1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 25 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 x0 时，ax 2+bx+ccosx 是 x2 高阶的无穷小，其中 a，b，c 为常数，则( )（A）（B）（C）（D）2 设 x0 时，(1+sinx) x 一 1 是比 xtanxn 低阶的无穷小，而 xtanxn 是比(e sin2x 一 1)ln(1+x2)低阶的无穷小，则正整数 n 等于( )（A）1（B） 2（C） 3（D）43 设当 x0 时，(1 一 cosx)ln(1+x2)是比 xsinxn 高阶的无穷小，而 xsinxn 是比(e x2 一1)高
2、阶的无穷小，则正整数 n 等于( )（A）1（B） 2（C） 3（D）44 当 x0 时，e x 一(ax 2+bx+1)是比 x2 高阶的无穷小，则 ( )（A）（B） a=1，b=1。（C）（D）a= 一 1，b=1。5 当 x0 时 f(x)=x 一 sinax 与 g(x)=x2ln(1 一 bx)是等价无穷小，则( )（A）（B）（C）（D）6 已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinxsin3x 与 cxk 是等价无穷小，则( )（A）k=1，c=4。（B） k=1，c=一 4。（C） k=3，c=4。（D）k=3，c=一 4。7 设 xa 时 f(x)与 g(x)分别是 x 一
3、 a 的 n 阶与 m 阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是( ) f(x)g(x)是 x 一 a 的 n+m 阶无穷小； 若 nm，则 是 x 一 a 的nm 阶无穷小；若 nm，则 f(x)+g(x)是 xa 的 n 阶无穷小。（A）1（B） 2（C） 3（D）08 设 其中 a2+c20，则必有 ( )（A）b=4d（B） b=一 4d（C） a=4c（D）a= 一 4c9 设数列极限函数 则 f(x)的定义域，和 f(x)的连续区间J 分别是( )（A）I=( 一，+)，J=(一，+) 。（B） I=(一 1，+)，J=(一 1，1) (1，+)。（C） I=(一 1，+)，J=(一
4、1，+) 。（D）I=( 一 1，1) ，J=( 一 1，1)。10 设 f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，且 f(x)在 x0 间断，则在点 x0 处必定间断的函数是( )（A）f(x)sinx 。（B） f(x)+sinx。（C） f2(x)。（D）|f(x)|。11 设 f(x)和 (x)在(一，+)上有定义,f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则( )（A）f(x)必有间断点。（B） (x)2 必有间断点。（C） f(x)必有间断点。（D） 必有间断点。12 设 f(x)在 R 上连续，且 f(x)0，(x)在 R 上有定义，且有间断点，则下列结论中正确的个数是(
5、) f(x)必有间断点； (x) 2 必有间断点； (x)没有间断点。（A）0（B） 1（C） 2（D）313 设函数 内连续，且 则常数 a，b 满足( )（A）a0， b0。（B） a0，b0。（C） a0，b0。（D）a0 ，b0。14 设函数 则( )（A）x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点。（B） x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点。（C） x=0 是 f(x)的第一类间断点， x=1 是 f(x)的第二类间断点。（D）x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点。15 函数 的间断点及类型是( )（A）x=1 为第一类间断点， x=一
6、1 为第二类间断点。（B） x=1 均为第一类间断点。（C） x=1 为第二类间断点，x= 一 1 为第一类间断点。（D）x=1 均为第二类间断点。二、填空题16 =_.17 =_.18 设 1,2 m(m2)为正数，则 =_。19 设 则 a=_。20 数列 =_.21 表示不超过 x 的最大整数， =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 求极限23 求极限24 求极限25 求极限26 求极限27 求极限考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 25 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由题意得 得 c
7、=1，又因为所以 b=0, 故选 C。【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，而xtanxnx.x n=xn+1。因此 2n+14，则正整数 n=2，故选 B。【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 B【试题解析】 因当 x0 时，而由(1 一 cosx)ln(1+x2)是比 xsinxn 高阶的无穷小，知 4n+1，即 n3；由 xsinxn是比(e x 一 1)高阶的无穷小，知 n+12，即 n1。因此正整数 n=2，故选 B。【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 A【试题解析】 显然要使上式是比 x2 高阶的无穷小(x0 时)，只要
8、 故选 A。【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 A【试题解析】 本题可以利用排除法解答，由于 ln(1 一 bx)与一 bx 为等价无穷小，则所以 a3=一 6b，故排除 B，C。另外 是存在的，即满足 1 一acosax0(x0)，故 a=1，排除 D。所以本题选 A。【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 C【试题解析】 由麦克劳林展开式可得由此可得 k=3，c=4，故选 C。【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 B【试题解析】 此类问题按无穷小阶的定义要逐一分析：命题：即 sinx+(一 x)是 x 的三阶无穷小。因此，正确，但错误。故选 B。【知识模块】
9、函数、极限、连续8 【正确答案】 D【试题解析】 当 x0 时，由带佩亚诺型余项的泰勒公式可知，tanx，ln(12x)均为 x 的一阶无穷小；而 1 一 cosx，1 一 e-t2 均为 x 的二阶无穷小，因此有故有即 a=一 4c，故选 D。【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x)+sinx 在 x=x0 处连续，则 f(x)=f(x)+sinx一 sinx 在 x=x0 连续，与已知矛盾。因此 f(x)+sinx 在点 x0 处必间断。故选 B。【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确
10、答案】 D【试题解析】 取 则 f(x)，(x) 满足题设条件。由于 f(x)=1，(x) 2=1,f(x)=1 都是连续函数，放可排除A、B、C，应选 D。【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 A【试题解析】 错误。举例：设 则 f(x)=1 在 R上处处连续。错误。举例：设 则(x) 2=9 在 R 上处处连续。错误。举例：设 在 x=0处间断。因此选 A。【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 D【试题解析】 因 f(x)连续，所以 a+ebx0，因此只要 a0 即可。再由可知 x一时，a+e bx 必为无穷大(否则极限必不存在)，此时需 b0，故选 D。【知识模块
11、】 函数、极限、连续14 【正确答案】 D【试题解析】 显然函数 f(x)在 x=0，x=1 两个点处无定义，因此这两个点均为间断点。因为 ，所以 x=0 为第二类间断点；因为所以 x=1 为第一类间断点。故应选 D【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 B【试题解析】 分别就x=1，x1，x1 时求极限 ，得出f(x)的分段表达式： 在x=1 处，因所以，x=1 均为f(x)的第一类间断点，故选 B。【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题16 【正确答案】 e 6【试题解析】 将所给极限化为指数函数的形式，则有【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 【试题解析】 【知识
12、模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 maxa 1，a 2，a m【试题解析】 不妨设 a1 为最大值，则【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 【试题解析】 利用等价无穷小因子，当 n时【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 由麦克劳林展开式 及常见的等价无穷小代换，可得【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 由麦克劳林展开式得【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 由麦克劳林展开式【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 由洛必达法则可知，【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 由积分上限函数求导法则，且 所以x0 +时，有 ，故【知识模块】 函数、极限、连续
