1、考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2003 年) 设 an ，则极限 nan 等于 【 】（A） 1（B） 1（C） 1（D） 12 (2003 年) 设 ，则 【 】（A）I 1I 2 1（B） 1I 1I 2（C） I2I 11（D）1I 2I 13 (2004 年) 把 0 +时的无穷小量 0cost2dt， ， sint3dt 排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 【 】（A），（B） ，（C） ， （D）， 4 (2004 年) 等于 【 】（A） 01ln2d
2、（B） 212lnd（C） 212ln(1)d（D） 12ln2(1)d5 (2005 年) 设 F()是连续函数 f()的一个原函数，“M N”表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有 【 】（A）F()是偶函数 f()是奇函数（B） F()是奇函数 f()是偶函数（C） F()是周期函数 f()是周期函数（D）F()是单调函数 f()是单调函数二、填空题6 (1999 年) 函数 y 在区间 上的平均值为_7 (2000 年) _8 (2001 年) (3sin 2)cos2d_9 (2002 年) 位于曲线 ye (0) 下方， 轴上方的无界图形的面积是_10 (2002 年)_11 (
3、2003 年) 设曲线的极坐标方程为 e (a0) ，则该曲线上相应于 从 0 变到 2的一段弧与极轴所围成的图形面积为_12 (2004 年) _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 (1997 年) 已知函数 f()连续，且 2，设 () 01f(t)dt，求 ()，并讨论 ()的连续性14 (1998 年) 确定常数 a，b，c 的值，使15 (1998 年) 计算积分16 (1998 年) 设 yf()是区间0，1上任一非负连续函数 (1)试证存在 0(0，1)，使得在区间在区间0， 0上以 f(0)为高的矩形的面积等于在区间 0，1上以yf()为曲面的曲边梯形的面积
4、 (2)又设 f()在(0，1)上可导，且 f() ，证明(1)中的 0 是唯一的17 (1998 年) 设有曲线 y ，过原点作其切线，求由此曲线、切线及 轴围成的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的表面积18 (1999 年) 计算19 (1999 年)为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放人井底，抓起污泥后提出井口，已知井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗抓起的污泥重 2000N，提升速度为 3ms在提升过程中，污泥以 20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功?(说明： 1 N1m 1J；m，N，s，J 分别表示米、牛顿、秒
5、、焦耳抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)20 (1999 年) 设函数 y()(0)二阶可导，且 y()0 ，y(0)1过曲线 yy()上任意一点 P(，y) 作该曲线的切线及 轴的垂线，上述两直线与 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间0 ，上以 yf()为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设2S1S 2 恒为 1，求此曲线 yy() 的方程21 (1999 年) 设 f()是区间0，)上单调减少且非负的连续函数，a 1 f(k) 1nf()d(n 1，2，) ，证明数列a n的极限存在22 (2000 年) 设 f(ln) ，计算f()d23 (2000 年) 设 Oy 平面上有
6、正方形 D(，y)01 ，0y1 及直线l：yt(t0)若 S(t)表示正方形 D 位于直线 l 左下部分的面积，试求 0S(t)dt(0)24 (2000 年) 设函数 S() 0cost dt (1)当 n 为正整数，且 n(n1) 时，证明 2nS()2(n 1) (2)求25 (2000 年) 设函数 f()在0，上连续，且 0f()d0， 0f()cosd0试证明：在(0， )内至少存在两个不同的点 1， 2，使 f(1)f( 2)026 (2000 年) 设曲线 ya 2(a0，0) 与 y1 2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A的直线与曲线 ya 2 围成一平面图形问 a 为
7、何值时，该图形绕 轴旋转一周所得的旋转体体积最大? 最大体积是多少 ?27 (2000 年) 函数 f()在0，上可导，f(0)1，且满足等式 f()f() 0f(t)dt (1)求导数 f()； (2)证明：当 0 时，成立不等式： e-f()1考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 所以应选 B【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 由于当 0 时，tan，则 由，知 I2I 1，所以 C、D 都不正确由 1 知 I 2由 I21 知 A 也不正确，由排
8、除法知，应选 B【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 由于 则当0 +时， 是 的高阶无穷小，又则当 +时， 是 的高阶无穷小，故应选 B【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 故应选 B【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 A【试题解析】 若 F()是连续函数 f()的原函数，且 F()是偶函数，则 F()F()，式两端对 )求导得 F()F() 即f()f() 故 f()为奇函数 反之，若 f()为奇函数，则 G() 0f(t)dt 是 f()的一个原函数，又 G()则 G()是偶函数，由于 F()也是 f()的原函数，则 F() G(
