1、考研数学二（向量代数和空间解析几何）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 过点(一 1，2，3) 且垂直于直线 并平行于平面 7x+8y+9z+10=0 的直线方程是( )2 设有直线 则 L1 与 L2 的夹角为( )3 设有直线 L： 及平面 ：4x 一 2y+z 一 2=0，则直线 L( )（A）平行于 （B）在 上（C）垂直于 （D）与 斜交4 如果直线 L1： 相交，则 =( )5 已知两条直线 平面 ：2x+7y+4z 一 1=0，则( )（A）L 1（B） L1（C） L2（D）L 1L2二、填空题6 已知|a|=2 ， |b
2、|=5，a 和 b 的夹角为 ，如果向量 A=a+17b与 B=3a 一 b 垂直，则系数 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 设向量 A=2a+3b，B=3a 一 b，|a|=2，|b|=1，a 和 b 的夹角为 ，求 A.B8 已知单位向量 与三个坐标轴的夹角相等，B 是点 M(1，一 3，2) 关于点 N(一1，2，1) 的对称点，求9 求点 P(1，2，一 1)到直线 的距离 d.10 试证向量 a=一 i+3j+2k，b=2i 一 3j 一 4k，c=一 3i+12j+6k 在同一平面上11 求过原点且与两条直线 都平行的平面方程12 求过点(2 ，一 3，1)
3、 和直线 的平面方程13 设一平面垂直于 xOy 面，并通过点(1，一 1，1)到直线 的垂线，求此平面方程14 设直线 L 过点 P(一 1，0，4)，与平面 ：3x 一 4y+z=10 平行，且与直线L0：x+1=y 一 3= 相交，求此直线 L 的方程15 设有直线 试问 L1 与 L2 是否相交?若相交，求出交点；若不相交，求出两直线间的距离16 求空间曲线 在 xOy 面上的投影曲线方程17 将下列曲线化为参数方程18 已知点 A 与 B 的直角坐标分别为(1，0，0)与(0，1，1)，线段 AB 绕 z 轴旋转一周所成的旋转曲面为 S，求由 S 及平面 z=0，z=1 所围成的立体
4、体积19 求直线 在平面 ：x 一 y+2z1=0 上的投影直线 L0 的方程，并求L0 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程20 求直线 绕 z 轴旋转而成的旋转曲面方程，并问 a、b 不同时为零时，该曲面为何种曲面?考研数学二（向量代数和空间解析几何）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 设所求直线的方向向量为 s，直线 的方向向量为s1=(4， 5，6)，平面 7x+8y+9z+10=0 的法向量为 n=(7，8，9)，故由点法式方程知，所求直线为整理得 ，应选(A)【知识模块】 向量代数和空间解析几何2 【正
5、确答案】 C【试题解析】 由已知条件，L 1 的方向向量为 s1=(1，一 2，1)【知识模块】 向量代数和空间解析几何3 【正确答案】 C【试题解析】 L 的方向向量 =(一 28，14，一 7)=7(一 4，2，一1) 的法向量 n=(4，一 2，1)显然 sn，所以选(C)【知识模块】 向量代数和空间解析几何4 【正确答案】 D【试题解析】 由已知，L 1 的方向向量 s1=(1，2，)，且过点 A(1，一 1，1)；L 2 的方向向量 s2=(1，1，1)，且过点 B(一 1，1，0)若 L1 与 L2 相交，则 s1，s 2，共面，即【知识模块】 向量代数和空间解析几何5 【正确答案
6、】 A【试题解析】 L 1 的方向向量 s1=(一 1，2，一 3) L 2 的方向向量 s2=(3，1，2) 的法向量 n=(2，7，4) ， 由于 s1.n=一 12+2734=0， 故 L1，从而应选(A) 【知识模块】 向量代数和空间解析几何二、填空题6 【正确答案】 40【试题解析】 由已知，A.B=0，于是(a+17b).(3a b)=0，即 3|a|2+(51 一 )a.b 一17|b|2=0，亦即 12+(51 一 )10cos 一 425=0，解得 =40【知识模块】 向量代数和空间解析几何三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 A.B=(2a+3
