[考研类试卷]考研数学二(一元函数积分学)历年真题试卷汇编7及答案与解析.doc

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1、考研数学二(一元函数积分学)历年真题试卷汇编 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 (2003 年) 设 an ,则极限 nan 等于 【 】(A) 1(B) 1(C) 1(D) 12 (2003 年) 设 ,则 【 】(A)I 1I 2 1(B) 1I 1I 2(C) I2I 11(D)1I 2I 13 (2004 年) 把 0 +时的无穷小量 0cost2dt, , sint3dt 排列起来,使排在后面的是前面一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是 【 】(A),(B) ,(C) , (D), 4 (2004 年) 等于 【 】(A) 01ln2d

2、(B) 212lnd(C) 212ln(1)d(D) 12ln2(1)d5 (2005 年) 设 F()是连续函数 f()的一个原函数,“M N”表示“M 的充分必要条件是 N”,则必有 【 】(A)F()是偶函数 f()是奇函数(B) F()是奇函数 f()是偶函数(C) F()是周期函数 f()是周期函数(D)F()是单调函数 f()是单调函数二、填空题6 (1999 年) 函数 y 在区间 上的平均值为_7 (2000 年) _8 (2001 年) (3sin 2)cos2d_9 (2002 年) 位于曲线 ye (0) 下方, 轴上方的无界图形的面积是_10 (2002 年)_11 (

3、2003 年) 设曲线的极坐标方程为 e (a0) ,则该曲线上相应于 从 0 变到 2的一段弧与极轴所围成的图形面积为_12 (2004 年) _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 (1997 年) 已知函数 f()连续,且 2,设 () 01f(t)dt,求 (),并讨论 ()的连续性14 (1998 年) 确定常数 a,b,c 的值,使15 (1998 年) 计算积分16 (1998 年) 设 yf()是区间0,1上任一非负连续函数 (1)试证存在 0(0,1),使得在区间在区间0, 0上以 f(0)为高的矩形的面积等于在区间 0,1上以yf()为曲面的曲边梯形的面积

4、 (2)又设 f()在(0,1)上可导,且 f() ,证明(1)中的 0 是唯一的17 (1998 年) 设有曲线 y ,过原点作其切线,求由此曲线、切线及 轴围成的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的表面积18 (1999 年) 计算19 (1999 年)为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放人井底,抓起污泥后提出井口,已知井深 30m,抓斗自重 400N,缆绳每米重 50N,抓斗抓起的污泥重 2000N,提升速度为 3ms在提升过程中,污泥以 20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功?(说明: 1 N1m 1J;m,N,s,J 分别表示米、牛顿、秒

5、、焦耳抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)20 (1999 年) 设函数 y()(0)二阶可导,且 y()0 ,y(0)1过曲线 yy()上任意一点 P(,y) 作该曲线的切线及 轴的垂线,上述两直线与 轴所围成的三角形的面积记为 S1,区间0 ,上以 yf()为曲边的曲边梯形面积记为 S2,并设2S1S 2 恒为 1,求此曲线 yy() 的方程21 (1999 年) 设 f()是区间0,)上单调减少且非负的连续函数,a 1 f(k) 1nf()d(n 1,2,) ,证明数列a n的极限存在22 (2000 年) 设 f(ln) ,计算f()d23 (2000 年) 设 Oy 平面上有

6、正方形 D(,y)01 ,0y1 及直线l:yt(t0)若 S(t)表示正方形 D 位于直线 l 左下部分的面积,试求 0S(t)dt(0)24 (2000 年) 设函数 S() 0cost dt (1)当 n 为正整数,且 n(n1) 时,证明 2nS()2(n 1) (2)求25 (2000 年) 设函数 f()在0,上连续,且 0f()d0, 0f()cosd0试证明:在(0, )内至少存在两个不同的点 1, 2,使 f(1)f( 2)026 (2000 年) 设曲线 ya 2(a0,0) 与 y1 2 交于点 A,过坐标原点 O 和点 A的直线与曲线 ya 2 围成一平面图形问 a 为

7、何值时,该图形绕 轴旋转一周所得的旋转体体积最大? 最大体积是多少 ?27 (2000 年) 函数 f()在0,上可导,f(0)1,且满足等式 f()f() 0f(t)dt (1)求导数 f(); (2)证明:当 0 时,成立不等式: e-f()1考研数学二(一元函数积分学)历年真题试卷汇编 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 所以应选 B【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 由于当 0 时,tan,则 由,知 I2I 1,所以 C、D 都不正确由 1 知 I 2由 I21 知 A 也不正确,由排

