1、考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f()为连续函数， It f(t)d，其中 t0，s 0，则 I 的值（A）依赖于 s 和 t（B）依赖于 s，t，（C）依赖于 t，不依赖于 s（D）依赖于 s，不依赖于 t2 下列函数中在1，2 上定积分不存在的是（A）（B）（C）（D）3 下列函数中在2，3 不存在原函数的是（A）（B） f()max ，1（C）（D）二、填空题4 _5 _6 _7 (cossin)d_8 设 f ()连续， f()0，则 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
2、步骤。9 已知 是 f()的一个原函数，求f()d10 求 11 求 12 求 13 求 14 求 15 求 16 求 0e-1( 1)ln2(1)d17 求定积分：()J -22min2， 2d；()J -1(1t )dt ，118 设 n 为正整数，利用已知公式，I n，其中 I* 求下列积分：()J n sinncosnd；()J n -11(22) nd19 求无穷积分J20 设 f() 求 f()的不定积分f()d21 设 f()arcsin(1) 2，f(0) 0，求 01f()d22 设 a0， f()在(， )上有连续导数，求极限 -aaf(ta)f(t a)dt23 求 ()
3、tf(t)dt，其中 f(t)为已知的连续函数，()为已知的可微函数24 设 f()在( ，)连续，在点 0 处可导，且 f(0)0，令()试求 A 的值，使 F()在(，) 上连续；()求 F()并讨论其连续性25 设 0， a时 f()连续且 f()0(0，a)，又满足 f() ，求f()26 求函数 f() 在区间e，e 2上的最大值27 求星形线 L： (a0)所围区域的面积 A28 求下列旋转体的体积 V： ()由曲线 y 2，yy *所围图形绕 轴旋转所成旋转体； ( )由曲线 a(tsint)，ya(1cost)(0t2)，y0 所围图形绕 y 轴旋转的旋转体考研数学二（一元函数
4、积分概念、计算及应用）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用2 【正确答案】 D【试题解析】 显然，选项 A、B、C 中的 f()在1，2均有界，至多有一个或两个间断点，因而 f()在 1，2均可积，即 -12f()d因此选 D【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用3 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用
5、6 【正确答案】 lnlnC【试题解析】 原式(lnln. )lnlndd(lnln)d(lnln)lnln C【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 按题意：f() 3f()d 3df() 3f()3 2f()d 2cos sin3(cossin)d 2cossin3dsin 3cos 2cossin(3sin3cos)3cos C 2cos4sin6cosC【知识模块】 一元
6、函数积分概念、计算及应用10 【正确答案】 分解 1 61( 2)3(1 2)(1 2 5) 原式arctanarctan3C 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用11 【正确答案】 先作恒等变形，然后凑微分即得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用12 【正确答案】 记 sgn 则【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用13 【正确答案】 令 asint(t )，则【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用14 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用15 【正确答案】 利用定积分的分段积分法与推广的牛顿莱布尼兹公式得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用16
7、 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用17 【正确答案】 ()min2， 2 于是()当10 时，J -1(1t)dt 当 0 时，J -10(1t)dt 0(1t)dt 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用20 【正确答案】 求原函数 () 0f(t)dt 当 0 时，() 0f(t)dt 0sin2tdt当 0 时，() 0f(t)dt 0ln(2t1)dttln(2t 1)dttln(2t1) 0 0 ln(2 1) ln(21) 因此f(
8、)d()C【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用23 【正确答案】 () 0()f(t)dt()f()() ()f() () 0()f(t)dt【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用24 【正确答案】 () 由变上限积分性质知 F()在 0 时连续为使其在 0 处连续，只要 ()A而故令 A0 即可。 ()当 0 时 F() 在 0 处，由导数定义和洛必达法则可得故 F()在(，)上连续【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用25 【正确答案】 因 f() 由
9、f()连续及 2 可导知 f2()可导，又 f()0，从而 f()可导，且f 2()2f()f()，故将上式两边对 求导，得 2f()f()f().2 f() 在(*)式中令 0 可得f(0)0 于是(*) 式 两边积分( 0)得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用26 【正确答案】 由 f() 0， e，e 2， 可知 f()在e， e2上单调增加，故【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用27 【正确答案】 图形关于 ，y 轴均对称，第一象限部分：0a，0y，【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用28 【正确答案】 () 如图 32，交点(0，0) ，(1， 1)，则所求体积为()如图 33，所求体积为 V2 02ayd2 02a(1cost )a(1 cost)a(t sint)a(1cost)dt 2a 302(1cost)2(tsint)dt 2a 302(1cost) 2tdt2a 3 (1cost) 2sintdt 2a 302(1cost) ttdt 2a3 1cos(u) 2(u)du 2a (1cosu)2udu2 2a3 (1cosu) 2du 4 2a30(1cosu) 2du4 2a30(12cosucos 2u)du4 2a3( )6 3a3【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用
