1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷 1 及答案与解析单项选择题1 下列各项中，为某五阶行列式中带有正号的项是( )。（A）a 13a44a32a41a55（B） a21a15a32a41a54（C） a31a25a43a14a52（D）a 15a31a22a44a532 设 A 是 3 阶方阵，且|A|=2，则|AA|等于( )。（A）4（B）一 4（C） 16（D）一 163 齐次方程组 的系数矩阵为 A，若存在三阶矩阵 B0，使得AB=0，则( )。（A）=一 2，且|B|=0（B） =一 2 且|B|0（C） =1，且|B|=0（D）=1 且|B|04 设 A 是 m
2、n 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )。（A）当 mn 时，必有行列式|AB|0。（B）当 mn 时，必有行列式|AB|=0。（C）当 nm 时，必有行列式|AB|0。（D）当 nm 时，必有行列式|AB|=0。5 设矩阵 A 是 n 阶的，经过若干次初等变换得到矩阵 B，则必有( )。（A）|A|=|B|（B） |A|B|（C）若 |A|0，则|B|0（D）若|A|=0，则|B|=06 若 1， 2， 3， 1， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式|1， 2， 3， 1|=m，| 1， 2， 2， 3|=n，则 4 阶行列式| 3， 2， 1， 1+2|=( )。（A）m+n（B）一
3、(m+n)（C） nm（D）mn7 设 f(x)= 则方程 f(x)=0 的根的个数为( )。（A）1（B） 2（C） 3（D）48 是 A=(aij)33，满足 A*=AT，其中 A*为 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，如果 a11,a12，a 13 为三个相等的正数，则 a11 为( )。9 行列式 等于( )。（A）1000（B） -1000（C） 2000（D）一 200010 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且|A|=a，|B|=b ，若 M= 则|M|=( )。（A）一 3ab（B） 3mab（C） (一 1)mn3mab（D）(一 1)(m+1)n3mab
4、11 关于命题“ 方阵 A 满足 A2=A，且 AE，则 A 不可逆”有如下四种证明，正确的是( )。（A）由于 A2=A，所以|A| 2=|A|，故|A|(|A| 一 1)=0因为 AE，故|A|1因此|A|=0，A 不可逆（B）由于 A2=A，故 A(AE)=0，因为 AE，所以因为 A=0，所以 A 不可逆（C）反证法：若 A 可逆，在 A2=A 两边左乘 A-1，得 A=E，与假设条件 AE 矛盾，所以 A 不可逆（D）由于 A2=A，故 A(AE)=0从而|A|AE|=0，因为 AE，所以因为|A E|0，因此因为|A|=0，A 不可逆12 已知 3 阶矩阵 A 可逆，将 A 的第
5、2 列与第 3 列交换得 B，再把 B 的第 1 列的一2 倍加到第 3 列得到 C，则满足 PA-1=C-1 的矩阵 P 为( )。13 设 A，P 都是三阶方阵，P T 为 P 的转置矩阵，且 PTAP= 若P=(1， 2， 3)，Q=( 1+2， 2， 3)，则 QTAQ 为( )。填空题14 设矩阵 矩阵 B 满足 ABA*=2BA*+E，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 是三阶单位矩阵，则|B|=_。15 设 n 阶矩阵 A= 则|A|=_。16 已知 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是 3 维线性无关的列向量，如果A1=1+2，A 2=2+3，A 3=1+3，则行列式|A|=
6、_。17 设 A，B 均为 n 阶矩阵，|A|=2，|B|= 一 3，则|2A -1B*|=_；|A -1B*一A*B-1|=_。18 设 B 是非零矩阵，且 AB=0，则 a=_。19 若 的代数余子式 A12=一 1，则代数余子式 A21=_。20 若 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 则行列式|B -1 一E|=_21 设矩阵 且秩 r(A)=3，则 k=_。22 设 ， 均为 3 维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 则T=_。23 试完成下列各小题(1)已知三角矩阵 A 的逆矩阵为 A-1= 则 A 的伴随矩阵 A*的逆矩阵为_。(2)设 A= 其中ai0， i=1
7、，2，n，求 A-1。计算题24 已知 a23a31aija64a56a15 是 6 阶行列式中的一项，试确定 i，j 的值，然后确定该项所带的符号为正还是为负25 设行列式 则 A41+A42+A43+A44=_； M 41 +M42+M43+M44=_。26 已知 A= 若|EA|=0，求 的值。27 设 A 为 n 阶非零矩阵，A*是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，当 A*=AT 时，证明|A|0。28 试计算下列行列式29 已知 D= =0，求 。30 已知 是 n 维列向量，且 T=1，如果 A=E 一 T，证明：|A|=0。31 设 n 元线性方程组 Ax=b，其中证
