1、考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 M= sin(sinx)dx，N= cos(cosx)dx，则有（A）MxN（B） MN1（C） NM 1（D）1MN2 函数 F(x)=xx+2f(t)dt，其中 f(t)=esin2t(1+sin2t)cos2t，则 F(x)（A）为正数（B）为负数（C）恒为零（D）不是常数3 设 f(x)为(-，+) 上的连续奇函数，且单调增加，F(x)= 0x(2t-x)f(x-t)dt，则 F(x)是（A）单调增加的奇函数（B）单调增加的偶函数（C）单调减小的奇
2、函数（D）单调减小的偶函数二、填空题4 设 f(x)是连续函数，并满足f(x)sinxdx=cos 2x+C，又 F(x)是 f(x)的原函数，且满足F(0)=0，则 F(x)=_5 设 f(x)为连续函数，且满足 f(x)=x+01xf(x)dx，则 f(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 设两曲线 y= 在(x 0，y 0)处有公切线(如图 313)，求这两曲线与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 V.7 求圆弧 x2+y2=a2 绕 y 轴旋转一周所得球冠的面积8 有一椭圆形薄板，长半轴为 a，短半轴为 b，薄板垂直立于水中，而其短半轴与水面
3、相齐，求水对薄板的侧压力9 在 x 轴上有一线密度为常数 ，长度为 l 的细杆，在杆的延长线上离杆右端为 a处有一质量为 m 的质点 P，求证：质点与杆间的引力为 (M 为杆的质量)10 比较定积分 0 的大小11 证明下列不等式：12 设 f(x)在(a，b)上有定义，c (a，b)，又 f(x)在(a，b)c连续，c 为 f(x)的第一类间断点问 f(x)在(a，b)是否存在原函数?为什么 ?13 设 f(x)定义在(a，b)上，c (a，b)又设 H(x)， G(x)分别在(a，c，c ，b) 连续，且分别在(a，c)与(c ，b) 是 f(x)的原函数令其中选常数 C0，使得 F(x)
4、在 x=c 处连续就下列情形回答 F(x)是否是 f(x)在(a ，b)的原函数()f(x)在点 x=c 处连续；()点x=c 是 f(x)的第一类间断点；()点 x=c 是 f(x)的第二类间断点14 已知 在(-，+)存在原函数，求常数A 以及 f(x)的原函数15 计算下列不定积分：16 计算下列定积分：17 求下列积分： () 设 f(x)=1xe-y2dy，求 01x2f(x)dx； ()设函数 f(x)在0，1连续且 01f(x)dx=A，求 01dxx1f(x)f(y)dy18 设函数 f(x)在(-，+)内满足 f(x)=f(x-)+sinx，且 f(x)=x，x 0，)，求
5、3f(x)dx19 计算下列反常积分：() 1+ () 1+ ()0+ () 0a20 假定所涉及的反常积分(广义积分)收敛，证明： -+ =-+f(x)dx (*)21 设 f(x)在a，b上有二阶连续导数，求证： abf(x)dx= (b-a)f(a)+f(b)+ abf(x)(x-a)(x-b)dx22 设 f(x)与 g(x)在a，b 上连续，且同为单调不减(或同为单调不增)函数，证明： (b-a)abf(x)g(x)dxabf(x)dxabg(x)dx (*)23 设 f(x)在a，b有二阶连续导数，M= f(x)，证明：24 设 f(x)在a，b有连续的导数，求证： abf(x)d
6、x+ abf(x)dx25 设 f(x)=0xetx-t2dt，求 f(x)26 设 f(x)与 g(x)在 x=0 的某邻域内连续，f(0)=g(0)0，求27 设 f(x)在a，b可积，求证：(x)= x0xf(u)du 在a，b上连续，其中 x0a，b考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 sin(sinx)， cos(cosx)均在 上连续，由又 即 N1因此选(A)【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用2 【正确答案】 B【试题解析】 由于被积函数连续且以
7、为周期(2 也是周期)，故 F(x)=F(0)=02f(t)dt=20f(t)dt，即 F(x)为常数 .由于被积函数是变号的，为确定积分值的符号，可通过分部积分转化为被积函数定号的情形，即 2 0f(t)dt=0esin2t(1+sin2t)d(sin2t)=02-sin22tesin2t(2+sin2t)dt0， 故应选(B)【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用3 【正确答案】 C【试题解析】 对被积函数作变量替换 u=x-t，就有 F(x)= 0x(2t-x)f(x-t)dt=0x(x-2u)f(u)du=x0xf(u)du-20xuf(u)du 由于 f(x)为奇函数，故 0xf
8、(u)du 为偶函数，于是x0xf(u)du 为奇函数，又因 uf(u)为偶函数，从而 0xuf(u)du 为奇函数，所以 F(x)为奇函数又 F(x)= 0xf(u)du+xf(x)-2xf(x)=0xf(u)du-xf(x)， 由积分中值定理知在 0 与x 之间存在 使得 0xf(u)du=xf()从而 F(x)=xf()-f(x)，无论 x0，还是 x0，由 f(x)单调增加，都有 F(x)0，从而应选(C) 其实，由 F(x)=0xf(u)du-xf(x)=0xf(u)-f(x)du 及 f(x)单调增加也可得 F(x)0【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用二、填空题4 【正确答
