1、考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (95 年 )曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴所围图形面积可表示为（A）一 02x(x1)(2 一 x)dx（B） 01x(x 一 1)(2 一 x)dx12x(x-1)(2 一 x)dx（C）一 01x(x 一 1)(2 一 x)dx+12x(x1)(2 一 x)dx（D） 02x(x 一 1)(2 一 x)dx2 (96 年 )设 f(x)，g(x)在区间a，b 上二连续，且 g(x)f(x) m，(m 为常数)，由曲线 y=g(x)，y=f(
2、x)，x=a 及 x=b 所围平面图形绕直线 y=m 旋转而成的旋转体体积为（A） ab2mf(x)+g(x)f(x)一 g(x)dx（B） ab2m 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx（C） abm 一 f(x)+g(x)f(x)一 g(x)dx（D） abm 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx3 (97 年 )设在闭区间 a，b上 f(x)0，f(x)0f“(x)0记 S1=abf(x)dx，S 2=f(b)(b 一 a)，S 3= f(a)+f(b)(b 一 a)则（A）S 1S 2S 3（B） S2S 3S 1（C） S3S 1S 2（D）S 2S 1S 3
3、4 (97 年 )设 F(x)=xx+2sintsintdt，则 F(x)（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数5 (99 年 )设 则当 x0 时，(x)是 (x)的（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶但非等价无穷小（D）等价无穷小6 (99 年 )设 f(x)是连续函数， F(x)是 f(x)的原函数，则（A）当 f(x)是奇函数时， F(x)必是偶函数。（B）当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数（C）当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数（D）当 f(x)是单调增函数时， F(x)必是单调增函数二、填空题7 (96 年 )8 (96 年 )由曲线 ，x
4、=2 及 y=2 所围图形的面积 S=_9 (97 年 )10 (98 年)11 (98 年) 设 f(x)连续，则 0xtf(x2 一 t2)dt=_12 (99 年)13 (99 年) 函数 上的平均值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 (94 年) 求曲线 y=3 一|x 2 一 1|与 x 轴围成封闭图形绕 y=3 旋转所得的旋转体的体积15 (95 年) 设 f(x2 一 1)= 且 f(x)=lnx,求(x)dx16 (95 年) 求摆线 一拱(0t2) 的弧长17 (95 年) 求函数 f(x)= (2 一 t)e-tdt 的最大值和最小值18 (95 年
5、) 设 f(x)= 计算 0f(x)dx.19 (96 年)20 (96 年)21 (96 年) 设有正椭圆柱体，其底面的长短轴分别为 2a，2b，用过此柱体底面的短轴与底面成 角 的平面截此柱体，得一楔形体(如图 21 0)求此楔形体的体积22 (96 年) 计算不定积分23 (97 年)24 (97 年) 计算 e2x(tanx+1)2dx25 (97 年) 设函数 f(x)在闭区间 0，1上连续，在开区间(0，1)上大于零，并满足xf(x)=f(x)+ (a 为常数)，又曲线 y=f(x)与 x=1，y=0 所围的图形 S 的面积值为2求函数 y=f(x)并问 a 为何值时，图形 S 绕
6、 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小26 (97 年) 已知函数 f(x)连续，且 ，设 (x)=01f(xt)dt，求 (x)，并讨论(x)的连续性27 (98 年) 确定常数 a，b，c 的值，使28 (98 年) 计算积分29 (98 年) 设 y=f(x)是区间0，1上任一非负连续函数(1)试证存在 x0(0，1)，使得在区间在区间0，x 0上以 f(x0)为高的矩形的面积等于在区间 x0，1 上以 y=f(x)为曲面的曲边梯形的面积(2)又设 f(x)在(0，1)上可导，且 f(x) ，证明(1)中的 x0 是唯一的30 (98 年) 设有曲线 过原点作其切线，求由此曲线、切线及 x
7、轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的表面积考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 y=x(x1)(2 一 x)与 x 轴的交点为 x=0,x=1,x=2，因此该曲线与 x 轴围成的面积为 02|x(x-1)(2-x)|dx=-01x(x-1)(2 一 x)dx+12x(x-1)(2-x)dx 所以应选(C)【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 V= ab(m 一 g(x)2dx 一 ab(m 一 f(x)2dx =ab2m 一 g(x)一 f(
