1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（概率论）模拟试卷 6 及答案与解析单项选择题1 对于任意两个事件 A 和 B，与 AB B 不等价的是( )2 设 A，B 为随机事件，且 P(B)0，P(A|B)=1，则必有( )（A）P(AB) P(A)（B） P(AB)P(B)（C） P(AB)=P(A)（D）P(AB)=P(B)3 袋内有 n 个球(n1 个白球，1 个红球)，n 个人依次从袋中随机地无放回地抽取1 个球，则第 k 个人取到红球的概率为( )（A）kn（B） (k1) n（C） 2n（D）1n4 设工 fA 和工 fB 的产品次品率分别为 1和 2，现从由工 fA 和工 fB 的产品
2、分别占 60和 40的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属工 fA 的产品的概率是( ) （A）27（B） 37（C） 12（D）235 设 F(x)为随机变量 X 的分布函数，则 F(x)为( )（A）偶函数（B）奇函数（C）单调不减函数（D）连续函数6 设连续型随机变量 X 的密度函数和分布函数分别为 f(x)与 F(x)，若 X 与X 有相同的分布函数，则( ) （A）F(x)=F( x)（B） F(x)=F(x)（C） f(x)=f(x)（D）f(x)=f( x)7 已知离散型随机变量 X 的分布律为 PX=k)=13p k(k=0，1，)，则 p=( )（A）23（B） 1
3、2（C） 13（D）148 设口袋中有 5 个球，其中有 3 个黑球，从中有放回地取出 1 个，连取 3 次，随机变量 X 表示 3 次取球中出现黑球的次数，令 p=0 6，则 X 的概率分布为( )（A）PX=k=C 2k1 (1p) 3k pk，k=0，1，2，3（B） PX=k=C3kC23k C 53，k=1 ，2，3（C） PX=k=C3kpk(1p) 3k ，k=0，1，2，3（D）PX=k)=p k(1p) 3k ，k=0，1，2，39 设随机变量 X 服从1，3上的均匀分布，若 Pxa=12，则 a=( )（A）0（B） 1（C） 2（D）310 设 X 为做一次某项随机试验
4、A 成功的次数，若 P(A)=p(p0)，则 EX=( )（A）1p（B） p（C） (1p)p（D）011 已知随机变量 X，Y 相互独立，且都服从泊松分布，又知 EX=2，EY=3 ，则随机变量 X+Y( )（A）服从参数为 5 的泊松分布（B）服从参数为 3 的泊松分布（C）服从参数为 2 的泊松分布（D）未必服从泊松分布12 设随机变量 X 的密度函数为 则 EX=( )（A）0（B） 1（C） （D）不存在13 随机变量 X 服从正态分布 N(1，4)，Y=1 2X，则 Y 的密度函数 Y(y)=( )14 已知 EX=1，DX=3，则 E3(X22)=( )（A）9（B） 6（C）
5、 30（D）36计算题15 某人只知电话号码的最后一个数字是偶数，但忘记具体的数字，因而任意按最后一个数，试求不超过三次能打通电话的概率16 每箱产品有 10 件，其次品数从 0 到 2 是等可能的，开箱检验时，从中任取 1 件，如检验出是次品，则认为该箱产品不合格而拒收假设由于检验有误，将 1 件正品误认为次品的概率为 2，1 件次品被漏查而判为正品的概率为 5，试求一箱产品通过验收的概率16 离散型随机变量 X 的分布函数为 求：17 X 的分布阵；18 PX32；19 方程 x2+Xx+1=0 有实根的概率20 在“投掷硬币 ”的试验中，若引入变量 X 表示“每次出现正面的次数 “，试求
6、随机变量 X 的分布列和分布函数，并给出分布函数 F(x)的图形21 设两个随机变量 X 与 Y 分布相同，X 的密度函数为已知事件 A=Xa 和事件 B=“Ya”相互独立，且P(A+B)=34求常数 a 的值22 在半径为 R，中心在坐标原点的圆周上随机地投掷一点，求该点横坐标 X 的密度函数 fX(x)23 袋中有若干个白球和黑球，且白球和黑球数都不小于 4若从中取出 1 个球，取出白球数的期望为 a，若取出 4 个球，求取到白球数的期望24 已知随机变量 X 的概率分布 PX=k)=12 k(k=1，2，)， 设 Y=sin2X，求EY，DY 25 某系统以串联方式装有两个电子元件，每个
