1、考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设曲线 y 2ab 和 2y1y 3 在点(1，1)处相切，其中 a，b 是常数，则（A）a0， b2（B） a1，b3（C） a3，b1（D）a1 ，b12 设 f(0)0，f() 在 0 连续，则 f()在 0 可导是 f()在 0 可导的( )条件（A）充分非必要（B）充分必要（C）必要非充分（D）既非充分也非必要3 设 f()在点 0 处可导，且 f(0)0，则 f(0)0 是f()在 0 可导的( )条件（A）充分非必要（B）充分必要（C）必要非充
2、分（D）既非充分也非必要4 设 F()g()()，()在 a 连续但不可导，又 g(a)存在，则 g(a)0 是 F()在 a 可导的( ) 条件（A）充分必要（B）充分非必要（C）必要非充分（D）既非充分也非必要5 函数 f() (2 2) 3的不可导点有（A）3 个（B） 2 个（C） 1 个（D）0 个6 设 f(1) af()总成立，f(0) b，a1，b1 为非零常数，则 f()在点 1 处（A）不可导（B）可导且 f(1)a （C）可导且 f(1)b（D）可导且 f(1)ab 二、填空题7 曲线 yln 上与直线 y1 垂直的切线方程为_8 曲线 ，上对应点 t2 处的切线方程为
3、_9 ra(1cos)在点(r ，)(2a ，0)，(a， )，(0，)处的切线方程分别为_10 1 在点 M0(2a， )处的法线方程为_11 设函数 f() 的导函数在 0 处连续，则整数 的取值为_12 设 _13 设 yf(lnx)e f()，其中 f()可微，则 dy_14 设函数 f()有任意阶导数且 f()f 2()，则 f(n)()_(n 2)15 设有长为 12cm 的非均匀杆 AB，AM 部分的质量与动点 M 到端点 A 的距离 的平方成正比，杆的全部质量为 360(g)，则杆的质量表达式 m()_，杆在任一点 M 处的线密度 P()_16 对数螺线 re 在点(r ，)
4、处的切线的直角坐标方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 f() 求 f(1)与 f(1)18 设 f() 求 f()19 求下列 y(n)：20 设 ysin 4，求 y(n)21 设 y 2e2，求 y(n)22 求下列函数的导数与微分： ()设 y ，求 dy； ()设yarctane ； () 设 y (1) ，求 y，与 y(1)23 设 y 0 dt1，求它的反函数 (y)的二阶导数 及 (1)24 设25 求下列隐函数的微分或导数： ()设 ysincos(y) 0，求 dy； ()设方程确定 yy()，求 y与 y26 设 f() ()求 f()； ()
5、f()在点 0处是否可导?27 确定常数 a 和 b，使得函数 f() 处处可导28 已知 其中 tt()由 确定，求29 设 yy()由方程组 确定，求30 设 ycos，求 y(n)31 设 yln(37 6 2)，求 y(n)32 讨论函数 f() ，在 0 处的连续性与可导性33 设 f()在( ，)有一阶连续导数，且 f(0)0，f(0)存在若 F()求 F()，并证明 F()在(，)连续34 给定曲线 y 25 4， ()确定 b 的值，使直线 y b 为曲线的法线； ()求过点(0，3)的切线考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题
6、给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 曲线 y 2ab 在点(1，1)处的斜率 y( 2a b) 1 2a 将方程 2y1y 3 对 求导得 2yy 33y 2y由此知，该曲线在(1， 1)处的斜率 y(1)为 2)，y(1)(1) 33y(1)，y(1)1因这两条曲线在(1， 1)处相切，所以在该点它们的斜率相同，即 2a1，a1又曲线y 2ab 过点(1 ，1)，所以 1ab1，b2a1因此选 D【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算2 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(0)0 f(0)0 或 f(0)0，因 f()在点 0 处连续，则
7、f()在戈0 某邻域是保号的，即 0，当 06 时，因此应选 B【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算3 【正确答案】 B【试题解析】 按定义f()在 0 可导存在， 即均存在且相等因此应选 B【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 (a)不存在，所以不能对 g()()用乘积的求导法则； 当g(a)0时，若 F()在 a 可导，可对 用商的求导法则 ()若 g(a)0，按定义考察即F(a)g(a)(a) ()再用反证法证明：若 F(a)存在，则必有 g(a)0若 g(a)0，由商的求导法则即知 () 在 a 可导，与假设条件 (a)在 a