9、)C F()亦是偶函数，故应选 A【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 令 t，则 原式：【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 由于 3cos2 为奇函数，sin 2cos2 为偶函数，则【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 1【试题解析】 所求面积为【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 由定积分定义可知【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 (e4a1)【试题解析】 所求面积为【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 令
10、 sect，则【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 由题设知 f(0)0，(0)0，令 tu，得从而可知()在 0 处连续【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 由于 0 时，asin0 且 故b0再用洛必达法则 若 a1，则上式为，与原题设不符故 a1 又 则c 故 a1，b0，c【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 令 () 1f(t)dt，则 ()在0，1上满足罗尔定理的条件，则存在 0(0， 1)，使 (0)0，即 0f(0) f(t)dt0 又 () f()2
11、f()0，则上式中的 0 是唯一的【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 设切点的横坐标为 0，则曲线 y 在点( 0， )处的切线方程为 将 0，y0 代入上式得2( 01) 0，解得 02 于是切线方程为 y1 (2)，即 y 由曲线段 y (12)绕 轴旋转一周所得到的旋转面的面积为 - S1由直线段y (02)绕 轴旋转一周所得到的旋转面的面积为 S 2因此，所求旋转体的表面积为 SS 1S 2【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 作 轴如图 218，将抓起污泥的抓斗提升到井口需作功 1 2 3 其中 1 是克服抓斗自重
12、作的功； 2 是克服缆绳所作的功； 3 是提升污泥所作的功由题设可知 14003012000 d250(30)d 从而 2 03050(30)d22500 在时间间隔t，tdt内提升污泥所作的功为 d 33(200020t)dt 将污泥从井底提升到井口共需时间 10，所以 3 0103(200020t)dt570000 则共需作功 12000225005700091500 (J)【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 曲线 yy()上点 P(，y)处切线方程为 yyy()(X) 它与 轴的交点为( ，0)，由于 y()0，y(0)1，从而 y()0，于是又 S 0y(t)dt 由条件
13、2S1S 21 知两边对 求导并化简得 yy(y) 2 令 yP，则上述方程化为 解得 PC 1y 注意到 y(0)1，由(*)式可知 y(0)1，由此可得 C11，C 20，故所求曲线方程为 ye 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 由题设可知则数列a n)下有界，又 an+1a nf(n1) nn+1f()d0 则数列a n单调下降，由单调有界准则知数列a n有极限【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 令 lnt，则 e ，f(t)【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 1)由于cos 0 ，且 n(n1)，所以
14、 0n cosdS() 0(n+1)cosd 又因为cos是以 为周期的周期函数，在每个周期上积分值相等，所以 0ncos dn 0cos d2n 0(n+1)cosd2(n1) 因此，当 n(n 1) 时，有 2nS()2(n 1) 2)由 1)知，当 n(n1) 时，有令 ，由夹逼原理知【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 令 F() 0f(t)dt 0 则 F(0) 0，F() 0，又因为所以，存在 (0，) ，使 F()sin0，因若不然，则在(0 ，)内或 F()sin 恒为正，或F()sin 恒为负，均与 0F()sind0 矛盾，但当 (0，)时，sins0，故 F()
15、0 由以上证得 F(0)F()F() 0 (0) 再对 F()在区间0，上分别用罗尔中值定理，知至少存在 1(0，) ， 2(，)，使 F( 1)F( 2)0 即f(1) f(2)0【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 当 0 时，由 解得 ，故直线OA 的方程为 令 0，并由 a0 得唯一驻点 a4 由题意知 a4 时，旋转体体积最大，最大体积为 V【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 (1)由题设知 ( 1)f()(1)f() 0f(t)dt0 上式两边对 求导，得( 1)f() (2)f() 设 uf()则有 解得 f()u 由f(0)1，及 f(0)f(0)0 ，知 f(0)1，从而 C1 因此 f() (2)当0 时， f()0，即 f()单调减少，又 f(0)1，所以 f()f(0)1 设 ()f()e 则 (0)0，()0，即 ()单调增加，因而 ()(0)0，即有 f()e 综上所述，当 0 时，成立不等式 e f()1【知识模块】 一元函数积分学
