1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 176 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 如果一直角梯形的周长是 54cm，两底之和与两腰之和的比是 2：1，两腰之比是1：2，那么此梯形的面积为 cm 2（A）54（B） 108（C） 162（D）2163 某道路一侧原有路灯 106 盏，相邻两盏的距离为 36m现计划全部换为新型节能灯，两灯距离变为 70m，共需新型节能灯 盏（A）54（B） 55（C） 108（D）1104 修整一条水渠，原计划由 16 人修，每天工作 75h，6 天可以完成任务由于特殊原因，现要
2、求 4 天完成，为此又增加了 2 人，现在每天要工作的时间为 h（A）7（B） 8（C） 9（D）105 某单位招聘员工，报名表来自两个地区，各有 10 份和 15 份，其中女生的报名表分别有 3 份和 7 份今随机地选择一个地区，然后从该地区的报名表中抽出两份，抽到的两份都是女生报名表的概率是 6 在(x 一 )3 的展开式中，x 5 的系数是 （A）一 28（B）一 56（C） 28（D）567 已知复数 z 满足 =i，则1+z = （A）0（B） 1（C）（D）28 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数当 x0 时，f(x)=x 2 一 6，则不等式 f(x)x 的解集为 （A）
3、(一 2，0) (0，2)（B） (一 2，0)(2，+)（C） (一，一 2)(0，2)（D）(一，一 2)(2，+)9 若不等式 ax 的解集是(0，4 ，则 a 的取值范围是 （A）(一， 0)（B） (一，0（C） (一，4)（D）(0 ，4)10 在数列a n中，a 1=1，a 2=2，且 an+2 一 an=1+(一 1) n (n3 且 nN*)，则前 100 项的和 S100= （A）2450（B） 2500（C） 2600（D）275011 已知 ，则 sinx= 12 平面直角坐标系中向量的集合A=aa=(2，一 1)+t(1，一 1)，tR)，B=bb=(一 1，2)+t
4、(1 ，2) ，tR)，则 AB= （A）(2，一 1)（B） (一 1， 2)（C） (2，一 1)，(一 1，2)（D）13 设 r0在圆 x2+y2=r2 属第一象限部分的任意点作圆的切线，切线被两坐标轴截下的线段长度的最小值是 （A）r（B）（C）（D）2r14 已知双曲线 C 的中心在原点，它的一个焦点为( ，0)直线 y=x 一 1 与 C 交于不同的两点 M，N线段 MN 中点的横坐标为一 ，则 C 的方程为 15 已知一个圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱的底面半径也相等，则圆柱的全面积和圆锥的全面积之比等于 16 设 f(x)的定义域是一 1，0，则 f(x
5、一 )+f(sinx)的定义域是 17 设 f(x)为连续函数，且 =1，则曲线 y=f(x)在 x=2 处的切线方为 （A）y=x 一 5（B） y=2x 一 7（C） y=x+5（D）y=2x+718 在区间0 ，+)内，方程 +sinx-1=0 （A）无实根（B）有且仅有一个实根（C）有且仅有两个实根（D）有无穷多个实根19 设 y=y(x)由方程 sinx- = （A）2e 2（B） e2（C） 2e-2（D）e -220 设 f(x)是连续函数，且满足方程 0xtf(xt)dt=1 一 cosx，则 f(t)dt= （A）0（B） 1（C） 3（D）421 抛物线 y= 与其过点 P
6、(一 1，0)的切线及 x 轴所围图形面积为 22 如果 的值为 （A）一 6（B）一 9（C）一 18（D）1823 设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，J 为优阶单位阵若 AB=I，则 （A）A 的秩为 m，B 的秩为 m（B） A 的秩为 m，B 的秩为 n（C） A 的秩为 n，B 的秩为 m（D）A 的秩为 n，B 的秩为 n24 A 为 mn 矩阵，且 mn，Ax=0 是 Ax=b 的导出组，则下述结论正确的是 （A）Ax=b 必有无穷多组解（B） Ax=0 必有无穷多组解（C） Ax=0 只有零解（D）Ax=b 必无解25 已知 A 是 4 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩
7、阵若 A*的特征值是 1，一 1，3，9，则不可逆矩阵是 （A）AI（B） A+I（C） A+2I（D）2A+I工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 176 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 故选(B)2 【正确答案】 B【试题解析】 设该梯形的两腰中短的长为 a，两底中短的长为 b因为两腰之比是1：2，所以另一腰长度为 2a如图所示，另一底长度为 又两底之和与两腰之和的比是 2：1，所以=6a 已知该梯形周长为 54cm，因此 26+ =6a 代入，解得 9a=54(cm)，a=6
8、(cm) 该梯形面积为 故选(B)3 【正确答案】 B【试题解析】 根据题意，该道路长度为 10536=3780(m)，于是所需新型节能灯数为 +1=54+1=55 故选 (B)4 【正确答案】 D【试题解析】 设每天要工作 x(h)，则 x 满足16756=(16+2)x4，解得 x=10h故选(D)5 【正确答案】 B【试题解析】 设两个地区分别为甲、乙两地，选到甲地的概率为 ，从甲地的报名表中抽出两份，抽到的两份都是女生报名表的概率是 选到乙地的概率为 ，从乙地的报名表中抽出两份，抽到的两份都是女生报名表的概率是 所求概率为 故选(B)6 【正确答案】 C【试题解析】 =x5 得k=6，