8、处不可导矛盾因此应选 A【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算5 【正确答案】 B【试题解析】 函数，1，1分别仅在 0，1，1 不可导且它们处处连续因此只需在这些点考察 f()是否可导 f()( 22)11，只需考察 0，1，1 是否可导 考察0，令 g()( 2 2) 21，则 f()g() ，g(0) 存在，g(0)0，()在 0 连续但不可导，故 f()在 0 不可导 考察 1，令 g()( 22) 2，()：1，则 g(1)存在，g(1)0，()在 1 连续但不可导，故 f()g()()在 1 不可导 考察 1，令 g()( 22) 2，()1，则 g(1) 存在，g(1)0
9、，()在1 连续但不可导，故 f()g()()在 1 可导因此选 B【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算6 【正确答案】 D【试题解析】 按定义考察 f(1) af(0)ab，aba ，abb 因此，应选 D【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算二、填空题7 【正确答案】 y 1 【试题解析】 与直线 y1 垂直的直线族为 yc，其中 c 是任意常数，又因yln 上点( 0，y 0)( 0，ln 0)(00)处的切线方程是 yln 0ln 01，从而，切线与 y1 垂直的充分必要条件是01，即该切线为 y1【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算8 【正确答案】 y3
10、7【试题解析】 t2 时(，y)(5 ，8)， 3 切线方程为y83(5)，即 y37【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算9 【正确答案】 2a( ) ；ya ；y0【试题解析】 参数方程 ，则()在点(r，)(2a， 0)处， (，y)(2a，0)，切线 2a( ) ()在点(r，)(a ， )处，(，y) (0 ，a)， 1，切线 ya ( )在点(r，)(0，) 处，(，)，)(0， 0)， 0，切线 y0【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算10 【正确答案】 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算11 【正确答案】 4【试题解析】 由导数定义可求得 上述根限
11、只在 1 时存在，且此时 f(0)0，于是 f()的导函数为欲使 f()在 0 处连续，必须有 而这一极限为零应满足 3(2，3 时 f()不存在) 因此，整数 的取值为 4，5，6，即整数 4【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算12 【正确答案】 Acosb【试题解析】 补充定义 f(a)b，则有sinf() a coaf(a).f(a)Acosb【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算13 【正确答案】 e f() f(ln)f()f(ln)d【试题解析】 利用一阶微分形式不变性，可得 dydf(ln)e f()e f()df(ln)f(ln)de f() e f()f(l
12、n)dlinf(ln)e f()df() e f() f(ln)f()f(ln)d【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算14 【正确答案】 n!f n+1()【试题解析】 将 f()f 2()两边求导得 f()2f()f()2f 3()，再求导得 f()3!f 2()f()3!f 4() 由此可归纳证明 f(n)()n!f n+1()【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算15 【正确答案】 2；5【试题解析】 按题意，m()k 2，令 12，得 360k.12 2，则 k ，从而m() 2在任一点 M 处的线密度为 p() 5【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算16
13、【正确答案】 y 【试题解析】 对数螺线的参数方程为 于是它在点处切线的斜率为 当 时 0，y 因此该切线方程为 y 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 由题设知 f(10) f(1) ，f( 10) f(1)，故 f()又可以写成【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算18 【正确答案】 当 0 时，由求导法则得 f()3 2 ； 当 0 时，可用以下两种方法求得 f(0) f(0) 0【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算19 【正确答案】 () 当 n 为奇数时， n1 可被 1 整除， n1(
14、1)( n-1 n-21)当 n为偶数时， n 除 1 得 n(1)( n-1 n-21)1()由于 y，于是【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算21 【正确答案】 用莱布尼兹法则并注意( 2)(k)0(k3，4，)， (e 2)(k)2 ke2，得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算22 【正确答案】 ()由于yarctane 2ln(e 21)arctane ln(e21)，所以()这是求连乘积的导数，用对数求导法方便因函数可取负值，先取绝对值后再取对数得 若只求y(1)，用定义最简单利用 y(1)0 可
