1、考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 11 及答案与解析一、填空题1 若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)的原函数是_ 2 设 f(x)在0，1连续， f(cosx)dx=A ，则 I=02f(cosx)dx=_.二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 设 f(x)在a ，b上连续，在(a，b) 内可导，且 abf(x)dx=f(b)求证：在(a ，6)内至少存在一点 ，使 f()=04 求下列变限积分函数的导数：()F(x)= 2xln(x+1) ，求 F(x)(x0)；()设 f(x)处处连续，又 f(0)存在，F(x)= 1x 0tf(t)dudt，
2、求 F(x)(-x+)5 以下计算是否正确? 为什么 ?6 n 为自然数，证明： 02xdx=02sinnxdx=7 求下列不定积分：8 计算下列定积分：() () 02f(x-1)dx，其中 f(x)=9 计算定积分 I=0 (a0，b0)10 设函数 f(x)= 并记 F(x)=0xf(t)dt(0x2)，试求 F(x)及 f(x)dx11 求下列不定积分：12 求下列不定积分：13 求不定积分14 求下列积分：15 求下列不定积分：()arcsinx.arccosxdx；()x 2sin2xdx；()16 求 In= sinnxdx 和 Jn= cosnxdx，n=0，1，2，3，17
3、计算不定积分18 求下列不定积分：19 求下列不定积分：20 求下列定积分：21 求下列定积分：()I= 0 sin2xarctanexdx22 计算下列反常积分(广义积分)的值：23 求一块铅直平板如图 3-1 所示在某种液体(比重为 y)中所受的压力24 求下列平面曲线的弧长：()曲线 9y2=x(x-3)2(y0)位于 x=0 到 x=3 之间的一段；()曲线 =1(a0，b0，ab)25 求下列曲线的曲率或曲率半径： ()求 y=lnx 在点(1，0)处的曲率半径 ()求x=t-ln(1+t2)，y=arctant 在 t=2 处的曲率26 已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 P
4、(1，2)，且在该点与圆相切，有相同的曲率半径和凹凸性，求常数a，b，c27 设函数 y=f(x)在a ，b(a0)连续，由曲线 y=f(x)，直线 x=a，x=b 及 x 轴围成的平面图形(如图 312) 绕 y 轴旋转一周得旋转体，试导出该旋转体的体积公式考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 11 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 -sinx+C 1x+C2【试题解析】 f(x)的导函数是 sinx，那么 f(x)应具有形式-cosx+C 1，所以 f(x)的原函数应为-sinx+C 1x+C2，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用2
5、【正确答案】 4A【试题解析】 由于 f(cosx ) 在(- ，+) 连续，以 为周期，且为偶函数，则根据周期函数与偶函数的积分性质得 I=20f(cosx )f(cosx)dx=4A【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，由积分中值定理可知，在(a，b)内至少存在一点 c 使得 f(c)= abf(x)dx这就说明 f(c)=f(b)根据假设可得 f(x)在c ，b上连续，在(c，b)内可导，故由罗尔定理知，在(c ，b) 内至少存在一点 ，使 f()=0，其中 (c，b) (a，b)【知
6、识模块】 一元函数积分概念、计算及应用4 【正确答案】 () 注意到积分的上、下限都是 x 的复合函数，由变限积分求导公式(3 4)可得 ()令g(t)= 注意变限积分函数 F(x)=1xg(t)dt 其被积函数 g(t)还是变限积分函数且 g(t)是 t 的可导函数，于是【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用5 【正确答案】 利用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分 abf(x)dx 必须满足两个条件：其一是 f(x)在a，b上连续，另一个是 F(x)是 f(x)在a，b上的一个原函数由，可知积分应是负值事实上由此可见，本题的题目中所给出的计算是错误的原因在于 arctan 在 x=0 不连续，
7、且 x=0 不是arctan 的可去间断点，从而 arctan 在区间-1 ，1上的一个原函数，故不能直接在-1，1上应用牛顿- 莱布尼兹公式这时正确的做法是把-1，1分为 -1，0与0，1两个小区间，然后用分段积分法进行如下计算：【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用6 【正确答案】 02cosnxdx=02sinn sinntdt=02sinnxdx(sinnx 以 2为周期)，当 n 为奇数时， 02sinnxdx -sinnxdx =0；当 n 为偶数时， 02sinnxdx=-sinnxdx20sinnxdx【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用7 【正确答案】 () 利用三
8、角函数的倍角公式：1+cos2x=2cos 2x 进行分项得()利用加减同一项进行拆项得()将被积函数的分母有理化后得再将第二项拆项得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用8 【正确答案】 () 由于 min 为偶函数，在 上的分界点为 ，所以()由于分段函数 f(x)的分界点为 0，所以，令 t=x-1 后，有 02f(x-1)dx=-11f(t)dt=-10+ln(1+x) 01=-ln(1+e-x) -10+ln2=ln(1+e)【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用9 【正确答案】 在区间0，上按如下方式用牛顿-莱布尼兹公式是错误的即因为 无定义，它只是分别在的原函数，因而不能
