1、考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 M= sin(sinx)dx，N= cos(cosx)dx，则有（A）M1N（B） MN1（C） NM 1（D）1MN2 下列函数中在2，3 不存在原函数的是（A）（B） f(x)=maxIx，1 （C）（D）f(x)= 0xg(t)dt，g(x)=二、填空题3 =_4 11(x+ )2dx=_5 02sinnxcosmxdx(自然数 n 或 m 为奇数)=_6 已知 f(x)= ，则 01xf(x)dx=_7 曲线 y2=2x 在任意点处的曲率为_三、解答
2、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 以下计算是否正确? 为什么 ?9 计算定积分 I= (a0，b0)10 求下列积分：11 求下列不定积分：12 求下列平面曲线的弧长： ()曲线 9y2=x(x3) 2 (y0)位于 x=0 到 x=3 之间的一段； ( )曲线 =1(a0，b0，ab)13 求圆弧 x2+y2=a2( ya)绕 y 轴旋转一周所得球冠的面积14 设 f(x)定义在(a，b)上，c (a，b)，又设 H(x)， G(x)分别在(a，c，c ，b) 连续，且分别在(a，c)与(c ，b) 是 f(x)的原函数令 其中选常数 C0，使得 F(x)在 x=c 处连续就下列
3、情形回答 F(x)是否是 f(x)在(a，b)的原函数 ()f(x) 在点 x=c 处连续； () 点 x=c 是 f(x)的第一类间断点； ()点 x=c是 f(x)的第二类间断点15 设函数 f(x)在(，+)内满足 f(x)=f(x)+sinx，且 f(x)=x，x0，)，求3f(x)dx16 设 f(x)在a，b有二阶连续导数，M= f“(x)，证明：17 设 f(x)在a，b可积，求证：(x)= 在 a，b上连续，其中 x0a，b18 已知一条抛物线通过 x 轴上两点 A(1，0)，B(3 ，0)，求证：两坐标轴与该抛物线所围成的面积等于 x 轴与该抛物线所围成的面积19 设有一半径
4、为 R 长度为 l 的圆柱体，平放在深度为 2R 的水池中(圆柱体的侧面与水面相切)设圆柱体的比重为 (1)，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功?20 设有半径为 a，面密度为 的均匀圆板，质量为 m 的质点位于通过圆板中心 O且垂直于圆板的直线上， =b，求圆板对质点的引力21 求22 设 n 为正整数，利用已知公式 In= ，其中求下列积分：(）J n= sinnxcosnxdx；()= 1 1(x21) ndx23 求 (x)tf(t)dt，其中 f(t)为已知的连续函数，(x) 为已知的可微函数24 求下列旋转体的体积 V： ()由曲线 y=x2，x=y 2 所围图形绕 x 轴旋转
5、所成旋转体； ( )由曲线 x=a(tsint)，y=a(1cost)(0t2)，y=0 所围图形绕 y 轴旋转的旋转体25 设 f(x)为非负连续函数，且满足 f(x)0xf(xt)dt=sin 4x，求 f(x)在 上的平均值26 证明：考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 sin(sinx)， cos(cosx)均在 上连续，由 sinxx=sin(sinx)，即 N1因此选 A【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用2 【正确答案】 C【试题解析】 先考察 F(
6、x)的连续性关于 A：f(x)在2，3连续，存在原函数 B 中 f(x)如图 31 所示，显然处处连续，在2，3存在原函数显然，D 中 g(x)在2，3可积，f(x)= 0xg(t)dt 在2，3连续=f(x)在2，3 存在原函数选 C【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用4 【正确答案】 2【试题解析】 原式=【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用5 【正确答案】 0【试题解析】 由周期函数的积分性质得 In，m 02sinnxcosmxdx= sinnxcosmxdx 当 n 为奇数时，由于被积函数
7、为奇函数，故 In，m =0 当 m 为奇数(设 m=2k+1，k=0，1，2，)时 In，m = sinnx(1sin 2x)kdsinx=R(sinx) =0，其中 R(u)为 u 的某个多项式(不含常数项) 因此，I n，m =0【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用6 【正确答案】 (e1 1)【试题解析】 用分部积分法由于 f(x)= ，故【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用7 【正确答案】 【试题解析】 用曲率计算公式 K=【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 利用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分 abf
