1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设一元函数 f(x)有下列四条性质f(x)在a，b 连续f(x)在a，b 可积f(x)在a，b 存在原函数f(x)在a，b 可导若用“PQ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( )（A）（B） （C） （D）2 设函数 若反常积分 1+f(x)dx 收敛，则( )（A）一 2（B） 2（C）一 20（D）023 设 f(x)=0xecost 一 0xe-costdt，则( )（A）f(x)=f(x+2)（B） f(x)f(x+2)（C） f(x)f(x+2)（D）当 x0
2、时,f(x)f(x+2)；当 x0 时 f(x)f(x+2)4 曲线 y=e-xsinx(0x3)与 x 轴所围成图形的面积可表示为( )（A）一 03e-xsinxdx（B） 03e-xsinxdx（C） 0e-xsinxdx 2e-xsinxdxps23e-xsinxdx（D） 02e-xsinxdx 一 23e-xsindx5 由曲线 y=1 一(x 一 1)2 及直线 y=0 围成图形(如图 32)绕 y 轴旋转而成的立体的体积 V 是( )（A）（B）（C）（D）6 曲线 r=aeb(a0，b0)从 00 到 =(0)的一段弧长为( )（A）（B）（C）（D）7 如图 33，连续函数
3、 y=f(x)在区间一 3，一 2，2，3上的图形分别是直径为 1的上、下半圆周，在区间一 2，0，0，2 的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周设 F(x)=0xf(t)dt，则下列结论正确的是( )（A）（B）（C）（D）8 半圆形闸门半径为 R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度=1若坐标原点取在圆心，x 轴正向朝下，则闸门所受压力 P 为( )（A）（B）（C）（D）9 设 F(x)=xx+2esintsintdt，则 F(x)( )（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数10 设 则 I，J ，K 的大小关系为( )（A）IJK（B） IKJ（C） JIK
4、（D）KJI11 设函数 f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )（A） 0xtf(t)一 f(一 t)dt（B） 0xtf(t)+f(一 t)dt（C） 0x(t2)df（D） 0xf(t)dt12 设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(x)0，则方程 在开区间(a，b)内的根有( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）无穷多个13 曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴所围成图形面积可表示为( )（A）一 02x(x 一 1)(2 一 x)dx（B） 01x(x 一 1)(2 一 x)dx 12x(x 一 1)(2 一 x)dx.（C
5、）一 01x(x-1)(2x)dx+ 12x(x1)(2 x)dx（D） 02x(x 一 1)(2 一 x)dx.二、填空题14 =_.15 设封闭曲线 L 的极坐标方程为 ，则 L 所围平面图形的面积是_.16 设 =_.17 设无界区域 G 位于曲线 下方，x 轴上方，则 G绕 x 轴旋转一周所得空间区域的体积为_18 由曲线 和直线 y=x 及 y=4x 在第一象限中围成的平面图形的面积为_.19 曲线 ，直线 x=2 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积为_20 设 =_.21 已知 ，则 k=_22 设曲线的参数方程为 的曲线段的弧长S=_23 设有摆线 x=a
6、(tsint)，y=a(1 cost)(0t2)的第一拱 L，则 L 绕 x 轴旋转一周所得旋转面的面积 S=_24 设 则 df(x，y)=_.25 已知曲线 y=f(x)过点 且其上任一点(x，y) 处的切线斜率为 xln(1+x2)，则 f(x)=_.26 在曲线 y=x2(0x1)上取一点(t ，t 2)(0t1)，设 A，是由曲线 y=x2(0x1)，直线 t=t2 和 x=0 所围成图形的面积； A2 是由曲线 y=x2(0x1)，直线 y=t2 和 x=1 所围成图形的面积，则 t 取_时，A=A 1+A2 取最小值27 已知抛物叶形线的一部分 如图 34 所示，它围成的图形为
7、M，则 M 的面积 A=_，M 的质心(形心)(x，y)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。28 如图 38，C 1 和 C2 分别是 和 y=ex 的图象，过点(0，1)的曲线 C3是一单调增函数的图象过 C2 上任一点 M(x，y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线lx 和 ly 记 C1，C 2 与 lx 所围图形的面积为 S1(x)；C 2，C 3 与 ly 所围图形的面积为S2(y)如果总有 S1(x)=S2(y)，求曲线 C3 的方程 x=(y)29 设函数 f(x)在0，上连续，且 0f(x)dx=0f(x)cosdx=0试证明在(0，)内至少存在两个不同的点
8、 1， 2，使 f(1)=f(2)=030 设 f(x)在0，+连续，且 证明至少存在(0， +)，使得 f()+=031 设曲线 y=ax2+bx+c 过原点，且当 0x1 时，y0，并与 x 轴所围成的图形的面积为 ，试确定 a、b、c 的值，使该图形绕 x 轴旋转一周所得立体的体积最小32 设 证明曲线 y=f(x)在区间(ln2，+)上与 x 轴围成的区域有面积存在，并求此面积32 计算下列反常积分(广义积分)的值33 34 35 求36 计算37 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，求极限38 设 f(x)在a，b上有二阶连续导数，证明39 设 f(x)在a，b上有连续的导数，证明
