1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 45 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 以下三个命题： 若数列 un|收敛于 A，则其任意子数列u ni必定收敛于 A； 若单调数列x n的某一子数列 xni收敛于 A，则该数列必定收敛于 A； 若数列x 2n与x 2n+1都收敛于 A，则数列x n必定收敛于 A 正确的个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）32 设 f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x) 一 v(x)，并设 与 都不存在，下列论断正确的是 ( )（A）若 不存在，则 必存在（B）若 不存在，则 必不存在（C）若 存在，则
2、必不存在（D）若 存在，则 必存在3 设数列x n和y n满足 则当 n时，y n必为无穷小的充分条件是 ( )（A）x n是无穷小（B） 是无穷小（C） xn有界（D）x n单调递减4 设 f(x)是偶函数，(x)是奇函数，则下列函数( 假设都有意义 )中，是奇函数的是 ( )（A）f(x)（B） ff(x)（C） f(x)（D）(x)5 设 f(x)=sin(cosx)，(x)=cos(sinx)，则在区间 内 ( )（A）f(x)是增函数，(x) 是减函数（B） f(x)，(x)都是减函数（C） f(x)是减函数， (x)是增函数（D）f(x)，(x)都是增函数二、填空题6 设 f(x)
3、是奇函数，且对一切 x 有 f(x+2)=f(x)+f(2)，又 f(1)=a，a 为常数，n 为整数，则 f(n)=_7 对充分大的一切 x，给出以下 5 个函数：100 x，log 10x100，e 10x，x 1010， 则其中最大的是 _8 9 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 求 fg(x)11 设 g(x)=ex，求 fg(x)12 求极限：13 求极限：14 求极限：15 求极限：16 求极限：17 求极限：18 求极限：19 求极限：20 求极限：21 求极限：22 求极限： 其中 a0.23 求极限：24 求极限：25 求极限：26 求极限：27 求
4、极限：28 求极限：考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 45 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对于命题，由数列收敛的定义可知，若数列 un收敛于 A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 nN 时，恒有 |u n 一 A|，则当 niN 时，恒有 |u ni 一 A| ，因此数列 uni也收敛于 A，可知命题正确 对于命题，不妨设数列x n为单调递增的，即 x 1x2x n，其中某一给定子数列x ni收敛于A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 ni N 时，恒有 |x ni 一 A| 由于数列x n为单调递增
5、的数列，对于任意的 nN，必定存在 ninni+1，有 一 xniAxn 一 Axni+1 一 A，从而 |x n 一 A|，可知数列x n收敛于 A 因此命题正确 对于命题，因 由极限的定义可知，对于任意给定的 0，必定存在自然数 N1，N 2，使得 当 2nN 1 时，恒有|x 2n 一 A| ； 当 2n+1N 2 时，恒有|x 2n+1 一 A| 取 N=maxN1，N 2，则当 nN 时，总有|xn 一 A|因此 可知命题正确 故答案选择 D【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 C【试题解析】 令 当 x0 时可排除(A)； 令当 x0 时可排除(B)； 令 当 x0时可排
6、除(D) ； 对于选项(C)，如 存在，则存在，矛盾，故此论断正确【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 B【试题解析】 若 是无穷小，则 故 B 正确 若取 y=1，则满足 且x n在 n时是无穷小、有界、单调递减的，但y n不是无穷小，排除 A，C，D 【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 D【试题解析】 令 g(x)=(x)，注意 (x)是奇函数，有g(一 x)=(一 x)=一 (x)=一 (x)=一 g(x)，因此 (x)为奇函数同理可得 f(x)，ff(x)， f(x)均为偶函数答案选(D)【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 B【试题解析】 在 内，si
7、nx 是增函数，cosx 是减函数 任取且 x1x 2，有 cosx1cosx 2，所以 sin(cosx1)sin(cosx 2)，即 f(x)是减函数；由于 sinx1sinx 2，所以 cos(sinx1)cos(sinx 2)，即 (x)是减函数【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题6 【正确答案】 na【试题解析】 令 x=一 1，则 f(1)=f(一 1)+f(2)，因 f(x)是奇函数，得到 f(2)=f(1)一f(一 1)=2f(1)=2a再令 x=1，则 f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a 现用数学归纳法证明 f(n)=na当 n=1，2，3 时，已知或者已证假
8、设 n=k 时，有 f(k)=ka当 n=k+1 时，f(k+1)=f(k 一 1)+f(2)=(k 一 1)a+2a(k+1)a，故对一切正整数 n，有 f(n)=na，令x=0，则 f(2)=f(0)+f(2)，即 f(0)=0=0a，又 f(x)是奇函数，故对一切负整数 n 有 f(n)=一 f(一 n)=一(一 na)=na所以对一切整数 n，均有 f(n)=na【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 【试题解析】 当 x 充分大时，有重要关系：e x xln x,其中 ，0，故本题填【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续9
9、 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 本题考查分段函数的复合方法下面用解析法求解 首先，广义化为 由 g(x)的表达式知， 若 g(x)0，即x|2e x 一 10x|x0或x|x 2 一 10)|x 0，而 x|2e x 一 10x|x0=x|x一 ln2x|x0=x|x一 ln2， x|x 一 10x|x 答应 0=x|1x1x|x0 ：x|0x1 当 g(x)0，即x|2e x 一 10x|x0 或x|x 2 一 10x|x0 ，而 x|2e x 一 10x|x0=x|x一 ln2)x|x0=x
10、|ln2x0， x|x 一 10x|x0=x|x1 或 x一 1x|x0=x|x1 综上可得 【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 由 得到【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 当 x0 时，tanxx， 故原极限=【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 当 x0 时，sinxx，e x 一 e-x=e-x(e2x 一 1)2x，故原极限=2【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 当 x0 时，ln(1+x 4)x 4，故原极限=【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 这是“1 ”型未定式极限，可用公式计算(事实上 lnu=ln1+(u 一
11、 1)u 一 1(u1) 故原式=【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 原式= (投命题者所好，当狗0 时，狗一 sin 狗 狗 3)【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 当 x0 时，e tanx 一 esinx=esinx(etanx-sinx 一 1)tanx sinx， xsin2x x3，故 【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 根据海涅定理，取 则原式=【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 为了在使用洛必达法则时使求导数变得简单，先作变量代换，令从而 【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 分子分母同乘 e-x，即【试题解析】 此题为 型未定式，若用洛必达法则，则 连续使用完两次法则，又回到了起点，法则失效，正确的做法是先对式子恒等变形【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续
