1、考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 14 及答案与解析一、填空题1 =_.2 =_.3 ex+excosx(cosx-sinx)dx=_.4 设 f(x)连续，f(x)0，则 =_.5 -11 =_6 04 =_7 =_8 01xarcsinxdx=_9 =_10 02sinnxcosmxdx(自然数 n 或 m 为奇数)=_11 0aarctan (a0)=_12 设 y=f(x)满足 x+o(x)，且 f(0)=0，则 01f(x)dx=_13 设 f(x)在a，b上连续可导，f(a)=f(b)=0，且 abf2(x)dx=1，则 abxf(x)f(x)dx=_14 设 f
2、(x)具有连续导数，且 F(x)=0x(x2-t2)f(t)dt，若当 x0 时 F(x)与 x2 为等价无穷小，则 f(0)=_15 已知 f(x)=1x2e-t2dt，则 01xf(x)dx=_16 0+x7e-x2dx=_17 0+ =_18 1+ =_.19 曲线 x=a(cost+tsint)， y=a(sint-tcost)(0t2)的长度 L=_20 曲线 y2=2x 在任意点处的曲率为_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 已知 是 f(x)的一个原函数，求 3xf(x)dx22 求23 求24 求25 求26 求 0127 求考研数学二（一元函数积分概念、计
3、算及应用）模拟试卷 14 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用2 【正确答案】 xlnlnx+C【试题解析】 原式=(lnlnx+x. )dx=lnlnxdx+xd(lnlnx)=d(xlnlnx)=xlnlnx+C【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用3 【正确答案】 e excosx+C【试题解析】 e x+excosx(cosx-sinx)dx=eexcosx(cosx-sinx)dex=eexcosxd(excosx) =d(eexcosx)=eexcosx+C【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用4 【正确答案】 【试
4、题解析】 原式= ，而于是【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用5 【正确答案】 2【试题解析】 原式= -11x2+ +(1-x2)dx=-11dx+2-11 =2【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用6 【正确答案】 2e 2+2【试题解析】 原式 02et2tdt=202tdet 4e2-202etdt=4e2-2e2+2=2e2+2【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用8 【正确答案】 【试题解析】 其中 01单位圆的面积即 .【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用9 【正确答案】 (xn-ln
5、1+xn)+C【试题解析】 原式= (xn-ln1+x n)+C【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用10 【正确答案】 0【试题解析】 由周期函数的积分性质得 In,m 02sinnxcosmxdx=-xinnxcosmxdx.当 n 为奇数时，由于被积函数为奇函数，故 In,m=0当 m 为奇数(设m=2k+1，k=0，1，2，)时 In,m=-sinnx(1-sin2x)kdsinx=R(sinx) -=0，其中R(u)为 u 的某个多项式(不含常数项)因此 In,m=0【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用11 【正确答案】 【试题解析】 利用分部积分法原式【知识模块】 一元函
6、数积分概念、计算及应用12 【正确答案】 【试题解析】 由题设可知 ，从而由 f(0)=0 可得 C=0于是f(x)= 由定积分几何意义得 01f(x)dx=01.【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用13 【正确答案】 【试题解析】 因 =f(x)f(x)，所以 abxf(x)f(x)dx=abxdabf2(x)dx= .【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用14 【正确答案】 【试题解析】 由于 F(x)=0x(x2-t2)f(t)dt=x20xf(t)dt-0xt2f(t)dt，所以 F(x)=2x0xf(t)dt+x2f(x)-x2f(x)=2x0xf(t)dt又依题设，当 x
7、0 时 F(x)与 x2 为等价无穷小，从而【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用15 【正确答案】 (e-1-1)【试题解析】 用分部积分法由于 f(x)=e-x4(x2)=2xe-x4，故 01xf(x)dx= 01f(x)dx2=x2f(x) 01- 01x2f(x)dx 01x2.2xe-x4dx= e-x4 01= (e-1-1)【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用16 【正确答案】 3【试题解析】 令 x2=t，则原式= 0+t3e-tdt令 t 3e-tdt=e-t(at3+bt2+dt+e)+C，两边求导得 t3e-t=e-t-at3+(3a-b)t2+(2b-d)t
8、+d-e，比较两边 t 的同次幂项的系数得 a=-1，b=-3，d=-6，e=-6 于是原式= =3【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用18 【正确答案】 【试题解析】 因(xe x)=ex(x+1)，令 xex=t，则 dt=ex(x+1)dx，于是【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用19 【正确答案】 2 2a【试题解析】 曲线由参数方程表示出，直接代入弧长公式得=a02tdt=a. t2 02=22a【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用20 【正确答案】 【试题解析】 用曲率计算公式 K= 由【
9、知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 按题意： x3f(x)dx x3df(x)=x3f(x)-3x2f(x)dx=x2cosx-xsinx-3(xcosx-sinx)dx=x2cosx-xsinx-3xdsinx-3cosx=x2cosx-xsinx-(3xsinx+3cosx)-3cosx+C=x2cosx-4xsinx-6cosx+C【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用22 【正确答案】 注意分解 1+x6=1+(x2)3=(1+x2)(1-x2+x4)原式【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用23 【正确答案】 作恒等变形，然后凑微分即得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用24 【正确答案】 作变量替换 ，则【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用25 【正确答案】 令 x=asint ，则原式【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用26 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用27 【正确答案】 利用定积分的分段积分法与推广的牛顿-莱布尼兹公式得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用