7、元件无故障工作时间分别为X1，X 2，且同服从参数为 的指数分布，求该系统无故障工作时间的数学期望26 设随机变量 X 的密度函数为 求随机变量的数学期望和方差经济类专业学位联考综合能力数学基础（概率论）模拟试卷 6 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 AB B 即 A+B=B，知A 将 A=B 不等价，故选 D【知识模块】 概率论2 【正确答案】 C【试题解析】 由乘法公式和加法公式，有P(AB)=P(B)P(A|B)=P(B)，P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)，故选 C【知识模块】 概率论3 【正确答案】 D【试题解析】 设事件 Ai=第 i 个人取到红
8、球)，则 Ak= Ak，有 P(Ak)故选 D【知识模块】 概率论4 【正确答案】 B【试题解析】 设事件 A=该产品为工 fA 的产品，B=该产品为工 fB 的产品，C=抽取的产品为次品则 P(A)=06，P(B)=04，P(C|A)=001，P(C|B)=0 02，由贝叶斯公式有 故选 B【知识模块】 概率论5 【正确答案】 C【试题解析】 选项 C，由定义式 F(x)=PXx，知随着 x 的增大，事件Xx 所占有的样本区间(，x 也越大，因此 F(x)的取值也会增大，因此 F(x)是单调增加的函数，但并非严格意义上的单调增加，它的函数曲线 y=F(x)也可能会有水平的线段，故称为单调不减
9、函数选项 A，B，由函数 F(x)的单调性及 F(x)=0， F(x)=1，知 F(x)不可能为偶函数和奇函数选项 D，F(x) 的连续性与随机变量的类型相关，仅当 X 为连续型随机变量时，F(x)在(，+)内连续故选C【知识模块】 概率论6 【正确答案】 C【试题解析】 选项 C，由题设，X 与X 有相同的分布函数，即PXx=P Xx=PXx=1PXx，从而有 F(x)=1F( x)，因此两边求导，有f(x)=F(x)=1F(x)=f(x)( x)=f(x)故选 C【知识模块】 概率论7 【正确答案】 A【试题解析】 一般地，若随机变量的取值点(即正概率点)为 xi(i=1，2，)，则PX=
10、xi=pi(i=1，2，)为 X 的分布律的充分必要条件是：p i0(i=1，2，)且pi=1因此有 解得 p=23，故选 A【知识模块】 概率论8 【正确答案】 C【试题解析】 选项 C，有放回的取出 1 个球，连取 3 次，为伯努利试验，3 次出现X 次黑球，服从二项分布，因此概率分布为 PX=k)=C 3kpk(1p)3k ，k=0，1，2，3 选项 A，从分布 PX=k=!C2k1 (1p) 3k pk，k=1，2，3 的结构看，表示第 3 次取球，恰好出现 X 次黑球的概率，应该是二项分布和几何分布复合概型，与题意不符 选项从分布 PX=k=C3kC23k C 53，k=1，2，3
11、的结构看，表示一次性从袋中取出 3 个球，其中恰好有 X 个黑球的概率，应该是超几何分布概型，与题意不符 选项 D，从分布 PX=k=pk(1p) 3k ，k=0，1，2，3的结构看，表示有放回的取出 1 个球，连取 3 次，出现一个恰好有 X 个黑球组合的概率，只是整个事件中一个局部，与题意不符 故选 C【知识模块】 概率论9 【正确答案】 B【试题解析】 由于 X 服从1，3上的均匀分布，因此， X 的密度函数为于是，若 a1，则 PXa=0，若 a3，则 PXa=1，所以1a3，从而 PXa=1 a14dx= =12，解得 a=1，故选 B【知识模块】 概率论10 【正确答案】 B【试题
12、解析】 由题设，X 服从参数为 p 的 01 分布，即 因此EX=0(1 p)+1p=p，故选 B【知识模块】 概率论11 【正确答案】 A【试题解析】 根据泊松分布的参数和其数字特征的关系，随机变量 X，Y 分别服从参数为 2 和 3 的泊松分布，又根据泊松分布的性质，在相互独立的条件下，同服从泊松分布的随机变量 X，Y 之和也服从泊松分布，其分布参数为两随机变量分布参数之和，即 X+Y 服从参数为 5 的泊松分布，故选 A【知识模块】 概率论12 【正确答案】 D【试题解析】 由于 EX= +xf(x)dx 不存在，故选 D【知识模块】 概率论13 【正确答案】 B【试题解析】 若随机变量
13、 X 服从正态分布 N(1，4)，则 X 的线性函数 Y=12X 仍服从正态分布，且 EY=12EX= 1，DY=D(12X)=4DX=16，从而有YN(1，4 2)，因此 Y 的密度函数为 故选 B【知识模块】 概率论14 【正确答案】 B【试题解析】 由关系式 E(X2)=DX+(EX)2，可得 E3(X 22)=3E(X 2)6=3DX+(EX) 26=346=6 故选 B【知识模块】 概率论计算题15 【正确答案】 设 B=不超过三次能打通电话， Bi=第 i 次能打通电话)，i=1，2 ，3则 B=B1+B2+B3，【知识模块】 概率论16 【正确答案】 设 Ai(i=0，1，2)为