15、得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算23 【正确答案】 由变限积分求导法先求得 ，再由反函数求导法得，最后由复合函数求导法得由原方程知 y1 0 (1) 0【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算24 【正确答案】 ，将该式对 求导，右端先对 t 求导再乘上 得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算25 【正确答案】 () 利用一阶微分形式不变性求得 d(ysin)dcos(y)0， 即sindyycosdsin(y)(d dy)0， 整理得sin(y)sindyycossin(y)d， 故 ()将原方程两边取对数，得等价方程 现将方程两边求微分得 化简得 dydyd
16、yyd，即( y)dy(y)d， 由此解得 y 为求 y，将 y满足的方程( y)yy 两边再对 求导，即得 (1y)y (y)y1y代入 y表达式即得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算26 【正确答案】 () 这是分段函数，分界点 0，其中左边一段的表达式包括分界点，即 0，于是可得 当 0 时，f() 2cos2， 0 处是左导数：f -(0)2； 当 0 时即 f()在 0 右连续 f+(0)2于是 f(0)2因此()f()也是分段函数，0 是分界点为讨论 f()在 0 处的可导性，要分别求 f +(0)与 f -(0)同前可得 按定义求 f +(0)，则有因 f +f -(
17、0)，所以 f(0) 不存在，即 f()在点 0 处不可导【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算27 【正确答案】 由 f()在 0 处可导，得 f()在 0 处连续由表达式知，f()在 0 右连续于是， f()在 0 连续 (sin2ae )2af(0) 2a2b，即 ab0 又 f()在 0 可导 f+(0)f -(0)在ab0 条件下， f()可改写成 于是f+(0)9arctan2b( 1) 3 0 6b(1) 2 0 96b， f -(0)(sin2ae ) 0 1 2a 因此 f()在 0 可导故仅当 a1，b1 时 f()处处可导【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其
18、计算28 【正确答案】 由式得 由 得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算29 【正确答案】 由方程组的第一个方程式对 t 求导得 t6t 22(3t1) 将第二个方程对 t 求导并注意 yy(t)得 yteysinte ycosty t0，整理并由方程式化简得 因此，有于是，有注意：由(*)式得 y t0 1，由(*)式得 e 在上式中令 t0 得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算30 【正确答案】 用乘积的 n 阶导数公式，并注意 (k)0(k2，3，4，)得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算31 【正确答案】 先分解 yln(32)(1 3)ln(32)
19、 ln(13) y(n)ln(32) (n)ln(1 3) (n) 然后利用ln(ab) (n)的公式得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算32 【正确答案】 因此 f+(0)f -(0)0因此 f()在 0 可导，因而也必连续【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算33 【正确答案】 首先求 F()当 0 时，由求导法则易求 F()，而 F(0)需按定义计算然后讨论 F()的连续性，当 0 时由连续性的运算法则得到 F()连续，当 0 时可按定义证明 F()F(0) ，这是 型极限问题，可用洛必达法则即 F()在 0 也连续因此，F()在(，)连续【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算34 【正确答案】 () 曲线过任意点( 0，y 0)(y0 025 04)不垂直于 轴的法线方程是 y ( 0)y 0 要使 y b 为此曲线的法线，则解得 01，b ()曲线上任意点( 0，y 0)(y0 025 04)处的切线方程是 yy 0(2 05)( 0)， (0) 点(0，3)不在给定的曲线上，在(*) 式中令 0，y3 得 021， 1，即曲线上点(1，10)，(1，0)处的切线 y73，y33，通过点(0，3)，也就是过点(0，3)的切线方程是 y73 与 y33【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算