9、在0，上对积分，应用牛顿-莱布尼兹公式，但可按如下方法计算：【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用10 【正确答案】 根据牛顿-莱布尼兹公式，当 0x1 时，有 F(x)=02t2dt=当 1x2 时，F(x)= 01t2dt+1x(2-t)dt【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用11 【正确答案】 ()()()【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用12 【正确答案】 ()则=sin2tcostdt.sgnx=sin2tdsint.sgnx= sin3t.sgnx+C其中再用上面的三角形示意图 ，则得()令 x= ，于是dx=asec2tdt， =asect，则=sectdt=l
10、nsect+tant+C，再利用上面的三角形示意图，则有其中 C1=C-lna()由于 dx2，故可令 x2=sint，于是【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用13 【正确答案】 令 ex=t，则原式分别令，则分别有=v-arctanv+C2，于是【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用14 【正确答案】 () 原式()【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用15 【正确答案】 () 按照上表第二栏所讲的方法，有()由于 sin2x= (1-cos2x)，所以x 2sin2xdx= x2(1-cos2x)dx= x3- x2dsin2x连续使用分部积分法得x 2sin2xdx= x3
11、- sin2x+ xsin2xdx= dcos2x()注意到等式右端也包含积分 因而得到关于 的方程，解得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用16 【正确答案】 () 当 n2 时 In= sinnxdx= sinn-1xdcosx=-sinn-1xcosxsinn-2xcos2xdx=(n-1) sinn-2x(1-sin2x)dx=(n-1)In-2-(n-1)In，解出 In，于是当 n2 时得递推公式 In= In-2由于 I0= ，I 1=1，应用这一递推公式，对于 n 为偶数时，则有 对于n 为奇数时，则有 其中()由于 cosx=，则有 Jn = In 这说明 Jn 与 I
12、n有相同公式【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用18 【正确答案】 () 被积函数中含有两个根式 ，为了能够同时消去这两个根式，令 x=tt则()尽管被积函数中所含根式的形式与上面所介绍的有所不同，然而也应该通过变量替换将根式去掉令 ，即 x=ln(1+t2)，从而=2ln(1+t2)dt=2tln(1+t2)-=2tln(1+t2)-4t+4arctant+C【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用19 【正确答案】 作恒等变形后凑微分()()【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用20 【正确答案】 () 由于，故()
13、由于其中 -cct2 c2sin2c2cos2d=2c4 sin2(1-sin2)d【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用21 【正确答案】 【试题解析】 积分 I=0bf(x)dx 在变量替换 t=b-x 下积分区间保持不变，即 I=-b0f(b-t)dt=0bf(b-t)dt=0bf(b-x)dx， 于是 2I=0bf(x)+f(b-x)dx若右端易求，则就求出了 I 值 积分区间的对称性除了奇函数或偶函数带来方便之外，有时对某些其他函数也会带来方便在对称区间的情形：I= -aaf(x)dx，若作变量替换 x=-t，则积分区间保持不变，即 I=-aaf(-t)dt 于是 2I=-aaf
14、(x)+f(-x)dx 若右端积分易算，则就求出了 I 的值【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用22 【正确答案】 () 由于 x2-2x=(x-1)2-1，所以为去掉被积函数中的根号，可令 x-1=sect，则有()采用分解法与分部积分法注意 将被积函数分解并用分部积分法有()【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用23 【正确答案】 液体中深度为 h 处所受的压强为 p=h，从深度为 a 到 x 之间平板所受的压力记为 P(x)，任取x，x+ x上小横条，所受压力为 P=P(x+x)-P(x)x.cx令x0，得 dP(x)=xcdx于是，总压力为 P=abxcdx= (b2-a2)
15、=. (a+b)c(b-a)=.矩形中心的深度.矩形的面积【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用24 【正确答案】 () 先求 y与 将 9y2=x(x-3)2 两边对 x 求导得 6yy=(x-3)(x-1)，即 y= (x-3)(x-1)， ，因此该段曲线的弧长为()先写出曲线的参数方程 t0，2，再求于是代公式并由对称性得，该曲线的弧长为【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用25 【正确答案】 () 先求 ，然后代公式： 于是，在任意点 x0 处曲率为 于是曲线在点(1 ，0)处的曲率半径 = =232 ( )利用由参数方程确定的函数的求导法则，得于是所求曲率为【知识模块】 一元
16、函数积分概念、计算及应用26 【正确答案】 圆 ，所以在圆上任何一点的曲率为 由于点 P(1，2)是下半圆上的一点，可知曲线在点 P(1，2)处为凹的，所以由确定的连续函数 y=y(x)在 P(1，2)处的 y0又经过计算，可知在点 P(1，2)处的 y=1由题设条件知，抛物线经过点 P(1，2)，于是有 a+b+c=2抛物线与圆在点 P(1，2)相切，所以在点 P(1，2)处 y=1，即有2a+b=1又抛物线与圆在点 P(1，2) 有相同的曲率半径及凹凸性，因此有解得 a=2，从而 b=-3，c=2-a-b=3【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用27 【正确答案】 用微元法任取a，b 上小区间x，x+dx，相应得到小曲边梯形，它绕 y 轴旋转所成立体的体积(见图 312)为 dV=f(x)2xdx，于是积分得旋转体的体积为 V=2 abxf(x) dx【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用
