1、考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若极限 =A，则函数 f(x)在 x=a 处（A）不一定可导（B）不一定可导，但 f+(a)=A（C）不一定可导，但 f-(a)=A（D）可导，且 f(a)=A2 设有多项式 P(x)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，又设 x=x0 是它的最大实根，则 P(x0)满足（A）P(x 0)0（B） P(x0)0（C） P(x0)0（D）P(x 0)03 设 f(x)=3x2+x2x，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n=（A）0（B） 1（C） 2（D
2、）34 设 f(x)= 在 x=0 处可导，则 a，b 满足（A）a=0 ，b=0（B） a=1，b=1（C） a 为 常数，b=0（D）a 为 常数，b=1 5 设 f(a)0，则 ，有（A）f(x)f(a)(x (a-，a+)（B） f(x)f(a)(x(a-，a+)（C） f(x)f(a)(x(a，a+)，f(x)f(a)(x (a-，a)（D）f(x)f(a)(x (a，a+)，f(x)f(a)(x (a-，a)6 设 则（A）f(x)在 x=0 处不连续（B） f(0)存在（C） f(0)不 ，曲线 y=f(x)在点(0，0) 处不 切线（D）f(0)不 ，曲线 y=f(x)在点(0
3、 ，0)处有切线二、填空题7 设有长为 12cm 的非均匀杆 AB，AM 部分的质量与动点 M 到端点 A 的距离 x 的平方成正比，杆的全部质量为 360(g)，则杆的质量表达式 m(x)=_，杆在任一点 M 处的线密度 p(x)=_.8 设 f(x)= ，则 f(1)=_9 若函数 f(x)在 x=1 处的导数存在，则极限=_10 设 f(0)=1，f(0)=0 ，则 =_11 设 k 为常数，则 =_12 设 y= 且 f(x)=arctanx2，则 =_13 设 y=sinx2则 =_14 设 f(x)有任意阶导数且 f(x)=f3(z)，则 f(n)(x)=_15 设 y=ln(1+
4、x2)，则 y(5)(0)=_16 设 =_17 曲线(x-1) 3=2 上点(5，8)处的切线方程是_18 曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为_19 曲线 上对应点 t=2 处的切线方程为_20 r=a(1+cos)在点(r，)=(2a，0)， ，(0，) 处的切线方程分别为_21 在点 M0 处的法线方程为 _22 设函数 f(x)= 的导函数在 x=0 处连续，则整数 的取值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 设 y=y(x)由方程组确定，求24 设 y=ln(3+7x-6x2)，求 y(n)25 讨论函数 在 x=0 处的连续性与可导性26
5、 设 f(x)在(-，+) 有一阶连续导数，且 f(0)=0，f(0) 存在若求 F(x)，并证明 F(x)在(-，+)连续27 给定曲线 y=x2+5x+4， ()确定 b 的值，使直线 y= x+b 为曲线的法线；()求过点(0 ，3)的切线28 计算下列各题：() 设 y=esin2x+()设 y=，其中 ab0，求 y29 计算下列各题：() 设 其中 f(t)三阶可导，且 f(t)0，求() 设 的值30 计算下列各题：() 由方程 xy=yx 确定 x=x(y)，求 ()方程 y-xey=1 确定 y=y(x)，求 y(x)；()设 2x-tan(x-y)=0x-ysec2tdt，
6、求31 设函数 f(x)有反函数 g(x)，且 f(a)=3，f(a)=1，f(a)=2，求 g(3)32 设 f(x)在(-，+) 内二次可导，令 F(x)=求常数 A，B ，C 的值使函数 F(x)在(-，+)内二次可导33 把 y 看作自变量，x 为因变量，变换方程34 设 f(x)连续且 =2，(x)= 01f(xt)dt，求 (x)并讨论 (x)的连续性考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 只有极限存在并不能保证极限 都存在，因此两个单侧导数都不一定存在，应
7、选(A) 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算2 【正确答案】 D【试题解析】 注意 P(x)在 (-，+)连续，又 xx 0 时 P(x)0P(x0) 选(D) 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算3 【正确答案】 C【试题解析】 实质上就是讨论 g(x)=x2x= 的最高阶数 n由于x在 x=0处不可导，因此 n=2选(C)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算4 【正确答案】 A【试题解析】 首先，f(x)在 x=0 连续 =f(0)，即 b=0然后，f(x)在 x=0 可导 f+(0)=f-(0)当 b=0 时， 按定义求出f+(0)= 由求导法则知 f-(
8、0)=(ax) x=0=a由 f+(0)=f-(0)得 a=0因此选(A)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算5 【正确答案】 C【试题解析】 直接由定义出发 f(a)= 0由极限的保号性，当 x(a-，a+)，xa 时 0 f(x)f(a)(x (a，a+) ，f(x)f(a)(x(a-，a) 因此选(C)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算6 【正确答案】 D【试题解析】 显然 =0=f(0)又y=f(x)的图形见图 21因此，f(0)不 ，y=f(x) 在(0，0) 切线 x=0选(D)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算二、填空题7 【正确答案】 x2；5