9、所以 x5 的系数为(一 1)8-6C6=28 故选(C)7 【正确答案】 C【试题解析】 故选(C)8 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，解 f(x)=x2 一 6x，得 x(一 2，0) 因为 f(x)是奇函数，所以当 x0 时，不等式 f(x)x 的解集为(2 ，+) 故不等式 f(x)x 的解集为(一2，0)(2，+) 故选(B)9 【正确答案】 A【试题解析】 记 f1(x)= ，它的定义域是0，4y=f 1(x)的图像是圆(x 一 2)2+y2=4 的上半部分记 f3(x)=ax，y=f 2(x)的图像是过原点的直线要满足不等式，即在区间(0 ，4 上 f1(x)图像都要
10、在 f2(x)图像上方，只有 a0 注意 不能取 a=0，此时不等式的解集是(0，4) 故选(A) 10 【正确答案】 C【试题解析】 据题设 a1=1，a 2=2，a 3-a1=0，a 4-a2=2，a 99 一 a97=0，a 100-a98=2所以有 a 1=a3=a5=a99=1(共 50 项)且 a2，a 4，a 100 是一个首项为2，公差为 2 的等差数列，于是 a 2+a4+a100=502+ 2=2550， a1+a2+a100=2550+50=2600 故选(C)11 【正确答案】 B【试题解析】 故选(B)12 【正确答案】 B【试题解析】 令平面向量 a= ，a 的坐标
11、即点 A 的坐标，向量的集合与端点 A的集合一一对应题中的集合 A 对应于直线 l 1： tR，即直线l1：x+y 一 1=0 集合 B 对应于直线 l 2： tR，即 l1：2xy+4=9直线 l1 和 l2 是相交的直线，有一个交点(一 1，2)所以 AB只有一个元素向量(一 1，2) 故选(B)13 【正确答案】 D【试题解析】 如图，设圆上任意点 P(x0，y 0)其中 x00，y 00过 P 切线与OP 垂直，切线斜率 k=一 切线方程为等号当且仅当 x0=y0 时成立，此时(x 0，y 0)= 故选(D)14 【正确答案】 D【试题解析】 因双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴
12、，所以设C： =1(a0，b 0)由焦点坐标知 a2+b2=7将 y=x 一 1 代入 C 的方程得 (b2 一 a2)x2+2a2x 一 a2 一 a2b2=0设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，则 x1+x2=一，即得 5a2=2b2，与 a2+b2=7 联立解得a2=2， b2=5 故选(D) 15 【正确答案】 C【试题解析】 图所示为圆锥和圆柱剖面图的一半，设圆柱和圆锥底面半径分别为r 和 R由题设，有 OE=OC=r，OA=OB=R，ABEDBOA，从而得 所以 R=2r，圆柱全面积 S 1=2rr+r 2+r2=4r2圆锥全面积故选(C)16 【正确答案】 C【试题解析
13、】 由 f(x)的定义域是 一 1，0有及一 1sinnx0，即 2k 一 1x2k (k 是整数) (2)联立(1)式和(2)式解得一x0故选(C)17 【正确答案】 A【试题解析】 所以曲线 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y 一 f(2)-f(2)(x 一 2)，即 y+3=x 一 2，亦即 y=x一 5 故选(A) 18 【正确答案】 B【试题解析】 设 f(x)= +sinx 一 1，当 x1时，f(x) 0，所以只需讨论在0，1上的情形 f(0)=一 10，f(1)=1+sin1 0，f(x)在0，1上连续，由零点存在定理，f(x)=0 在(0，1)内至少有一个实根又当 x(0
14、，1)时，f(x)= +cosx0，这说明 f(x)在(0，1) 内是单调增加的，因此 f(x)=0 在(0，1)内只有唯一的一个实根，从而 +sinx 一 1=0 在0，+) 内只有一个实根故选(B) 19 【正确答案】 A【试题解析】 把 x=0 代入 sinx =0 中，得 y=1对方程两边关于 x 求导，得 故选(A)20 【正确答案】 B【试题解析】 在 0xtf(xt)dt 中，令 x 一 t=u，则 dt=一 du,而且当 t=0 时，u=x；当 t=x 时，u=0于是 0xtf(x 一 t)dt=0x(x 一 u)f(u)(一 du) =0x(x-u)f(u)du=x0xf(u
15、)du一 0xuf(u)du这样原方程可写为 x0xf(u)du 一 0xuf(u)du=1 一 cosx对上式关于 x求导得 0xf(u)ddu+xf(x)一 xf(x)=sinx，即 0xf(u)du=sinx令 x=f(t)dt=1故选(B)21 【正确答案】 A【试题解析】 设切点坐标为(x 0， )，则切线方程为将 x=一 1，y=0 代入此切线方程，解得 x0=1，故切点为(1，1)参考图有 故选(A)22 【正确答案】 C【试题解析】 根据行列式的性质，有故选(C)23 【正确答案】 A【试题解析】 因为 AB=I，所以 r(AB)=m由 r(AB)r(A)，r(AB)r(B)知
16、 mr(A)m，mr(B)m，所以 r(A)=m，r(B)=m 故选(A)24 【正确答案】 B【试题解析】 由 mn 可得 Ax=0 中方程个数小于未知量个数(即 r(A)n)，所以Ax=0 存在非零解，从而 Ax=0 必有无穷多组解 Ax=b 有解 r(A)=r(A|6)，在此题中没有提供 r(A)与 r(A|b)是否相等的信息，因此，无法判断 Ax=b 解的情况故选(B)25 【正确答案】 B【试题解析】 由 A*的特征值是 1，一 1，3，9 可得 A*=一 27又因A *=A n-1，所以 A 3=一 27，即A= 一 3 根据性质：如果可逆矩阵 A 的特征值是 ，其伴随矩阵 A*的特征值为 *，则有 = 因此，A-I 的特征值为一 4，2，一 2，一 因 A-I 的特征值非零，所以 A-I 可逆 A+I 的特征值为一 2，4，0， 因A+I 的特征值中有为 0 的数，所以 A+I 不可逆故选 (B)
