1、考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (05 年 )设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，“M N”表示“M 的充分必要条件是N”，则必有（A）F(x)是偶函数 f(x)是奇函数（B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数（C） F(x)是周期函数 f(x)是周期函数（D）F(x)是单调函数 f(x)是单调函数2 (06 年 )设 f(x)是奇函数，除 x=0 外处处连续，x=0 是其第一类间断点，则 0xf(t)dt是（A）连续的奇函数（B）连续的偶函数（C）在 x=0 间断的奇函数（D）在 x
2、=0 间断的偶函数3 (07 年 )如图，连续函数 y=f(x)在区间一 3，一 2,2，3上的图形分别是直径为 1的上、下半圆周，在区间一 2，0，0，2 上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周设 F(x)=0xf(t)dt，则下列结论正确的是4 (08 年 )如图，曲线段的方程为 y=f(x)，函数 f(x)在区间0，a上有连续的导数，则定积分 0axf(x)dx 等于（A）曲边梯形 ABOD 的面积（B）梯形 ABOD 的面积（C）曲边三角形 ACD 的面积（D）三角形 ACD 面积5 (09 年 )设函数 y=f(x)在区间一 1，3上的图形为 则函数 F(x)=03f(t)dt 的
3、图形为6 (10 年 )设 m,n 均是正整数，则反常积分 的收敛性（A）仅与 m 的取值有关（B）仅与 n 的取值有关（C）与 m，n 的取值都有关（D）与 m,n 的取值都无关7 (11 年 )设 则，I,J ，K 的大小关系为（A）IJK（B） IKJ（C） JIK（D）KJI二、填空题8 (11 年 )设函数 ,则 -+xf(x)dx=_9 (05 年 )10 (06 年) 设函数 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_11 (06 年) 广义积分12 (09 年)13 (09 年) 已知 -+ek+xdx=1，则 k=_14 (10 年) 当 0 时，对数螺线 r=e的弧长为_1
4、5 (11 年) 曲线 y=0xtantdt 的弧长 s=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 (04 年) 设 f(x)= (I)证明 f(x)是以 为周期的周期函数()求 f(x)的值域17 (04 年) 曲线 与直线 x=0，x=t(t 0)及 y=0 围成一曲边梯形该曲边梯形绕 x 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 V(t)侧面积为 S(t)，在 x=t 处的底面积为 F(t)(I)求 的值；( )计算极限18 (05 年) 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，求极限19 (05 年) 如图， C1 和 C2 分别是 y= (1+ex)和 y=ex 的图像，过点(0
5、,1)的曲线 C3 是一单调增函数的图像，过 C2 上任一点 M(x，y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 lx 和ly记 C1，C 2 与 lx 所围图形的面积为 S1(x)；C 2，C 3 与 ly 所围图形的面积为S2(y)如果总有 S1(x)=S2(y)，求曲线 C3 的方程 x=(y)20 (05 年) 如图曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点,直线 l1 与 l2 分别是曲线 C 在点(0，0)与(32)处的切线，其交点为(2，4)设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 03(x2+x)f“(x)dx21 (06 年) 求22 (06 年) 已知曲
6、线 L 的方程为 (I)讨论 L 的凹凸性；( )过点(一 1， 0)引 L 的切线，求切点 (x0，y 0)，并写出切线的方程；()求此切线与 L(对应于 xx0 的部分)及 x 轴所围成的平面图形的面积23 (07 年) 设 f(x)是区间 上的单调、可导函数，且满足 0f(x)f-1(t)dt=其中 f-1 是 f 的反函数，求 f(x)24 (07 年) 设 D 是位于曲线 (a1，0x +)下方、x 轴上方的无界区域(I)求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V(a)；()当 a 为何值时，V(a)最小?并求此最小值25 (08 年) 计算26 (08 年)(I)证明积分中
7、值定理：若函数 f(x)在闭区间 a，b上连续。则至少存在一点 a，b使得 abf(x)dx=f()(b 一 a)； ()若函数 (x)具有二阶导数且满足(2)(1)，(2) 23(x)dx 则至少存在一点 (1， 3)，使得 “()027 (09 年) 计算不定积分28 (10 年)(I)比较 01|lnt|ln(1+t)ndt 与 01tn|lnt|dt(n=1，2，)的大小，说明理由；()记 un=01|lnt|ln(1+t)ndt(n=1，2，)，求极限29 (10 年) 一个高为 l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a,短轴为 2b 的椭圆现将贮油罐平激当油罐中油面高度为 时(如图)
8、，计算油的质量(长度单位为 m，质量单位为 kg，油的密度为常数 kgm 3)30 (11 年) 一容器的内侧是由图中曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面该曲线由x2+y2=2y 与 x2+y2=1 连接而成 (I)求容器的容积； ()若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出至少需要做多少功? (长度单位：m，重力加速度为 g ms 2，水的密度为 103kgm 3)考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 令 f(x)=cosxF(x)=sinx+1显然 f(x)是偶函数，但 F(x)
9、不是奇函数所以(B) 不正确； 令 F(x)=sinx+x，f(x)=cosx+1显然 f(x)是周期函数，但 F(x)不是周期函数，故(C) 不正确； 令 F(x)=x2，f(x)=2x 显然 f(x)是单调函数，但 F(x)不是单调函数则(D) 不正确，故应选 (A)【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(x)是奇函数，则 0xf(t)dt 是偶函数又由于 f(x)除 x=0 外处处连续，且 x=0 是其第一类间断点，则 f(x)在任何一个有限区间上可积，从而 0xf(t)dt为连续函数故应选(B)【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 C【试题解析】
