1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（概率论）模拟试卷 4 及答案与解析单项选择题1 设 A 和 B 是任意两个事件，则下列事件中与事件 相等的是( )2 假设事件 A，B 满足 P(B|A)=1，则( )（A）A 是必然事件（B） P(B| )=0（C） A 包含事件 B（D）P(AB)=03 n 张奖券中含有 m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，其中至少有一个人中奖的概率为( ) 4 设 f(x)为连续型随机变量 X 的密度函数，则( )（A）f(x)可以是奇函数（B） f(x)可以是偶函数（C） f(x)是连续函数（D）f(x)可以是单调增加函数5 设连续型随机变量 X 的密度函数为 则
2、 k=( )（A）23（B） 12（C） 13（D）146 离散型随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 PX=1=PX=2，则 =( )（A）1（B） 2（C） 3（D）47 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)(0)，且二次方程 y2+4y+2X=0 无实根的概率为 12，则 =( )（A）1（B） 2（C） 3（D）48 已知各车站到站客流批次服从参数为 的泊松分布，现对上海某公共汽车站客流量进行一次调查，统计了上午 10：30 到 11：47 每隔 20 秒乘客来到车站的批数(非人数)，得到 230 个数据，如下表所示：则乘客来到车站的批次的分布参数 =( )（A）071（B）
3、 079（C） 089（D）19 设随机变量 X 的概率分布为 PX=k=Ck!，k=0，1，2，则 E(X2)=( )（A）2（B） 3（C） 4（D）510 设随机变量 X 的密度函数为 又知 EX=34，则k， 分别为 ( )（A）2，3（B） 3，2（C） 3，4（D）4，311 已知随机变量 X 的密度函数为 f(x)= (x+)，则 EX，DX 分别为( )（A）1，12（B） 1，14（C） 2，1（D）2，212 设随机变量 X 服从区间a，b 上的标准均匀分布，则a，b=( )（A）1，1（B） （C） 1 （D）3，3计算题13 一批产品有 12 件，其中有 4 件次品，8
4、 件正品现从中任取 3 件产品，试求取出的 3 件产品中有次品的概率14 10 件产品中有 5 件一级品，3 件二级品，2 件次品，无放回地抽取，求取到二级品之前取到一级品的概率15 一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，在某个时间段每个元件无故障工作的概率为 08求该电路分别在三个元件串联和并联情况下无故障工作的概率16 已知离散型随机变量 X 的分布函数为 求 X 的分布阵，并计算 Px=1，P 1X3，PX0|2X1 17 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为求 Y 的分布列17 设连续型随机变量 X 的密度函数为 求：18 常数 A；19 P(X1000)；20 PX=10
5、00；21 X 的分布函数 F(x)22 已知连续型随机变量 X 有密度函数为 求系数 k 及分布函数 F(x)，并计算 P1X52|X3 23 某地抽样调查考生的英语成绩(按百分制计算)近似服从正态分布，平均成绩为72 分，96 分以上的考生占整个考生人数的 23，试求英语成绩在 60 分至 84 分之间的概率(1)=08431，(2)=0977)24 设一条自动生产线上生产的每台仪器以概率 08 可以出 f，以概率 02 需要进一步调试，经调试后，以概率 075 可以出 f，以概率 025 定为不合格品不能出 f现该生产线新生产出十台仪器，试求这十台仪器能够出 f 的期望25 设随机变量
6、X 的分布函数为 求 EX，E(2X+5)，E(X 2)，D(X2)26 设随机变量 X 的分布函数为 求 EX；DX；E(X 2)；D(23X)27 某类型电话呼唤时间 T 为连续型随机变量，满足 P(Tt)=ae t +(1a)e ，t0，01， ， 0， 求 ET28 设随机变量 X 在1，2上服从均匀分布，且 Y=X2 求 DX，DY经济类专业学位联考综合能力数学基础（概率论）模拟试卷 4 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 通过事件的恒等运算，将 化简，即由知该事件与事件 相等，故选 A【知识模块】 概率论2 【正确答案】 D【试题解析】 推断可采用三种方法：解法