9、40 设函数 f(x)在0，上连续，且 0xf(x)sinxdx=0 0xf(x)cosdx=0证明在(0，)内f(x)至少有两个零点41 计算不定积分42 设 f(x)是区间 上单调、可导的函数，且满足其中 f 一 1 是 f 的反函数，求 f(x)43 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，且满足 axf(t)dtaxg(x)dt，x (a,6)， abf(t)dt=abg(t)dt证明 abxf(x)dxabxg(x)dx44 证明45 设 f(x)，g(x) 在0 ，1上的导数连续，且 f(0)=0,f(x)0，g(x)0 证明对任何a0，1，有 0ag(x)f(x)dx+01f(
10、x)g(x)dxf(a)g(1)46 设 f(x)=arcsin(x 一 1)2,f(0)=0，求 01f(x)dx47 设 f(x)连续，且 0xtf(2x 一 t)dt=arctanx3,f(1)=1，求 12f(x)dx48 设曲线 y=f(x)，其中 y=f(x)是可导函数，且 f(x)0已知曲线 y=f(x)与直线y=0，x=1 及 x=t(t1) 所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得立体的体积值是该曲边梯形面积值的 t 倍，求该曲线方程考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】
11、 这是讨论函数 f(x)在区间a ，b 上的可导性、连续性及可积性与原函数存在性间的关系问题由 f(x)在a ，b 可导，则 f(x)在a，b连续，那么 f(x)在a，b可积且存在原函数故选 C【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 根据反常积分的收敛判断，将已知积分分解为第二个反常积分 当且仅当 0 才收敛从而仅当 02 时，反常积分 1+f(x)dx 才收敛，故应选 D【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 考查 被积函数以 2 为周期且为偶函数，由周期函数的积分性质得因此 f(x+2)一 f(x)=0，故选 A【知识模块】 一元函数积分学4 【
12、正确答案】 C【试题解析】 当 0x 或 2x3 时 y0，当 x2 时 y0所以 y=e-xsinx(0x3)与 x 轴所围成图形的面积为 0e-xsinxdx 2e-xsinxdx+23e-xsinxdx故选 C【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 按选项，要把曲线表成 x=x(y)，于是要分成两条：【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 A【试题解析】 利用极坐标表示曲线的弧长公式，故选 A【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 C【试题解析】 结合定积分的几何意义，可知所以，故选 C【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 C【试题解析】 如图
13、39 所示，任取x，x+dx0，R ，相应的小横条所受压力微元【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 A【试题解析】 由分析可知，F(x)=F(0)，而 故选A【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 B【试题解析】 取 f(x)=x，则相应的 均为奇函数，故不选 A、C、D应选 B【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 B【试题解析】 赋值法取 f(x)=1，显然满足题设条件而此时原方程化为(x 一 a)+(x 一 b)=0，即 2x 一(a+b)=0而该方程显然在(a，b)内只有一个实根，可见A、C、D 均
14、不正确，故选 B【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 C【试题解析】 由于所求平面图形在 x 轴上、下方各有一部分，其面积为这两部分的面积之和，所以只要考查 B、C 选项中的每一部分是否均为正即可，显然 C 正确事实上，【知识模块】 一元函数积分学二、填空题14 【正确答案】 【试题解析】 本题主要考查的是积分的定义，【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 直接利用封闭曲线图形的面积公式可得【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【试题解析】 令 x 一 1=t，【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【试题解析】 由题意【知识模块】 一元函数积
15、分学18 【正确答案】 4ln2【试题解析】 先画图，作出 y=4x 与 的交点(1，4) ，直线 y=x 与 的交点(2， 2)，由图可知，面积 s 分两块(如图 310)【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【试题解析】 直接利用旋转体的体积公式可得，如图 31 1 所示，x 的积分从 1到 2【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【试题解析】 已知函数可化为【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 一 2【试题解析】 已知要求极限存在，所以k0那么 所以 k=一 2【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学2
