1、考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (87 年 )设 ，其中 f(x)连续，s0，t0，则 I 的值（A）依赖于 s，t（B）依赖于 s,t,x（C）依赖于 t,x 不依赖于 s（D）依赖于 s 不依赖于 t2 (88 年 )设 f(x)与 g(x)在(一 ，+)上皆可导且 f(x)g(x),则必有（A）f(-x)g(一 x)（B） f(x)g(x)（C）（D） 0xf(t)dt 0xg(t)dt3 (88 年 )由曲现 (0x)与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体体积为4 (89 年
2、)曲线 y=cosx 与 x 轴所围成的图形，绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积为（A）（B） （C）（D） 25 (90 年 )设函数 f(x)在( 一，+)上连续，则 df(x)dx等于（A）f(x)（B） f(x)dx（C） f(x)+C（D）f(x)dx6 (90 年 )设 f(x)是连续函数，且 F(x)= f(t)dt，则 F(x)等于（A）一 e-xf(e-x)一 f(x)（B）一 e-xf(e-x)+f(x)（C） e-xf(e-x)一 f(x)（D）e -xf(e-x)+f(x)二、填空题7 (87 年 )f(x)dx=_,abf(2x)dx=_8 (87 年 )积分中值定理
3、的条件是_，结论是_。9 (88 年 )10 (88 年) 设 f(x)连续，且 f(t)dt=x则 f(7)=_11 (89 年) atsintdt=_12 (89 年) 曲线 y=0a(t 一 1)(t 一 2)dt 在点(0,0)处的切线方程是_.13 (89 年) 设 f(x)是连续函数，且 f(x)=x+201f(t)dt，则 f(x)=_14 (90 年)15 (90 年) 下列两个积分大小关系式：16 (91 年)17 (91 年) 质点以 tsin(t2)米秒作直线运动，则从时刻 秒内质点所经过的路程等于_米三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 (87 年)
4、求 (a，b 是不全为零的非负常数)19 (87 年) 求 01xarcsinxdx20 (87 年) 求过曲线 y=-x2+1 上的一点，使过该点的切线与这条曲线及 x,y 轴在第一象限围成图形的面积最小，最小面积是多少?21 (87 年) 求由曲线 y=1+sinx 与直线 y=0，x=0，x= 围成的曲边梯形绕 Ox 轴旋转而成旋转体体积 V22 (88 年) 设 x一 1，求 -1a(1 一|t|)dt23 (88 年) 设 f(x)在( 一，+)内有连续导数，且 mf(x)Ma0(1)求 -aaf(t+a)一 f(t 一 a)dt(2)求证：24 (89 年) 求25 (89 年)
5、已知 f(2)= f(2)=0 及 02f(x)dx=1，求 01x2f“(2x)dx26 (89 年) 证明方程 在区间(0，+)内有且仅有两个不同实根27 (89 年) 设抛物线 y=ax2+bx+c 过原点，当 0x1 时，y0，又已知该抛物线与 x轴及直线 x=1 所围成图形的面积为 ，试确定 a，b，c ，使此图形绕 x 轴旋转一周而成旋转体的体积 V 最小28 (90 年) 计算29 (90 年) 设 f(x)= 其中 x0，求 f(x)+30 (90 年) 过 P(1，0) 作抛物线 的切线，该切线与上述抛物线及 x 轴围成一平面图形求此平面图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积
6、考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由此可见，I 的值只与 s 有关，所以应选(D)【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(x)和 g(x)在(-，+) 上皆可导，则必在 (一,+) 上连续，则【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 df(x)dx=(f(x)dx)dx=f(x)dx【知识模块】 一
7、元函数积分学6 【正确答案】 A【试题解析】 由于 F(x)= -0xf(t)dt 则 F(x)=一 f(e-x)e-x 一 f(x)，故应选(A)【知识模块】 一元函数积分学二、填空题7 【正确答案】 f(x)+C ，【试题解析】 f(x)dx=f(x)+C,【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 f(x)在a,b上连续；在a，b 内至少存在一点 ，使 f()(b 一 a)=abf(x)dx【试题解析】 由定积分中值定理： 若 f(x)在a,b上连续，则在a，b内至少存在一点 ，使 abf(x)dx=f()(b 一 a)【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 2(e 2+1)【试
8、题解析】 =202tetdt=202tdet=2(tet|02 一 02etdt)=2(e2+1)【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 等式 f(t)dt=x 两边对 x 求导得 3x 2f(x3-1)=1 令 x=2 得 12f(7)=1 则【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 0tsintdt=-0tdcost=-tcost|0+0costdt=【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 y=2x【试题解析】 y=(x 一 1)(x 一 2)，y(0)=2则所求切线方程为 y 一 0=2(x 一 0)，即 y=2x【知识模块】 一元函数积
9、分学13 【正确答案】 x1【试题解析】 令 01f(t)dt=a，则 f(x)=x+2a将 f(x)=x+2a 代入 01f(t)dt=a，得 01(t+2a)dt=a，即 +2a=a 由此可得 则 f(x)=x1【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 令 原式= 10(t2 一 1)2t2dt=210(t4 一 t2)dt=【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 “ ” 【试题解析】 由于当 x一 2，一 1时 ，则【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【试题解析】 质点所经过的路程为【
10、知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 1)当 a=0b0 时 2)当 a0，b=0时 3)当 a0 且 b0 时【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 由 y=一 x2+1 知 y=-2x 则曲线 y=一 x2+1 在点 x=x0 处切线方程为 y 一(一 x02+1)=-2x0(x-x0)该切线在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 和x02+1，该切线与曲线，x 轴、y 轴在第一象限围成平面图形的面积为令 S(x0)=0 得且有 S“(x0)0，由于极值点唯一，则 为极小值也即是最
11、小值，且最小值为 所求切点坐标为【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 所求体积 Vx=0(sinx+1)2dx=0(sin2x+2sinx+1)dx= +4【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 当一 1x0 时 -1x(1 一|t|)dt= -1x(1+t)dt= 当 x0 时， -1x(1一|t|)dt= -10(1+t)dt+0x(1 一 t)dt= 故【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 (1)由于(2)由积分的不等式性质，及 mf(x)M 可知 又由 mf(x)M，得 一 M一 f(x)一 m【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 【知识模块】 一
12、元函数积分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 原方程转化为则 F(x)= 令 F(x)=0 得 x=e 当 0xe 时，F(x)0，F(x)严格单调减少；当 ex+ 时，F(x)0，F(x) 严格单调增加，因此，F(x)在区间(0，e)，和(e，+)内分别至多有一个零点由闭区间上连续函数的零点定理可知，F(x)在(e -3，e)和(e，e 4)内分别至少有一个零点，综上所述，方程 在(0，+)内有且仅有两个不同的实根【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 由抛物线 y=ax2+bx+c 过原点可知， c=0【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 设过点(1，0)作抛物线 的切线的切点为得切线方程为 此切线过点(1 0) ，即 得 x 0=3 故斜率为切点(3，1) ，切线方程为 于是【知识模块】 一元函数积分学