10、 根据定积分的几何意义知，也可用排除法：由定积分的几何意义知 F(一 2)= 也可利用 f(x)是奇函数,则 F(x)=0xf(t)dt 为偶函数从而 F(3)=F(一 3)=F(2)=F(一 2)= 故(A)(B)(D) 均不正确故应选(C) 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 0axf(x)dx=0axdf(x)=xf(x)|0a0af(x)dx =af(a)一 0af(x)dx 其中 af(a)应等于矩形 ABOC 的面积， 0af(x)dx 应等于曲边梯形 ABOD 的面积，则 0axf(x)dx应等于曲边三角形 ACD 的面积【知识模块】 一元函数积分学5
11、【正确答案】 D【试题解析】 由题设知，当 x(一 1，0) 时 F(x)=f(x)，而当 x(一 1，0)时 f(x)1 0，即 F(x)0，从而 F(x)单调增显然(A)选项是错误的，因为(A) 选项中F(x)在( 一 1，0)中单调减 由于 F(x)=0xf(t)dt，则 F(0)=0，显然(C)选项错误 由于当 x(2，3时 f(x)0，则当 x(2，3时 F(x)= 0xf(t)dt=02f(t)dt+2xf(t)dt=02f(t)dt+2x0dt=F(2) 则(B)是错误的，(D)是正确的【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 D【试题解析】 反常积分 有两个元界点，x=0
12、和 x=1先考察 x=0，当 x0 时 则反常积分 同敛散再讨论 x=1令 0p1故原反常积分的敛散性与 m 和 n 的取值无关【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 B【试题解析】 当 x 时sinxcosx1cotx，而 lnx 为单调增的函数，则故应选(B)【知识模块】 一元函数积分学二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 -+xf(x)dx=0+xe-xdx=一 0+xde-x=-xe-x|0+0+exdx=【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 由于 f(x)在 x=0 处连续，则 ，而【知识模
13、块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 一 2【试题解析】 1= -+ek+xdx=20+ekxdx= ，k=一 2【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 所求弧长为【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 令 t=u+，则有故 f(x)是以 为周期的周期函数 () 由于|sinx| 在(一 ，+) 上连续，则 f(x)为(一 ，+
14、)上的连续函数注意到 f(x)以 为周期，故只须在0， 上讨论其值域，因为【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 由题设 S1(x)=S2(y)，知【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 由(3，2)是曲线 y=f(x)的拐点知，f“(3)=0 ；由直线 l1 与 l2 分别是曲线 y=f(x)在点(0，0)与(3，2)处的切线知，f(0)=2，f(3)= 一 2，f(0)=0f(3)=2利用分部积分法可得 03(x2+x)f“(x)dx=(x2+x)f“(x)|03 一 03(2x
15、+1)f“(x)dx =一03(2x+1)f“(x)dx =一(2x+1)f(x)| 03+203f(x)dx =一7(一 2)一 2+203f(x)dx =16+2f(x)|03=16+4=20【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 (I)由于 当 t0 时 0故 L 上凸( )因为当 t=0 时L 在对应点处的切线方程为 x=1不合题意，故设切点(x0,y0)对应的参数为 t00 ，则 L 在(x 0，y 0)处的切线方程为 y 一(4t 0 一 t02)=( 一 1)(x 一 t02 一 1) 令 x=一 1，y=0，得 t 02+
16、t0-2=0 解得 t0=1，或 t0=一 2(舍去) 由 t0=1知，切点为(2，3) ，且切线方程为 y=x+1 ()由 t=0，t=4 知 L 与 x 轴交点分别为(1，0)和(17，0) 所求平面图形的面积为 S=-12(x+1)dx-12ydx=【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 而f(0)=0，则 C=0 f(x)=ln(sinx+cosx)【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 令 V(a)=0，得 a=e 且当 1ae 时，V(a)0；当 ae ，V(a) 0，则 V(a)在 a=e 处取极小值而 a=e 是唯一的极值点，则 V min(e)=e2【知识模块
17、】 一元函数积分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 (I)设 M 与 m 是连续函数 f(x)在a，b上的最大值与最小值，即 mf(x)M，xa，b由定积分性质，有 m(b 一 a)abf(x)dxM(b 一 a)即由连续函数介值定理，至少存在一点 a，b使得 f()= 即 abf(x)dx=f()(b 一 a) ()由()的结论，可知至少存在一点2,3，使 23(x)dx=()(3 一 2)=(n)又由 (2) 23(x)dx=()知，23. 对(x)在1,2和2 ，上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到 (1)(2)，()(2)，得 在 1， 2上对导函数
18、(x)应用拉格朗日中值定理，有【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 (I)当 0t1 时，因为 ln(1+t)t，所以 |lnt|ln(1+t)ntn|lnt|，因此 01|lnt|ln(1+t)ndt01tn|lnt|dt ()由(I) 知 0un=01|lnt|ln(1+t)ndt01tn|lnt|dt【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 如图建立坐标系，则油罐底面椭圆方程为 图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形记 S1 为下半椭圆面积，则 记 S2 是位于 x 轴上方阴影部分的面积，则 设 y=bsint，则 dy=bcostdt于是油的质量为【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 由对称性，所求的容积为即该容器的容积为 立方米()所求的功为【知识模块】 一元函数积分学