7、b).(3a b) =6|a|2+7a.b3|b|2 =6|a|2+7|a|b|cos -3|b|2 =622+721 一 312 =28【知识模块】 向量代数和空间解析几何8 【正确答案】 因为 与三个坐标轴的夹角相等，所以 cos=cos=cos又由于cos2+cos2+cos2=1，于是 设 B 点坐标为(x，y，z) ，由已知可知 N 是 MB 的中点，从而有 解得 x=一3，y=7 ，z=0，所以 ，则【知识模块】 向量代数和空间解析几何9 【正确答案】 如图 41 所示 向量 s=(2，一1，3)， 由向量积的几何意义，【知识模块】 向量代数和空间解析几何10 【正确答案】 三个向
8、量共面的充分必要条件是混合积等于零因为(a，b，c)=0，所以 a，b，C 三向量共面【知识模块】 向量代数和空间解析几何11 【正确答案】 两条直线的方向向量分别为 s 1=(0，1，1)，s 2=(1，2，1) ，故平面的法向量 =一(1，一 1，1) ，由平面的点法式方程知，所求平面的方程为 x 一 y+z=0【知识模块】 向量代数和空间解析几何12 【正确答案】 设过已知直线的平面束方程为 1(x 一 5y16)+2(2yz+6)=0，把点(2，一 3，1) 代入上式，得 1 一 2=0，即 故所求平面为 x 一 3y 一 z10=0【知识模块】 向量代数和空间解析几何13 【正确答案
9、】 先求点(1，一 1，1)到直线 的垂线的方向向量已知直线的参数方程为 设点到直线的垂足为(0，t ，t+1) ，则垂线的方向向量为(一1，t+1 ，t)由于该向量垂直于已知直线的方向向量(0，1，1)，从而 (一 1，t+1，t).(0，1， 1)=2t+1=0， 于是所求平面的法向量为 由平面的点法式方程可得(x 一 1)+2(y+1)=0，即 x+2y+1=0【知识模块】 向量代数和空间解析几何14 【正确答案】 过点 P(一 1，0，4)且平行于已知平面 的平面方程为 3(x+1)一4y+(x 一 4)=0，它与直线 L0 的交点为(15，19，32)，即为 L0 与 L 的交点由两
10、点式得 L 的方程 即【知识模块】 向量代数和空间解析几何15 【正确答案】 L 1，L 2 的方向向量分别为 s 1=(2，1，一 3)，s 2=(4，一 1，2)，且两直线分别过点 M0(一 1，1，0)和 M1(2，3，一 4)由于故 L1 与 L2 为异面直线如图 42 所示，两直线间的距离即为 在其公垂线的方向向量上的投影的绝对值，即【知识模块】 向量代数和空间解析几何16 【正确答案】 在方程组中消去 z，得曲线关于 xOy 面的投影柱面方程为x2+y2=4，于是投影曲线为【知识模块】 向量代数和空间解析几何17 【正确答案】 (1)由方程组消去 z 得 x2+y2+(1+x2+y
11、2)2=5，即 (x 2+y2)2+3(x2+y2)一4=0亦即 x2+y2=1，此时 z=2(注意 z0)，所以曲线方程可化为 令 x=cos ， y=sin ，得曲线参数方程为 (2)曲线方程消去 z 得 2x2+y2=(1一 x)2，即 (x+1)2+y2=2【知识模块】 向量代数和空间解析几何18 【正确答案】 AB 所在直线的方程为： 解出 x=1 一 z，y=z，于是旋转曲面的方程为 x 2+y2=(1 一 z)2+z2，即 x 2+y2=1 一 2z+2z2由于旋转体的横截面是圆，半径为 故所求立体的体积为【知识模块】 向量代数和空间解析几何19 【正确答案】 将 L 的方程改写
12、为一般方程为 则过 L 的平面束方程为x 一 y 一 1+(y+z一 1)=0，即 x+(-1)y+z-(1+)=0欲使它与平面 垂直，则 1 一(1)+2=0，从而 =一 2，得到平面束方程中经过 L 且垂直于 的平面方程为 x一 3y 一 2z+1=0，于是投影直线 L0 的方程为 L0： 将 L0 化为于是 L0 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程为x2+z2=4y2+ 即 4x2 一 17y2+4z2+2y 一 1=0【知识模块】 向量代数和空间解析几何20 【正确答案】 将直线方程改写成 于是旋转曲面方程为 x 2+y2=a2z2+b2当a0，b0 时，旋转曲面方程为 为单叶旋转双曲面 当 a0，b=0时，旋转曲面方程为 为圆锥面 当 a=0，b0 时，旋转曲面方程为x2+y2=b2，为圆柱面【知识模块】 向量代数和空间解析几何