8、明行列式|A|=(n+1)a n。32 设 F(x)= 求(1)x 4 的系数；(2)x 3 的系数；(3)常数项。33 设 A= 求(A*) -1。34 已知 A 是 1,2 阶对称矩阵， B 是 )阶发对称矩阵，证明 1， 2 是对称矩阵。35 已知 试求 AB。36 求 A= 的逆矩阵。37 已知 A 是 n 阶对称矩阵，且 A 可逆，如(AB) 2=E，化简 (E+A -1BT)T(E 一 BA-1)-1。38 设 B= 矩阵满足关系式：X(EC -1B)TCT=E，求 X。经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷 1 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 D【知识模块】
9、 数学基础2 【正确答案】 D【知识模块】 数学基础3 【正确答案】 C【知识模块】 数学基础4 【正确答案】 B【知识模块】 数学基础5 【正确答案】 D【知识模块】 数学基础6 【正确答案】 C【知识模块】 数学基础7 【正确答案】 B【知识模块】 数学基础8 【正确答案】 A【知识模块】 数学基础9 【正确答案】 C【知识模块】 数学基础10 【正确答案】 D【知识模块】 数学基础11 【正确答案】 C【试题解析】 选项(A) 中错误的认为 AE，则|A|1因为在实际中，矩阵可以不等，但是行列式是可以相等的。故(A)错误。选项(B) 中由 AE，推出 A=0，这是一种严重的错误，矩阵的运
10、算并没有像数量运算那些特征。选项(C)是正确的。 选项(D)中 AE，推出|AE|0，这也是一种常见的错误。【知识模块】 数学基础12 【正确答案】 B【试题解析】 根据题中要求我们可以得出 则可以推出：即应选(B)【知识模块】 数学基础13 【正确答案】 A【试题解析】 Q=( 1+2， 2， 3)=(1， 2， 3) 记作 Q=PB，因此QT=BTPT，故 QTAQ=BTPTAPB=BT(PTAP)B=【知识模块】 数学基础填空题14 【正确答案】 【试题解析】 因为 AA*=A*A=|A|E，而|A|=3，将原矩阵方程两端右乘 A，有 3AB=6B+A，3(A 一 2E)B=A，3 3|
11、A 一 2E|B|=|A|【知识模块】 数学基础15 【正确答案】 【试题解析】 由于矩阵 A 具有多行(列)加起来是同一个常数这个特征，故我们可以将各列都加到第 n 列，再利用行列式的性质进行计算。【知识模块】 数学基础16 【正确答案】 2【知识模块】 数学基础17 【正确答案】 (一 1)n-16n-1，【知识模块】 数学基础18 【正确答案】 a=5【知识模块】 数学基础19 【正确答案】 2【知识模块】 数学基础20 【正确答案】 24【知识模块】 数学基础21 【正确答案】 3【试题解析】 由于=(k+3)(k 一 1)3 由于r(A)=34，则 k=1 或 k=3。而 k=1 时
12、，显然 r(A)=1故 k=3。【知识模块】 数学基础22 【正确答案】 5【试题解析】 设 =(1， 2， 3)T，=(b 1，b 2，b 3)T，则而 T=(a1，a 2，a 3)a1b1+a2b2+a3b3，注意到 T 正是矩阵 T 的主对角线元素之和，所以T=1+6+(一 2)=5。【知识模块】 数学基础23 【正确答案】 【试题解析】 (1)由 AA*=|A|E，知 A*=|A|A-1,(A*)-1=【知识模块】 数学基础计算题24 【正确答案】 由于在行列式的计算中，是不同行不同列相乘再加总而得到行列式的值的，由此可知该题中 i=4，j=2 。 关于所带的符号，我们可以根据得出的逆
13、系数的奇偶性来判断。由于逆系数是把该项中的行指标或逆指标固定，而计算另外一组下表的奇偶数来分析的。本题中我们将行标按顺序排列固定得到： a15a23a31a42a56a64 则其列下表的数字依次为 5，3，1，2，6，4，逆系数=4+2+0+0+1=7 即为奇数，从而该项前的符号应为负的。【知识模块】 数学基础25 【正确答案】 16 80【知识模块】 数学基础26 【正确答案】 |EA|=0 所以 =0(二重根)。 =一 2【知识模块】 数学基础27 【正确答案】 由于 A*=AT，根据 A*的定义有 Aij=aij( ，j=1，2，n)，其中 Aij 是行列式|A|中 aij 的代数余子式
14、。因为 A 为 n 阶非零矩阵，不妨设 aij0，那么|A|=a i1Ai1+ai2Ai2+ainAin=ai12+ai22+ain20 故 |A|0。【知识模块】 数学基础28 【正确答案】 (1)一 9(2)从第 1 行开始，依次把每行加至下一行，得【知识模块】 数学基础29 【正确答案】 将第 3 行的一 1 倍加至第 1 行，有=(+a 一 1)( 一a)2 一 (a)一 12 =(+a 一 1)(a 一 4)(a+3) 所以 =1 一 a，=a+4 ，=a 一 3。【知识模块】 数学基础30 【正确答案】 因为 A=E 一 T= 一 =0， 所以 是齐次方程组 Ax=0 的非零解，
15、故|A|=0【知识模块】 数学基础31 【正确答案】 记 n 阶行列式|A|的值为 Dn。 当 n=1 时，D 1=2a，命题正确； 当n=2 时， =3a2,命题正确 当 n=k 时，按第一列展开，则有=2aDk-1a2Dk-2=2a(kak-1)一 a2(k 一 1)ak-2=(k+1)ak 即 |A|=(n+1)a n。【知识模块】 数学基础32 【正确答案】 (1)1(2)一 (a11+a22+a33+a44)【知识模块】 数学基础33 【正确答案】 【知识模块】 数学基础34 【正确答案】 因为 A= r(A*)=1，则有 a=b0 所以 ab 是对称矩阵。【知识模块】 数学基础35 【正确答案】 【知识模块】 数学基础36 【正确答案】 用伴随矩阵得【知识模块】 数学基础37 【正确答案】 原式=E T+(A-1BT)TAA-1 一 BA-1-1=E+B(A-1)T(A 一 B)A-1-1 =E+B(AT)-1A(AB)-1=(E+BA-1)A(A-B)=(A+B)(A 一 B)。【知识模块】 数学基础38 【正确答案】 X(E C-1B)TCT=XC(EC-1B)T=X(C 一 B)T=E 即 X=X(C 一 B)T(CB)T-1=E(C 一 B)T-1=(CB)T-1【知识模块】 数学基础
