+bi)= 3+4i 又i(a+bi)= ia+bi=a+bi，3+4i =5，所以a+bi=5 故选(D)6 【正确答案】 C【试题解析】 这是一个独立重复试验的问题n 次独立重复试验中恰有 k 次发生的概率为 P n(k)=Cnkpk(1 一 p)n-k当 n=2，k
9、=1 时， 故选(C) 如果做两次测验，两次都通过的概率，则有 P2(2)= 两次测验都不通过的概率 P2(0)也等于 7 【正确答案】 A【试题解析】 由对数方程可得 42x=10(a 一 x)， 即 2x2 一 10x+10a 一 4=0，方程有实数根，所以判别式 1008(10a 一 4)0，即 13280a0正整数 a 只能取 1 故选(A)8 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)=x 一 2+x+1，即 参照图可见，f(x)的最小值为 3不等式 f(x)b 的解集是 ，其充分必要条件是 b3 故选(C) 9 【正确答案】 C【试题解析】 当 a=0 时，f(x 0)=0 不成立
10、；当 a0 时，y=f(x)是线性函数，f(x 0)=0， x0(一 1，1)所以 f(一 1)与 f(1)异号，即 (一 3a 一 2a+1)(3a 一 2a+1)0， (一 5a+1)(a+1)0看成 a 的二次不等式，得 a一 1 或 a 故选(C)10 【正确答案】 B【试题解析】 故选(B)11 【正确答案】 B【试题解析】 y= 的图像是以原点为中心，半径等于 3 的上半圆y=x+b 的图像是斜率为 1 的直线如图，当 b=一 3 时直线 l1：y=x 一 3 与半圆交于(3，0)点当 b= 与半圆相切在 l1 与 l2 之间与它们平行的直线都与上半圆有交点(此外则无交点)，即原方
11、程有实数解 故选(B)12 【正确答案】 B【试题解析】 设ABC 中 A，B， C 所对应的边的长度分别为 a，b，c，即a=BC，b=AC。c=AB由余弦定理故选(B)13 【正确答案】 B【试题解析】 与定点距离为 r 的直线就是以该定点为中心、半径等于 r 的圆的切线本题以 A 为中心、半径等于 2 的圆与以 B 为中心、半径等于 3 的圆相交两圆有两条公切线故选(B) 14 【正确答案】 B【试题解析】 方程的曲线为双曲线，要求 m 一 1 和 m+1 同号，即(m+1)(m 一 1)0解得 m(一，一 1)(1，+) 若 m(1，+)，则 a2=m 一 1，b 2=m+1，所以 c
12、2=a2+b2=2m，e= ，得 m=9 若 m(-，一 1)，则a2=一(m+1)，b 2 一(m 一 1)所以 c2=a2+b2=一 2m，e=，得 m=一 9 故选 (B)15 【正确答案】 B【试题解析】 如图所示，设小圆半径为 R，由题意知大圆半径为 3R大圆的内接正三角形边长 AB 满足 3Rcos30= AB，因此故选(B) 16 【正确答案】 A【试题解析】 所以，b=一 12 故选(A)17 【正确答案】 D【试题解析】 由对数函数性质可得即 x+2y=0 故选(D)18 【正确答案】 B【试题解析】 平均成本故 F“(100)0，所以x=100 是唯一的极小值点，因而它是最
13、小值点 故选(B)19 【正确答案】 A【试题解析】 设 f(x)=2sinx 一 2-sinx，则 f(一 x)=2sin(-x)一 2-sin(-x)=2-sinx 一 2sinx=一 f(x)，这说明被积函数为奇函数，又被积函数为以 2 为周期的周期函数，所以 l(2 sinx 一2-sinx)dx=I(2sinx 一 2sinx)dx=0 故选(A) 20 【正确答案】 D【试题解析】 画出曲线所围图形(见图)当 x(1，2)时，x 2 一 3x+20，因此 A=03x 2 一 3x+2dx =01(x23x+2)dx 12(x2 一 3x+2)dx+23(x23x+2)dx+(x2-
14、3x+2) 故选(D)21 【正确答案】 C【试题解析】 在 -10f(xt)dt 中令 xt=u，则当 t=一 1 时，u=x+1，t=0 时，u=x，du= 一 dt，因此 -10f(xt)dt=x+1xf(u)(一 du) =xx+1f(u)du =01f(u)du=01f(t)dt 所以，F(x)= 01f(t)dt，于是 F(x)=01f(t)dt 故选(C)22 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查了特殊矩阵的乘积与矩阵乘法的结合律 由于 T=1，所以 AB=(I 一 T)(I+2T)=I 一 T+2T 一 2TT =I+T 一 2(T)T=I 一 T=A 故选(D)23 【
15、正确答案】 A【试题解析】 由A+2I =0 及A 一 2I=0 知 A 有特征值 1=一 2， 2=2，由2AI= 因此A = 123=一 2 又A*=AA -1，所以A *= =(一 2)2=4 故选(A)24 【正确答案】 D【试题解析】 因可由 1， 2， 3 线性表示，所以矩阵( 1 一 2， 2， 3 一 1， 5-4) (1， 2， 3， 5)因 r(1， 2， 3)=3，所以 1， 2， 3 线性无关又因 5 不能由 1， 2， 3 线性表出，所以 1， 2， 3， 5 线性无关，因此r(1， 2， 3， 5)=4 故选(D) 25 【正确答案】 A【试题解析】 由特征值、特征向量的定义，有解此方程组得 a=3，=5故选(A)