9、案】 -2sinx【试题解析】 由题设及原函数存在定理可知，F(x)= 0xf(t)dt为求 f(x)，将题设等式求导得 f(x)sinx=f(x)sindx=(cos 2x+C)=-2sincosx， 从而 f(x)=-2cosx，于是 F(x)=0xf(t)dt=0x-2costdt=-2sinx【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用5 【正确答案】 x+【试题解析】 定积分是积分和的极限，当被积函数和积分区间确定后，它就是一个确定的数从而由题设知可令 01xf(x)dx=A，只要求得常数 A 就可得到函数 f(x)的表达式为此将题设等式两边同乘 x 并从 0 到 1 求定积分，就有A
10、=01xdx+01Axdx 故 f(x)=x+ .【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 先求 a 值与切点坐标由两曲线在(x 0，y 0)处有公切线得解得 x0=e2，a=e -1所求的旋转体体积等于曲线 分别与 x 轴及直线 x=e2 所围成平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体体积之差【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用7 【正确答案】 如图 3.15，由对称性只需考虑 y 轴右方部分的圆弧.将它表示为直接由旋转面的面积计算公式得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用8 【正确答案】 取坐标系如图 317 所示，
11、椭圆方程为 分割区间0，a，在小区间x，x+dx对应的小横条薄板上，水对它的压力 dP=压强 面积=x.2ydxd= 其中 为水的比重于是从 0 到 a 积分便得到椭圆形薄板所受的压力【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用9 【正确答案】 如图 321 建立坐标系，取杆的右端为原点，x 轴正向指向质点P 任取杆的一段x，x+dx ，它对质点 P 的引力为 因此，杆与质点 P 间的引力大小为其中 M 是杆的质量【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用10 【正确答案】 当两个定积分的积分区间相同且被积函数连续时，只需比较被积函数的大小就可比较定积分的大小这里被积函数连续，但积分区间不同，应
12、先通过变量替换转化为积分区间相同的情形之后再比较被积函数的大小【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用11 【正确答案】 () 设 f(x)= ，则 f(x)在区间0，1上连续，且可见函数 f(x)在点 x= 处取得它在区间0 ，1 上的最小值 ，又因 f(0)=f(1)=1，故 f(x)在区间0， 1上的最大值是 f(0)=f(1)=1，从而注意于是有 ()注意 0x 时，0xtanx1，则【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用12 【正确答案】 设 F(x)是 f(x)在(a ，b)的原函数考察于是 F+(c)= f(x)，F -(c)= f(x)由于 x=c 是 f(x)的第一类间
13、断点，故 f(x)存在，但不相等，即 F+(c)F-(c)或 即 F(c)f(c)这都与F(x)是 f(x)在(a，b)的原函数相矛盾因此 f(x)在(a，b)不存在原函数【试题解析】 f(x)在(a， c)与(c，b)上连续，分别存在原函数，于是关键是看 x=c处的情况【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用13 【正确答案】 ()因此，F(x)是 f(x)在(a ，b)的原函数()F(x)不是 f(x)在(a，b)的原函数，因为在这种情形下f(x)在(a，b)不存在原函数.()若 x=c 是 f(x)的无穷型第二类间断点，则 f(x)在(a， b)也不存在原函数(若存在原函数 F(x)，
14、则(c)不存在，与已知矛盾)【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用14 【正确答案】 易求得仅当 A=0 时 f(x)在 x=0 连续于是 f(x)在(- ，+)连续，从而存在原函数当 A0时 x=0 是 f(x)的第一类间断点，从而 f(x)在(-，+)不存在原函数因此求得A=0下求 f(x)的原函数被积函数是分段定义的连续函数，它存在原函数，也是分段定义的由于原函数必是连续的，我们先分段求出原函数，然后把它们连续地粘合在一起，就构成一个整体的原函数当 x0 时，当 x0 时，取C1=0，随之取 C2=1，于是当 x0 -与 x0 +时f(x)dx 的极限同为 1，这样就得到 f(x)的
15、一个原函数 因此f(x)dx=F(x)+C，其中 C 为任意常数【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用15 【正确答案】 () 采用凑微分法，并将被积函数变形，则有()如果令 计算将较为复杂，而将分子有理化则较简便于是对于右端第一个积分，使用凑微分法，即可得到 而第二个积分可使用代换x=sint，则()配方法()对此三角有理式，如果分子是 asinx+bcosx 与(asinx+bcosx)=cos-bsinx 的线性组合，就很容易求其原函数，故设 a 1sinx+b1cosx=A(asinx+bcosx)+B(acosx-bsinx)为此应有()记原式为 J，先分项： 易凑微分得 J2=
16、arcsinxdarcsinx= arcsin2x+C下求 J1作变量替换变量还原得()记原积分为 J作变量替换，则再分部积分得变量还原得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用16 【正确答案】 () 这是一个含根式的积分，首先应该通过变量替换去掉根式令 ex=sint，则 x=lnsint，dx= ，于是()万能代换令()由于 ，故被积函数为分段函数，其分界点为 .于是()作幂函数替换后再分部积分，则有【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用17 【正确答案】 () 01x2f(x)dx= 01f(x)dx3= x3f(x) 01- 01x3df(x)= 01x3e-x2dx= 01x