7、1 直接法由 P(B|A)=1，有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)，从而有 P(AB)=P(A)P(AB)=P(A) P(A)=0 故选 D解法 2 排除法反例，若设事件 A=取等品，B=取一等品或二等品，统称合格品，现任取 1 件产品，若已知为一等品，则该产品必为合格品，即有 P(B|A)=1，但 A 并非必然事件，A 也不包含事件 B，且 P(B| )0，因此，应选 D解法 3 图解法如图 3 一 7 一 2 所示，A 发生，则 B 必发生显然，选项 A，B，C 不正确，故选 D【知识模块】 概率论3 【正确答案】 A【试题解析】 n 张奖券， k 个人购买，每人一张，是一个组
8、合问题，共有 Cnk 种组合方式，即总样本点数为 Cnk其中至少有一个人中奖即为所有人都不中奖的对立事件，后者事件意味着抽取的 k 张奖券均取自 n m 张不含奖部分，因此，所含的样本点数为 Cnm k，所以，其中至少有一个人中奖的概率为 故选 A【知识模块】 概率论4 【正确答案】 B【试题解析】 构成连续型随机变量 X 的密度函数 f(x)，只需满足两个条件：一是非负性，f(x)0；二是 +f(x)dx=1在这两个条件下，对 f(x)的函数类型没有特别限定选项 A，依题设，f(x)是连续型随机变量 X 的密度函数，则在(，+)上总有 f(x)0若是奇函数，则有 f(x)=f(x)0，与它的
9、非负性矛盾选项 C，连续型随机变量 X 的密度函数未必连续，但一般只允许有若干间断点，如当 X 服从区间a ，b上的均匀分布，其密度函数即为分段函数，有两个间断点选项 D，若 f(x)是单调增加函数，又 f(x)0，则至少有一个点 x0，使得 f(x0)0，于是，当xx 0 时，总有 f(x)f(x 0)0，因此有 +f(x)dx=f(x0)(xx 0)，知 +f(x)dx 发散显然，选项 D 不正确由排除法知，应选 B【知识模块】 概率论5 【正确答案】 B【试题解析】 由 +f(x)dx=1，有 0+kex2 dx=2ke x2 |0+=2k=1， 解得k=12故选 B【知识模块】 概率论
10、6 【正确答案】 B【试题解析】 由于 X 服从参数为 的泊松分布，则有 PX=k=k!e =(0，k=0，1，2，)， 于是由题设， PX=1=PX=2，得 1!e =22!e ， 从而有 22=0，解得 =2(=0 舍去)，所以 =2故选 B【知识模块】 概率论7 【正确答案】 B【试题解析】 二次方程 y2+4y+2X=0 无实根的事件为168X0 ，即X 2，于是依题设，有 Px2=1PX2=12，即 PX2=12，也即 ( )=12，从而得 2=0，=2故选 B【知识模块】 概率论8 【正确答案】 C【试题解析】 泊松分布的参数 即为其客流批次的期望，也即到站乘客批次的加权平均值因此
11、，由调查数据容易计算出每隔 20 秒出现的到站乘客批次的加权平均值为EX=0043+1035+2015+3004+40 03=089，【知识模块】 概率论9 【正确答案】 A【试题解析】 注意到 X 的概率分布为 PX=k=Ck! ，k=0，1，2，与服从参数 =1 的泊松分布的概率分布 PX=k)=1kk!e 1 ，k=0，1，2，结构完全一致，并可以推出 C=e1 于是知 EX=DX=1，则 E(X2)=DX+(EX)2=+2=1+1=2故选A【知识模块】 概率论10 【正确答案】 B【试题解析】 由 +f(x)dx=01kxdx =1，即 k=1 又EX= +xf(x)dx=01kx+1
12、dx 即 4k3=6联立两式，解得 k=3，=2故选 B【知识模块】 概率论11 【正确答案】 A【试题解析】 将其化为正态分布的密度函数的标准形式，即由正态分布的密度函数一般形式中参数与其数字特征的关系，可得 EX=1，DX= 2=1 2故选 A【知识模块】 概率论12 【正确答案】 B【试题解析】 由 X 服从区间a，b上的标准均匀分布知，EX=0，DX=1解法 1由题设，直接计算 EX=12(a+b)=0 ，DX=110(ba) 2=1联立得方程组，解得a= ，故选 B解法 2 对各选项一一验证知 C不正确选项 D，由 EX=12(3+3)=0，DX=112(3+3) 2=3，知 D 不
13、正确故选B【知识模块】 概率论计算题13 【正确答案】 设事件 A=取出 3 件中有次品 ，A i=取出 3 件中恰好有 i 件次品，i=1， 2，3 显然，A 1，A 2，A 3 两两互斥，且它们依次包含的样本点数分别为=C41C82， =C42C81， =C43，由事件的关系和运算，有 A=A1+A2+A3，又从12 件产品中取 3 件产品，样本点总数为 C123因此 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)本题也可考虑从事件 A 的反面去计算，即【知识模块】 概率论14 【正确答案】 设 Ak 为第 k 次取到一级品，B k 为第 k 次取到次品，A 为取到二级品之前取到一级品，于是