9、x【试题解析】 按题意，m(x)=kx 2，令 x=12，得 360=k.122，则 k= ，从而 m(x)= x2在任一点 M 处的线密度为 (x)= =5x【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算8 【正确答案】 【试题解析】 f(x)是 2014 个因式的乘积，如果直接使用导数定义求导或者先求导再代值，都比较麻烦其实，当把 x=1 代入每个因式后，只有第一项 -1=0，而其余所有项都不等于 0记 g(x)=，于是从而【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算9 【正确答案】 9f(1)【试题解析】 按导数定义，将原式改写成原式=f(1)+2f(1)+6f(1)=9f(1)【知识
10、模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算11 【正确答案】 k【试题解析】 原式= =(xk) x=1=k【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算12 【正确答案】 【试题解析】 y=f(n)，u= ，u x=0=-1【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算13 【正确答案】 【试题解析】 用微分的商来求【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算14 【正确答案】 (2n-1)!f 2n+1(x)【试题解析】 f (2)(x)=3f2(x)f(x)=3f5(x)，f (3)(x)=3.5f4(x)f
11、(x)=35f 7(x)， 可归纳证明f(n)(x)=(2n-1)!f2n+1(x)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算15 【正确答案】 0【试题解析】 y 为偶函数 y(5)(x)为奇函数 y(5)(0)=0【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算17 【正确答案】 y=8+3(x-5) y=3x-7【试题解析】 由隐函数求导法，将方程(x-1) 3=y2 两边对 x 求导，得 3(x-1)2=2yy令 x=5，y=8 即得 y(5)=3故曲线(x-1) 3=y2 在点(5，8) 处的切线方程是
12、 y=8+3(x-5) y=3x-7【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算18 【正确答案】 y=x-1【试题解析】 与直线 x+y=1 垂直的直线族为 y=x+c，其中 c 是任意常数，又因y=lnx 上点(x 0，y 0)=(x0，lnx 0)(x00)处的切线方程是 y=lnx0+ (x-x0)= x0+lnx0-1，从而，切线与 x+y=1 垂直的充分必要条件是 x0=1，即该切线为 y=x-1【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算19 【正确答案】 y=3x-7【试题解析】 t=2 时(x，y)=(5，8)， =3切线方程为 y-8=3(x-5)，即 y=3x-7【知
13、识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算20 【正确答案】 ，y-a=x，y=0【试题解析】 参数方程 则()在点(r，)=(2a，0)处，(x，y)=(2a ， 0)，切线 ()在点(r，)= 处，(x，y)=(0，a)， =1，切线 y-a=x()在点(r ，)=(0 ，)处，(x，y)=(0，0)， =0，切线 y=0【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算21 【正确答案】 【试题解析】 将方程对 x 求导 在 M0 处 y= ，法线方程为【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算22 【正确答案】 4【试题解析】 由导数定义可求得 上述极限只在 1 时存在，且此时 f(0
14、)=0，于是 f(x)的导函数为欲使 f(x)在 x=0 处连续，必须有而这一极限为零应满足3(=2，3 时 不存在)因此，整数 的取值为 4，5，6，即整数4【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 由方程组的第一个方程式对 t 求导得 xt=6t+2=2(3t+1)将第二个方程对 t 求导并注意 y=y(t)得 yteysint+eycost-yt=0，整理并由方程式化简得 yt=因此，有 于是，有注意：由(*)式得 y t=0=1，由(*) 式得 =e在上式中令 t=0 得【试题解析】 这里 y 与 x 的函数关系
15、由参数方程 x=x(t)，y=y(t) 给出，且 其中 x=x(t)是显式表示，易直接计算 xt，而 y=y(t)由 y 与 t 的方程式确定，由隐函数求导法求出 yt【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算24 【正确答案】 先分解 y=ln(3-2x)(1+3x)=ln(3-2x)+ln(1+3x) y(n)=ln(3-2x)(n)+ln(1+3x)(n)然后利用ln(ax+b) (n)的公式得【试题解析】 利用对数函数性质将函数 y 分解为形如 ln(ax+b)的对数函数之和，再用ln(ax+b) (n)的公式即可得结果【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算25 【正确答案
