1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 41 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f()连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )（A） 1tf(t)f( t)dt（B） 0tf(t)f(t)dt（C） 0f(t2)dt（D） 0f2(t)dt2 sin2d 为( )（A）等于 0（B）大于 0（C）小于 0（D）不能确定3 若由曲线 y2 ，曲线上某点处的切线以及 1， 3 围成的平面区域的面积最小，则该切线是( ) （A）y（B） y 2（C） y1（D）y二、填空题4 _5 求 _6 计算 _7 计算 (a0) _8 计算 (a1)
2、_9 计算 _10 设 f() 0ecostdt，求 0f()cosd11 设 f()连续，且 0tf(2t)dt arctan2，f(1)1，求 12f()d12 _13 设连续非负函数 f()满足 f()f() 1，则 _14 I() 在区间1，1上的最大值为_15 设 f()的一个原函数为 ，则 f()d_16 y 在 上的平均值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设直线 ya 与抛物线 y 2 所围成的图形面积为 S1，它们与直线 1 所围成的图形面积为 S2，且 a1 (1)确定 a，使 S1S 2 达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕
3、 轴旋转一周所得旋转体的体积18 求曲线 y3 21 与 轴围成的封闭区域绕直线 y3 旋转所得的旋转体的19 求椭圆 1 与椭圆 1 所围成的公共部分的面积20 计算 I21 计算22 计算定积分23 证明： ，其中 a0 为常数24 证明：当 0 时，f() 0(tt 2)sin2ntdt 的最大值不超过 25 设 f()在a，b上连续，且对任意的 t0，1及任意的 1， 2a，b满足： f(t1(1 t) 2)tf(1)(1t)f( 2) 证明：26 设 f()Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f()0，() 是区间a，b上的非负连续函数，且 ab()d1 证明： abf()()df
4、ab()d27 令 f()，求极限28 为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口设井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗盛污泥 2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速度从抓斗中漏掉现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少?考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 41 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 tf(t) f(t)为偶函数，所以 0tf(t)f(t)dt 为奇函数，A 不对； 因为 f(t2)为偶函数，所以 0f(t2)dt 为奇函数，C 不对；
5、 因为不确定 f2(t)的奇偶性，所以 D 不对； 令 F() 0tf(t)f( t)dt， F() 0 tf(t)f(t)dt 0(u)f(u)f( u)(du)F()，选 B【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 故选 B【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数积分学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 5【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题
6、解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 e -1e【试题解析】 0f()cosd 0f()d(sin)f()sin 0 0f()sind 0ecossinde cos 0e -1e【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 等式两边对 求导得 2 2f(u)du22f(2) f()4f(2)f() ， 整理得 22f(u)duf() 取 1 得 2f(u)duf(1) ，故f()d 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 1【试题解
7、析】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 ln3【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 (1)直线 ya 与抛物线 y 2 的交点为(0，0)，(a，a 2) 当a1 时， SS 1S 2 0a(a 2)d a1(2a)d ， 令Sa 2 0 得 a ，因为 0，所以 a 时，S 1S 2 取到最小值，此时最小值为 当 a0 时，因为 S(a21)0，所以 S(a)单调减少，故 a0 时 S1S 2
8、取最小值，而 S(0) 因为S(0)，所以当 a 时，S 1S 2 最小? (2)旋转体的体积为 V【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕 y3 旋转所成的体积 当 0 时，y 对 ，d 0，1， dV13 23( 22) 2d(2 2 48)d ，【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的 4 倍，先求第一象限的面积 令 则 L 1： 1 的极坐标形式为 L1：r 2r 12()L2： 1 的极坐标形式为 L2：r 2r 22()令则第一象限围成的面积为【知识模块】 一元函数积分学20 【正
9、确答案】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 当 0 时，令 f()( 2)sin2n0 得1，k(k1，2，)， 当 01 时，f() 0；当 1 时，f()0(除k(k1，2，)外 f()0)， 于是 1 为 f()的最大值点，f()的最大值为f(1)因为当 0 时，sin， 所以当 0，1时，( 2)sin2n( 2)2n 2n+1 2n+2 于是 f()f(1) 01( 2)sin2nd 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案
10、】 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 因为 f()0，所以有 f()f(0)f( 0)( 0) 取 0 ab()d，因为 ()0，所以 a()()b()，又 ab()d1，于是有 aab()d 0b把 0 ab()d 代入 f()f(0)f( 0)( 0)中，再由 ()0，得 f()()f(0)()f( 0)() 0()， 上述不等式两边再在区间 a，b上积分，得abf()()dfab()d【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 因为 m m(其中 m 为整数)，所以 f() 是以 1 为周期的函数，又 ，故 f()0，且 f()在0，1上的表达式为对充分大的 ，存在自然数竹，使得 nn1，则 0nf()d0f()d0n+1f()d， 而 0nf()dn 01f()dn 01d ，显然当 时，n，由迫敛定理得【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 设拉力对空斗所做的功为 W1，则 W14003012000J 设拉力对绳所做的功为 W2，任取 ，d 0，30 ，dW 250(30 )d， 则W2 030dW2 22500J 设拉力对污泥做功为 W3，任取t ，t dt 0，10， dW3(200020t)3dt 则 W3 010dW357000J ，拉力克服重力所做的功为WW 1W2W 391500J【知识模块】 一元函数积分学