16、3 【正确答案】 【试题解析】 根据旋转面面积公式可得【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 【试题解析】 根据积分函数的求导公式【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 【试题解析】 如图 312 所示A 1=0t(t2 一 x2)dx，A 2=t1(x2 一 t2)dx，【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 【试题解析】 (1)由对称性可知，第一象限内 与 x 轴围成的面积的两倍即是 M 的面积，因此【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。28 【正确答案】 两边对
17、y 求导得 故所求的函数关系为【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，0x，则有 F(0)=0，F()=0又因为所以存在 (0，)，使 F()sin=0，不然，则在(0，) 内 F(x)sinx 恒为正或恒为负，与 0F(x)sinxdx=0 矛盾，但当 (0，)时，sin0，故 F()=0由以上证得，存在满足 0 的 ，使得 F(0)=F()=F()=0，再对 F(x)在区间0，上分别用罗尔定理知，至少存在 1(0，)，2(，)，使得 F(1)=F(2)=0，即 f(1)=f(2)=0【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 作函数 F(x)=f
18、(x)+x，有因此，由介值定理，至少存在一个 (a，b)c(0 ，+)，使 F()=0，即 f()+=0【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 已知该曲线过原点，因而 c=0，又当 0x1 时，y0，可知a0，a+b0，于是该曲线在 0x1 上与 x 轴所围成的面积为该图形绕 x 轴旋转一周所得立体的体积为把 代入上式可得可知，要使该图形绕 x 轴旋转一周所得立体的体积最小，a，b 的值应分别是【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 考虑广义积分 的收敛性因此广义积分收敛，即所围成区域的面积存在取变换 ex=sect，则 x=ln(sect)，e xdx=secttantdt，
19、【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学33 【正确答案】 由于 x2 一 2x=(x 一 1)2 一 1，因此为去掉被积函数中的根号，可令x 一 1=sect 则有【知识模块】 一元函数积分学34 【正确答案】 采用分解法与分部积分法，注意 ，将被积函数分解并用分部积分法有【知识模块】 一元函数积分学35 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学36 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学37 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学38 【正确答案】 连续利用分部积分法有【知识模块】 一元函数积分学39 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学40 【正确答案】
20、反证法，如果 f(x)在(0 ，)内无零点(或有一个零点，但 f(x)不变号，证法相同)，即 f(x) 0(或0)，由于在(0，)内，有 sinx0，因此，必有0f(x)sinxdx0(或0)?这与假设相矛盾如果 f(x)在(0，)内有一个零点，而且改变一次符号，设其零点为 a(0，)，于是在(0，a)与(a，) 内 f(x)sin(x 一 a)同号，因此 0f(x)sin(x 一 a)dx0.但是，另一方面 0f(x)sin(x 一 a)dx=0f(x)(sincosa 一cosxsina)dx=cosa0f(x)sinxdx 一 sina0f(x)cosxdx=0这个矛盾说明 f(x)也不
21、能在(0，) 内只有一个零点，因此它至少有两个零点【知识模块】 一元函数积分学41 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学42 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学43 【正确答案】 令 F(x)=f(x)一 g(x)，G(x)= 0F(t)dt，由题设 G(x)0，x a，b，G(a)=G(b)=0，G(x)=F(x)从而【知识模块】 一元函数积分学44 【正确答案】 先对原积分进行分部积分【知识模块】 一元函数积分学45 【正确答案】 设 F(x)=0xg(t)f(t)dt+01f(t)f(t)g(t)dt 一 f(x)g(1)，则 F(x)在0，1上的导数连续，并且 F(x)=
22、g(x)f(x)-f(x)g(1)=f(x)g(x)一 g(1)，由于 x0，1时,f(x)0，g(x)0 ，因此 ,F(x)0，即 F(x)在0 ，1上单调递减注意到 F(1)=01g(t)f(t)dt+01f(t)g(t)g(t)dtf(1)g(1)，而 01g(t)f(t)dt=01g(t)df(t)=g(t)f(t) 01 01f(t)f(t)dt=f(1)g(1)一 01f(t)g(t)dt，故 F(1)=0因此 x0，1时，F(x)F(1)=0，由此可得对任何a0，1，有 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(a)g(1)【知识模块】 一元函数积分学46 【正确答案】 由题意【知识模块】 一元函数积分学47 【正确答案】 令 2x 一 t=u，则原等式变为【知识模块】 一元函数积分学48 【正确答案】 根据旋转体的体积公式，【知识模块】 一元函数积分学