17、2de-x2= x2e-x2 1- 01e-x2dx2= e-1+ e-x2 01= ()令 (c)=x1f(y)dy，则 (x)=-f(x)，于是 01dxx1f(x)f(y)dy=01x1f(y)dyf(x)dx=-01(x)d(x)=2(x) 01= A2【试题解析】 该例中的两个小题均是求形如 abf(x)axg(y)dydx 的积分，它可看作区域 D=(x， y)axb，ayx 上一个二重积分的累次积分，有时通过交换积分次序而求得它的值作为定积分，若 f(x)的原函数易求得 F(x)=f(x)，则可由分部积分法得 abf(x)abg(y)dydx=ababg(y)dydF(x)=F(
18、x)abg(y)dy ab-abF(x)g(x)dx 若右端易求，则可求得左端的值【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用18 【正确答案】 3f(x)dx=3f(x-)+sinxdx=3f(x-)dx =02f(t)dt=0f(t)dt+02f(t)dt=0tdt+2f(t-)+sintdt= -2+2f(t-)dt -2+0f(u)du=2-2【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用19 【正确答案】 () 这是一个无穷区间上的反常积分，可以通过求原函数的方法计算 1+ =1+ =e-21+ =e-2arctanex-1 1+=e-2e-2()这是一个有理函数在无穷区间上的反常积分，可
19、以通过求原函数的方法计算因为 ，且 x1，于是有原函数 F(x)=lnx- ln(x2+1)= 从而()()这是一个无界函数的反常积分，其瑕点为 a，由于被积函数中含有根式，应通过变量替换将根式去掉注意被积函数可改写为，即 x= (1+sint)，代入即得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用20 【正确答案】 令 t=x- ，则当 x+ 时，t+，x0+时，t-；x0-时，t+；x-时，t-，故应以 0 为分界点将(*) 式左端分成两部分，即而且将 x 与 t 的关系反解出来，即得 同时，当 x0 时，因此=-+f(t)dt=-+f(x)dx，即(*)式成立【知识模块】 一元函数积分概念
20、、计算及应用21 【正确答案】 连续利用分部积分有 abf(x)dx=abf(x)d(x-b)=f(a)(b-a)-abf(x)(x-b)d(x-a) =f(a)(b-a)+ab(x-a)df(x)(x-b) =f(a)(b-a)+ab(x-a)df(x)+abf(x)(x-a)(x-b)dx =f(a)(b-a)+f(b)(b-a)-f(x)dx+abf(x)(x-a)(x-b)dx，移项后得 abf(x)dx= (b-a)f(a)+f(b)+abf(x)(x-a)(x-b)dx【试题解析】 很自然的想法是用分部积分法，但要注意“小技巧”： abf(x)dx=abf(x)d(x-b)，或 a
21、bf(x)dx=abf(x)f(x-a) 这样改写后分部积分的首项简单这一点考生应熟练掌握【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用22 【正确答案】 引进辅助函数 F(x)=(x-a) axf(t)dt-axf(t)dtaxg(t)dt 转化为证明 F(x)0(xa，b) 由 F(a)=0， F(x)= axf(t)g(t)dt+(x-a)f(x)g(x)-f(x)axg(t)dt-g(x)axf(t)dt =axf(t)g(t)-g(x)dt-axf(x)g(t)-g(x)dt =axf(t)-f(x)g(x)-g(x)dt0(xa，b)其中(x-a)f(x)g(x)=fax(x)g(x)
22、dt，我们可得 F(x)在a，b单调不减 F(x)F(a)=0(xa，b)，特别有 F(b)0 即原式成立【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用23 【正确答案】 分部积分两次得于是【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用24 【正确答案】 可设 f(x)= f(x 0)，即证 (b-a)f(x 0) abf(x)dx+(b-a) abf(x)dx，即证 abf(x0)dx- abf(x)dx(b-a) abf(x)dx注意 abf(x0)dx- abf(x)dx abf(x0)-f(x)-dx = abxx0f(t)dtdx abab f(t)dtdx=(b-a) abf(x)dx故得
23、证【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用26 【正确答案】 本题是球 型未定式的极限，需用洛必达法则，但分子分母都需先作变量替换，使被积函数中的 与 g(xt)不含 x 才可以求导令G(x)=01x2g(xt)dt=x01g(xt)d(xt)x0xg(u)du，原式由积分中值定理，在 0 与 x 之间存在 ，使 0xg(u)du=xg()，于是有【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用27 【正确答案】 ，x+ xa，b ，考察 (x+ x)-(x)=x0x+xf(u)du-x0xf(u)du=xx+xf(u)du，由 f(x)在a，b 可积 f(x)在a，b有界即f(x)M(xa，b)，则 (x+x)-(x) xx+xf(u) duMx因此， ，x+ xa，b，有 (x+x)-(x)=0，即 (x)在a ，b上连续【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用