8、除法知,应选 B【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 由于 则当0 +时, 是 的高阶无穷小,又则当 +时, 是 的高阶无穷小,故应选 B【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 故应选 B【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 A【试题解析】 若 F()是连续函数 f()的原函数,且 F()是偶函数,则 F()F(),式两端对 )求导得 F()F() 即f()f() 故 f()为奇函数 反之,若 f()为奇函数,则 G() 0f(t)dt 是 f()的一个原函数,又 G()则 G()是偶函数,由于 F()也是 f()的原函数,则 F() G(

9、)C F()亦是偶函数,故应选 A【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 令 t,则 原式:【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 由于 3cos2 为奇函数,sin 2cos2 为偶函数,则【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 1【试题解析】 所求面积为【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 由定积分定义可知【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 (e4a1)【试题解析】 所求面积为【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 令

10、 sect,则【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 由题设知 f(0)0,(0)0,令 tu,得从而可知()在 0 处连续【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 由于 0 时,asin0 且 故b0再用洛必达法则 若 a1,则上式为,与原题设不符故 a1 又 则c 故 a1,b0,c【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 令 () 1f(t)dt,则 ()在0,1上满足罗尔定理的条件,则存在 0(0, 1),使 (0)0,即 0f(0) f(t)dt0 又 () f()2

11、f()0,则上式中的 0 是唯一的【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 设切点的横坐标为 0,则曲线 y 在点( 0, )处的切线方程为 将 0,y0 代入上式得2( 01) 0,解得 02 于是切线方程为 y1 (2),即 y 由曲线段 y (12)绕 轴旋转一周所得到的旋转面的面积为 - S1由直线段y (02)绕 轴旋转一周所得到的旋转面的面积为 S 2因此,所求旋转体的表面积为 SS 1S 2【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 作 轴如图 218,将抓起污泥的抓斗提升到井口需作功 1 2 3 其中 1 是克服抓斗自重

12、作的功; 2 是克服缆绳所作的功; 3 是提升污泥所作的功由题设可知 14003012000 d250(30)d 从而 2 03050(30)d22500 在时间间隔t,tdt内提升污泥所作的功为 d 33(200020t)dt 将污泥从井底提升到井口共需时间 10,所以 3 0103(200020t)dt570000 则共需作功 12000225005700091500 (J)【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 曲线 yy()上点 P(,y)处切线方程为 yyy()(X) 它与 轴的交点为( ,0),由于 y()0,y(0)1,从而 y()0,于是又 S 0y(t)dt 由条件

13、2S1S 21 知两边对 求导并化简得 yy(y) 2 令 yP,则上述方程化为 解得 PC 1y 注意到 y(0)1,由(*)式可知 y(0)1,由此可得 C11,C 20,故所求曲线方程为 ye 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 由题设可知则数列a n)下有界,又 an+1a nf(n1) nn+1f()d0 则数列a n单调下降,由单调有界准则知数列a n有极限【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 令 lnt,则 e ,f(t)【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 1)由于cos 0 ,且 n(n1),所以

14、 0n cosdS() 0(n+1)cosd 又因为cos是以 为周期的周期函数,在每个周期上积分值相等,所以 0ncos dn 0cos d2n 0(n+1)cosd2(n1) 因此,当 n(n 1) 时,有 2nS()2(n 1) 2)由 1)知,当 n(n1) 时,有令 ,由夹逼原理知【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 令 F() 0f(t)dt 0 则 F(0) 0,F() 0,又因为所以,存在 (0,) ,使 F()sin0,因若不然,则在(0 ,)内或 F()sin 恒为正,或F()sin 恒为负,均与 0F()sind0 矛盾,但当 (0,)时,sins0,故 F()

15、0 由以上证得 F(0)F()F() 0 (0) 再对 F()在区间0,上分别用罗尔中值定理,知至少存在 1(0,) , 2(,),使 F( 1)F( 2)0 即f(1) f(2)0【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 当 0 时,由 解得 ,故直线OA 的方程为 令 0,并由 a0 得唯一驻点 a4 由题意知 a4 时,旋转体体积最大,最大体积为 V【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 (1)由题设知 ( 1)f()(1)f() 0f(t)dt0 上式两边对 求导,得( 1)f() (2)f() 设 uf()则有 解得 f()u 由f(0)1,及 f(0)f(0)0 ,知 f(0)1,从而 C1 因此 f() (2)当0 时, f()0,即 f()单调减少,又 f(0)1,所以 f()f(0)1 设 ()f()e 则 (0)0,()0,即 ()单调增加,因而 ()(0)0,即有 f()e 综上所述,当 0 时,成立不等式 e f()1【知识模块】 一元函数积分学

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