14、箱中有 i 个次品， B 为一箱产品通过验收，B 1为抽取正品，于是有 P(Ai)=13(i=0 ，1，2)，P(B 1|Ai)= P(B|B1)=098，P(B|)=005，从而有 P(B1)=P(B1A0+B1A1+B1A2) P( )=1P(B 1)=01因此 P(B)=P(BB1+B )=P(B1)P(B|B1)+P( )=0887【知识模块】 概率论【知识模块】 概率论17 【正确答案】 分布函数的分段点即为离散型随机变量的正概率点，则由题意易知，正概率点为05，1，4，且 PX=05=F(05)F(050)=03， PX=1=F(1)F(1 0)=05，PX=4=F(4)F(4 0
15、)=02，故【知识模块】 概率论18 【正确答案】 PX3 2=F(32)=08，或 PX32=PX=05+PX=1=0 8【知识模块】 概率论19 【正确答案】 方程 x2+Xx+1=0 有实根，即 X240，从而有 PX 240=PX2+PX2 =F(2)+1 F(20)=0+1 0 8=02【知识模块】 概率论20 【正确答案】 随机变量 X 取值为 0，1，由于每次投掷出现正面和反面的机会均等，故 PX0)=PX=1=12，其分布列为又当 x0 时，F(x)=PXx=0，当 0x1 时，F(x)=P(Xx=PX=0=12，当x1 时，F(x)=PXx=PX=0+PX=1= =1综上，X
16、 的分布函数为分布函数 F(x)的图形如图 383 所示【知识模块】 概率论21 【正确答案】 因 X 与 Y 分布相同，即有相同的密度函数，且 P(A)=P(B)，相互独立于是 P(A+B)=P(A)+P(B)P(A)P(B)=2P(A) P2(A)=34，解得 P(A)=12(P(A)=321 舍去)由 X 的密度函数计算 P(A)=PXa，先要确定 a 的取值范围若 a2，则 PXa=0，与 P(A)=12 矛盾；若 a0，则 PXa=1，与 P(A)=12 矛盾故 0a 2，因此 P(A)=PXa= a2 x2dx=1 a3=12，解得 a= 【知识模块】 概率论22 【正确答案】 如
17、图 385 所示，由对称性，只考虑 y0 的情况依题设，投掷点应均匀分布在圆周上若设投掷点 A 与 x 轴正向夹角为 ，则 在0， 上服从均匀分布，于是 的密度函数为 且有 X=Rcos由于|X|R，因此，当 xR 时，R X(x)=PXx=0；当 xR 时，R X(x)=PXx=1；当RxR 时，有 RX(x)=PXx=PRcosx【知识模块】 概率论23 【正确答案】 不妨设袋中有 m 个白球 n 个黑球 (m4，n4)，并设所取 4 个球分4 次取出，每次取 1 个，其中共取出白球数为 X记根据“抽签原理” ，每次取到白球的概率与抽取次序无关，因此，X i 的概率分布为显然有 EX1=E
18、X2=EX3=EX4= 于是，从袋中取出 1 个球，取出白球数的期望即为 EXi= =a，i=1 ，2，3，4，则取出 4 个球，取到白球数的期望为 EX=E(X1+X2+X3+X4)=EX1+EX2+EX3+EX4=即 EX=4a【知识模块】 概率论24 【正确答案】 先求 Y 可能取的正概率点，有DY=E(Y2)(EY) 2【知识模块】 概率论25 【正确答案】 依题设，随机变量 X1，X 2 相互独立，且分布函数同为串联结构下，系统无故障工作时间为 T=minX1，X 2，于是，T 的分布函数为 (t)=PminX1，X 2t=1Pmin(X 1，X 2t=1PX 1t，X 2t=1PX
19、 1tPX 2t=11F(t) 2=1e 2t ，可知，T 服从参数为 2 的指数分布由此得 ET=12【知识模块】 概率论26 【正确答案】 本题是随机变量函数的数学期望的计算题其中 X 为连续型随机变量，Y 为离散型随机变量，因此，计算可以从两个不同角度入手，一种是将Y=f(X)看作连续型随机变量函数，运用公式计算；另一种是将本题看作求离散型随机变量的数字特征，由定义计算具体求解如下：解法 1 运用连续型随机变量函数的数学期望公式，得 EY= +y(x)f(x)dx E(Y2)= +y2(x)f(x)dxDY=E(Y2)(EY) 2 解法 2 按照离散型随机变量的数字特征的计算步骤进行首先计算 Y 的分布阵，对于 Y 的取值点由题设，有 PY=0=PX12= 12 f(x)dx=012 12dx=14，PY=1=P12X 2= 12 2f(x)dx DY=E(Y2)(EY) 2= 1=1 2【知识模块】 概率论