8、(x)dx 必须满足两个条件：其一是 f(x)在a，b上连续，另一个是 F(x)是 f(x)在a，b上的一个原函数由此可见，本题的题目中所给出的计算是错误的原因在于 在 x=0 不连续，且x=0 不是 的可去间断点，从而 在区间1，1上的一个原函数，故不能直接在1，1上应用牛顿一莱布尼兹公式这时正确的做法是把1，1 分为1，0 与0，1两个小区间，然后用分段积分法进行如下计算：【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用9 【正确答案】 在区间0，上按如下方式用牛顿-莱布尼兹公式是错误的即因而不能在0，上对积分，应用牛顿-莱布尼兹公式但可按如下方法计算：【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用
9、10 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用11 【正确答案】 作恒等变形后凑微分【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用12 【正确答案】 () 先求 y与 ：将 9y2=x(x3) 2 两边对 x 求导得6yy=(x3)(x1)，即 因此该段曲线的弧长为()先写出曲线的参数方程 t0，2，再求于是代公式并由对称性得，该曲线的弧长为【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用13 【正确答案】 将它表示为 直接由旋转面的面积计算公式得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用14 【正确答案】 ()F(c)= 因此，F(x)是 f(x)在(a，b)的原函数()F(x)不是
10、f(x)在(a，b)的原函数，因为在这种情形下 f(x)在(a，b)不存在原函数 ()若 x=c 是 f(x)的无穷型第二类间断点，则f(x)在(a，b)也不存在原函数(若存在原函数 F(x)，则=F(c)不存在，与已知矛盾) 当 x=c 是非无穷型的第二类间断点的情形下结论与 f(x)的表达式有关，需要对问题作具体分析【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用15 【正确答案】 3f(x)dx=3f(x)+sinxdx= 3f(x)dx 02f(t)dt=0f(t)dt+2f(t)dt=0tdt+2f(t)+sintdt=【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用16 【正确答案】 分部积分
11、两次得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用17 【正确答案】 x，x+ xa，b ，考察 (x+x)(x)=由 f(x)在a ，b可积=f(x)在a，b有界即f(x)M(x a，b)，则 (x+ x)(x) xx+xf(u)dux因此， x，x+ xa，b ，有 (x+x)(x)=0 ，即 (x)在a，b上连续【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用18 【正确答案】 1)写出抛物线方程 y=a(x1)(x3)(a0 或 a0 为常数)，如图327 所示 2)求两坐标轴与抛物线所围面积 S1，即3)求 x 轴与该抛物线所围面积S2，即 4)因此，S 1=S2【知识模块】 一元函数积分概
12、念、计算及应用19 【正确答案】 任取小区间x，x+dx R，R相应的柱体薄片，其体积为 2yldx= 移至水面时薄片移动的距离为 Rx，所受的力(重力与浮力之差)为(1)2l dx，因而移至水面时做的功为 (1)2l(Rx) dx整个移出水面时，此薄片离水面距离为 R+x，将薄片从水面移到此距离时所做的功为(R+x)2l dx，于是对薄片做的功为【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用20 【正确答案】 用微元法，作分割转化为圆环对质点的引力，然后再积分由对称性，引力沿 OP 方向 如图 337，任取r，r+dr对应的圆环，它的面积dS=2rdr，质量 dM=dS=2rdr，对质点 P 的
13、引力 dF= ，因此，整个圆板对 P 的引力为【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用21 【正确答案】 令 x=asint(t )，则【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用24 【正确答案】 () 如图 32，交点(0，0) ，(1， 1)，则所求体积为 V=01( )2(x 2)dx=01(xx 4)dx= ()如图 33，所求体积为 y=202ayxdx=202a(1cost)a(tsint)a(1cost)dt=2a 302(1cost)2(tsint)dt
14、=2a 302(1cost) 2tdt2a 3 (1cost) 2sintdt=2a302(1cost) 2tdt2a3 1 一 cos(u+)2(u+)du=2a3 (1+cosu)2udu+22a3 (1+cosu)2du=42a30(1+cosu)2du=42a30(1+2cosu+cos2u)du=42a3(+ )=63a3【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用25 【正确答案】 令 xt=u，则 0xf(xt)dt= 0xf(u)du于是 f(x)0xf(u)du=sin4x，d 0xf(u)du2=2sin4xdx【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用26 【正确答案】 ()()()由题()与题() 得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用