8、x)f(x)一 g(x)dx 所以应选(B)【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 在0ln2上考虑 f(x)=e-x，显然 f(x)满足原题设条件，而则 S 2S 1S 3【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 A【试题解析】 F(0)= 02esintsintdt=-02esintdcost=-esintcost|02+02esintcos2tdt =02esintcos2tdt0【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 C【试题解析】 故，当 x0时，(x)是 (x)的同阶但非等价无穷小【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 A【试题解析】 排除法(
9、B)(C)(D)分别举反例如下：(B)的反例：f(x)=cosx，F(x)=sinx+1 不是奇函数 ;(C)的反例：f(x)=cosx+1，F(x)=sinx+x 不是周期函数;(D)的反例：f(x)=x， F(x)= 不是单调函数；所以应选(A) 【知识模块】 一元函数积分学二、填空题7 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 由图 215 可知所求面积为【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 将根式里面配方得【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 一 cotx.lnsinxcotxx+C【试题解析】 =一lns
10、inxdcotx= 一 cotx.ln sinx+cot2xdx=一 cotx.ln sinx+(csc2x-1)dx=一 cotx.ln sinx-cotxx+C【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 xf(x 2)【试题解析】 令 x2-t2=u，则原式= =xf(x2)【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 y=x2+2 (0x1) y=4-x2 (1x2)没对应区间0,1的这部分旋转体体积为 V1，
11、对应区间1，2 上的体积为 V2,则 dV1=32 一3 一(x2+2)2dxdV2=32 一3 一(4 一 x2)2dx 则 V=2(V 1+V2) =20132 一3 一(x 2+2)2dx+21232 一3 一(4 一 x2)2dx =【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 因为 f(x)是偶函数，故只需求 f(x)在0 ，+) 内的最大值与最小值令 f(x)=2x(2 一 x2) =0 故在区间(0，+)内有唯一驻点 当 0x时，f(x)0；当 时，f(x) 0 所以 是极大值点，即
12、最大值点 最大值 =02(2 一 t)e-tdt=1+e-2 f(+)=0+(2-t)e-tdt=-(2-t)e-t|0+e-t|0+=1 又 f(0)=0，故x=0 为最小值点，所以 f(x)的最小值为 0【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 由分部积分法知 0f(x)dx=f(x)x|0-0xf(x)dx【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 底面椭圆的方程为 以垂直于 y 轴的平面截此楔形体，所得截面为直角三角形，其一直角边长为 另一直角边长为故截面面积【知识模块】 一元函数
13、积分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 原式=e 2xsec2xdx+2e2xtanxdx=e2xdtanx+2e2xtanxdx =e2xtanx 一2e2xtanxdx+2e2xtanxdx=e2xtanx+C【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 由题设知当 x0 时 据此并由 f(x)在点 x=0 处的连续性，得 又由已知条件得故 a=一 5 时，旋转体体积最小【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 由题设知 f(0)=0，(0)=0，令 xt=u,得由于从而可知 (x)在 x=0 处连续
14、【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 由于 x0 时，ax 一 sinx0 且 故b=0再用洛必达法则 若 a1，则上式为，与原题设不符故 a=1【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 |x 一 x2|= 于是【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 令 (x)=一 x01f(t)dt，则 (x)在0，1上满足罗尔定理的条件则存在 x0(0，1)，使 (x0)=0即 x.f(x 0)一 x01f(t)dt=0 又 “(x)=xf(x)+2f(x)0则上式中的 x0 是唯一的【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 设切点的横坐标为 x0则曲线 处的切线方程为 将 x=0y=0 代入上式得 一 2(x0一 1)=一 x0,解得 x0=2 于是切线方程为 由曲线段(1x2)绕 x 轴旋转一周所得到的旋转面的面积为由直线段(0x2)绕 x 轴旋转一周所得到的旋转面的面积为因此，所求旋转体的表面积为 S=S1+S2=【知识模块】 一元函数积分学