16、】 按定义因此，f +(O)=f-(0)=0因此 f(x)在 x=0 可导，因而也必连续【试题解析】 我们可先讨论 f(x)在 x=0 处的可导性因为当 f(x)在 x=0 可导或f+(0)，f -(0)均存在但不等时，均可得 f(x)在 x=0 连续由 f(x)分段定义的具体形式，我们分别按定义求出 f+(0)，f -(0)来讨论 f(0)是否存在【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算26 【正确答案】 首先求 F(x)当 x0时，由求导法则易求 F(x)，而 F(0)需按定义计算 于是然后讨论 F(x)的连续性，当 x0时由连续性的运算法则得到 F(x)连续，当 x=0 时可按定义
17、证明 F(x)=F(0)，这是 型极限问题，可用洛必达法则即 F(x)在 x=0 也连续因此， F(x)在(-，+)连续【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算27 【正确答案】 () 曲线过任意点(x 0，y 0)(y0=x02+5x0+4)不垂直于 x 轴的法线方程是 y= (x-x0)+y0要使 y= x+b 为此曲线的法线，则 ，x02+5x0+4+ =b解得 x0=-1，b= .()曲线上任意点(x 0，y 0)(y0=x02+5x0+4)处的切线方程是 y=y0+(2x0+5)(x-x0)， (*)点(0，3)不在给定的曲线上，在(*)式中令 x=0，y=3 得 x02=1，
18、x 0=1，即曲线上点(1，10)，(-1，0)处的切线y=7x+3，y=3x+3，通过点(0 ，3)，也就是过点(0， 3)的切线方程是 y=7x+3 与y=3x+3【试题解析】 关键是写出该曲线上任意点(x 0，y 0)处的切线方程 y=y0+(2x0+5)(x-x0)，或不垂直于 x 轴的法线方程 y=y0- (x-x0)，其中 y0=x02+5x0+4，再根据题中的条件来确定 x0【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算28 【正确答案】 ()()lny=ln(x2+2)，求导得()【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算29 【正确答案】 () ()故【知识模块】 一元函
19、数的导数与微分概念及其计算30 【正确答案】 利用多元函数微分学的方法：x=x(y)由方程 F(x，y)=0 确定，其中 F(x，y)=x y-yx，直接代公式得 约去 xy=yx得 ()e y=yx，两边取对数得 y=xlny对 x 求导(注意y=y(x) 将 的表达式再对 x 求导得注意 y=xlny，化简得 ()注意y=y(x)，将方程两边对 x 求导，由复合函数求导法及变限积分求导法得 2-(1-y)=sec2(x-y)(1-y) sec2(x-u)(1-y)=1，即 1-y=cos 2(x-y) 再对x 求导 -y=2cos(x-y)-sin(x-y)(1-y)代入 式 y=sin2
20、(x-y)cos2(x-y)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算31 【正确答案】 记 y=f(x)应注意到，g(x)为 f(x)的反函数，已经改变了变量记号，为了利用反函数导数公式，必须将 g(x)改写为 g(y) 由反函数求导公式有 f(x)g(y)=1，将该等式两边关于 x 求导得 f(x)g(y)+f(x)g(y)y x=0，或 f(c)g(y)+f(x) 2g(y)=0注意到 g(3)= =1，在上式中令 x=a，应有 y=3，因此得到 g(3)=-f(a)g(3)=-2【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算32 【正确答案】 对任何常数 A，B，C，由 F(x)的
21、定义及题设可知 F(x)分别在(-，x 0，(x 0，+)连续，分别在 (-，x 0)，(x 0，+) 二次可导从而，为使 F(x)在(-，+)二次可导，首先要使 F(x)在 x=x0 右连续，由于 F(x0-0)=f(x0)=f(x0)，F(x 0+0)=C，故 F(x)在(- ，+)连续 C=f(x0)在 C=f(x0)的情况下，F(x) 可改写成从而F-(x0)=f(x0)，F +(x0)=B故 F(x)在(-，+)可导 B=f(x0) 在 C=f(x0)，B=f(x 0)的情况下，F(x) 可改写成且进而故 F(x) 在(-，+)内二次可导 2A=f(x0) f(x0)综合得，当 A=
22、 f(x0)，B=f(x 0)，C=f(x0)时 F(x)在(- ，+)上二次可导【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算33 【正确答案】 把方程中的 来表示由反函数求导法得再由复合函数求导法及反函数求导法将它们代入原方程【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算34 【正确答案】 (x)的表达式中，积分号内含参变量 x，通过变量替换转化成变限积分x0 时，(x)= 01f(xt)d(xt) 0xf(s)ds；x=0 时，(0)= 01f(0)dt=f(0)由 f(x)在 x=0 连续及因此求 (x)即求这个分段函数的导数， x0时与变限积分求导有关，x=0 时可按定义求导因此最后考察 (x)的连续性显然，x0 时(x)连续，又 即 (x)在 x=0 也连续，因此 (x)处处连续【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算
