1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 x0 时，有 ax2+bx2+cx ，则( )2 设 f(x)= sint2dt，g(x)=x 3+x4，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小3 设 f(x)= ，则当 x0 时，f(x) 是g(x)的( ) （A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价的无穷小4 设a n与b n为两个数列，下列说法正确的是( )（A）若a n与b n都发散，则a nbn一定发散（B
2、）若 an与b n都无界，则a nbn一定无界（C）若 an无界且（D）若 an 为无穷大，且 ，则 bn 一定是无穷小二、填空题5 =_6 =_7 =_8 =_9 当 x0 时，x-sinxcos2xcx k，则 c=_，k=_10 设 ，则 a=_11 =_12 =_13 ，则 a=_14 =_15 =_16 设 f(x)连续，f(0)=0 ，f(0)=1，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 确定常数 a，b，c ，使得18 19 求20 求21 设 f(x)可导且 f(0)=6，且22 设23 求24 求25 求26 求极限27 设 f(x)连续，f(0)=0
3、 ，f(0)0，F(x)= tf(t2-x2)dt，且当 x0 时，F(x) x n，求 n及 f(0)28 设 f(x)在1，+)内可导，f(x)0 且证明：a n收敛且29 设 a0， x10，且定义 存在并求其值30 设 a1=1，当 n1 时， ，证明：数列a n收敛并求其极限30 设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=0，f(1)=1 证明：31 存在 c(0，1) ，使得 f(c)=1-2c；32 存在 0，2，使得 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()33 设 =A，证明：数列 an有界34 设 f(x)在0，1上有定义，且 exf(x)与 e-f(x)在0，1上单调增
4、加证明：f(x)在0，1上连续35 设 f(x)在a，+)上连续， f(a)0，而 存在且大于零证明：f(x)在(a， -)内至少有一个零点36 设 f(x)= ，求 f(x)的间断点并判断其类型考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为当 x0 时，ax 3+bx2+cx得a=0，b=2，选(D) 【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，所以正确答案为(B)【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 A【试题解析】 由，故 x0 时，f(x)是
5、 g(x)的低阶无穷小，应选 (A)【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 an=2+(-1)n，b n=2-(-1)n，显然a n与b n都发散，但anbn=3，显然a nbn收敛；(B)、(C) 都不对，如 an=n1+(-1)n，b n=n1-(-1)n，显然an与b n都无界，但 anbn=0，显然a nbn有界且 0；正确答案为(D)【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题5 【正确答案】 1【试题解析】 因为【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 【试题解析】 由【知识模
6、块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 【试题解析】 因为当 X0 时，【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 ,3【试题解析】 因为 x0 时，sinx=【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 2【试题解析】 由 ea=aea-ea得 a=2【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 【试题解析】 因为 x0 时， ln 2(1+x)x 2，【知识模块】 函数、极限、连续1
7、5 【正确答案】 【试题解析】 由【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 0【试题解析】 当 x0 时，【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 方法一由得 b=-1：【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 方法一方法二【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 由 =0 得 f(0)=0，f(0)=0，【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 由【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 【知识模
8、块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 F(x)【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 因为 f(x)0，所以 f(x)单调减少又因为 an+1-an=f(n+1)- f(x)dx=f(n+1)-f()0(n，n+1)，所以a n单调减少因为 an=f(k)-f(x)dx0(k=1，2，n-1)且=a0，所以存在 X0，当 xX 时，f(x)0由 f(x)单调递减得 f(x)0(x1，+) ，故 anr(n)0，所以 存在由 an=而
9、 f(k)-【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 令 f(x)= 0(x0) ，所以数列a n单调又因为 a1=1，0a n+11，所以数列a n有界，从而数列a n收敛，令 =A，则有 A=【知识模块】 函数、极限、连续【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 令 (x)=f(x)-1+2x，(0)=-1，(1)=2，因为 (0)(1)0，所以存在 c(0，1)，使得 (c)=0，于是 f(c)=1-2c【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 因为 f(x)C0，2，所
10、以 f(x)在0，2上取到最小值 m 和最大值M，由 6m2f(0)+f(1)+3f(2)6M 得 m M，由介值定理，存在 0，2，使得 =f()，于是 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()【知识模块】 函数、极限、连续33 【正确答案】 取 e0=1，因为 =A，根据极限定义，存在 N0，当 nN 时，有 a n-A1，所以a nA+1 取M=max(a 1，a 2，a N，A+1 ， 则对一切的 n，有a nM 【知识模块】 函数、极限、连续34 【正确答案】 对任意的 x00，1 ，因为 exf(x)与 e-f(x)在0 ，1上单调增加，所以当 xx 0 时，有 f(x0)，令，
11、由夹逼定理得 f(x0-0)=f(x0)；当 xx 0 时，有f(x0)f(x)f(x0)，令 ，由夹逼定理得 f(x0+0)=f(x0)，故 f(x0-0)=(x0+0)=f(x0)，即 f(x)在 x=x0 处连续，由 x0 的任意性得 f(x)在0，1上连续【知识模块】 函数、极限、连续35 【正确答案】 令 ，所以存在 X00，当 xX0 时，有f(x)-k 0，特别地，f(X0)0，因为 f(x)在a， X0上连续，且 f(a)f(X0)0，所以存在 (a，X 0)，使得f()=0【知识模块】 函数、极限、连续36 【正确答案】 f(x)的间断点为 x=k(k=0，1，)及 x=k+ (k=0，1，)因为 =1，所以 x=0 为 f(x)的可去间断点；因为=，所以 x=k(k=1，2，)为 f(x)的第二类间断点；因为(k=0，1，)为 f(x)的可去间断点【知识模块】 函数、极限、连续