14、 A1=A1，A 2=B1A2，A 3=B1B2A3，A=A 1+B1A2+B1B2A3，显然，事件 A1，A 2，A 3 互斥，从而有 P(A)=P(A1)+P(B1A2)+P(B1B2A3)【知识模块】 概率论15 【正确答案】 三个同种电气元件中有 个无故障工作的概率服从二项分布概型，即 P=k=C 3k08 k(108) 3k (k=0，1，2，3) 于是在三个元件串联情况下，电路无故障工作，即在三个元件都处在正常工作状态，因此所求概率为 P=3=C3308 3(108) 33 =08 3=0512 在三个元件并联情况下，只要其中一个元件无故障工作，电路即正常工作，因此所求概率为 1P
15、=0)=1C 3008 0(108) 3=102 3=0992【知识模块】 概率论16 【正确答案】 X 的正概率点即为 F(x)的分段点：X=1，0，2，且有 PX=1=F(1)F( 10)=12，PX=0=F(0)=F(00)= =314，PX=2=F(2)F(20)=1 =27于是 X 的分布阵为 从而有 PX=1)=0或 PX=1=F(1)F(1 0)= =0；P1x 3=PX=0+PX=2=12，或P1X3=F(30)F(1)=1 =12；PX0|2X 1【知识模块】 概率论17 【正确答案】 显然，Y 的正概率点为 0，1，2于是 PY=0=PX1= 1f(x)dx=0116dx=
16、16；PY=1=P1X4= 14f(x)dxPY=2=PX4=4+f(x)dx=4514dx=1 4，或PY=2=1 PY=0PY=1=1 =14因此，Y 的分布列为【知识模块】 概率论【知识模块】 概率论18 【正确答案】 根据连续型随机变量密度函数的性质，有 +f(x)dx=100+A x2dx=Ax| 100+=A100=1 ， 解得 A=100【知识模块】 概率论19 【正确答案】 PX1000= 1000+100x 2dx=100x| 1000+=110【知识模块】 概率论20 【正确答案】 PX=1000=0 【知识模块】 概率论21 【正确答案】 F(x)= xf(t)dt【知识
17、模块】 概率论22 【正确答案】 由连续型随机变量密度函数的性质，有 +f(x)dx=02(k+1)dx=( kx2+x)|02=2k+2=1，解得 k=12又当 x0 时，PXx=0 ；当 x2 时，PXx=1；当 0x2 时， PXx=0x( t+1)dt= x2+x，从而得 F(x)=PXx【知识模块】 概率论23 【正确答案】 设 X 为考生的英语成绩，则 XN(， 2)，其中 =72，下面确定 依题设，PX96=0 023，即有(24)=0977，得 24=2，所以=12，因此 XN(72，12 2)所以 P60X84=p| |1=2(1)1=06862【知识模块】 概率论24 【正
18、确答案】 对于该生产线生产的每台仪器，设事件 A 表示“ 仪器能出厂”，B表示“仪器需要进一步调试” ， 表示“仪器可以直接出厂”，AB 表示“仪器经调试后可以出厂”于是 A= AB，P(A)=P( )+P(AB)=P( )+P(B)P(A|B)=08+02075=095 设随机变量 X 表示十台仪器中能够出厂的台数，则 X服从二项分布 B(10，095)，因此 EX=10095=9 5( 台)【知识模块】 概率论25 【正确答案】 求 X 的期望与方差先求 X 的分布阵，依题设，有因此 EX=10 2+00 6+102=0，E(2X+5)=2EX+5=5， E(X2)=(1) 202+0 2
19、06+1 202=04，D(X 2)=E(X4)E(X 2)2=(1) 402+0 4)06+1 40204 2=024【知识模块】 概率论26 【正确答案】 求 X 的期望与方差必须先求 X 的密度函数，即有因此 EX= +xf(x)dx=13( x)dx=20 9；E(X 2)= +x2f(x)dx=13( x2)dx=479；DX=E(X 2)(EX) 2D(23X)=9DX=23 9【知识模块】 概率论27 【正确答案】 依题设，先求 T 的密度函数，利用分布函数法当 t0 时，F(t)=PTt=1 PTt=1e t (1)e t ，由 F(0)=0，F(t)单调非减非负知，当t0 时
20、，F(t)=0，所以 T 的分布函数为从而得 T 的密度函数为因此 ET= +tf(t)dt=0+tet +(1)te t dt 其中 0+tekt dt【知识模块】 概率论28 【正确答案】 由题设，X 的密度函数为 因此EX= +xp(x)dx=1 2x 3dx=16x 2|1 2=12，E(X 2)= +x2p(x)dx=1 2x23dx=19x 3|1 2=1，所以 DX=E(X2)(EX) 2=34 又 EY= +x2p(x)dx=1 213x 2dx=19x 3|1 2=1，E(Y2)= +x4p(x)dx=1 213x 4dx=115x 5|1 2=3315=115，所以 DY=E(Y2)(EY)2= 1=6 5【知识模块】 概率论
