1、考研数学二（多元函数微分学、重积分）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2012 年试题，一) 设函数 f(x，y)为可微函数，且对任意的 x，y 都有则使不等式 f(x1，y 1)f(x2，y 2)成立的一个充分条件是 ( )（A）x 1x 2，y 1y 2（B） x1x 2，y 1y 2（C） x12，y 12（D）x 1x 2，y 1y 22 (2007 年试题，一) 二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是( )（A）（B）（C）（D）3 (2005 年试题，二) 设函数 其中函数 具有二阶导数， 具有
2、一阶导数，则必有( )（A）（B）（C）（D）4 (2010 年试题，5) 设函数 z=z(x，y)，由方程确定 其中，为可微函数，且 F20，则：（A）x（B） z（C）一 x（D）一 z5 (2011 年试题，一) 设函数 f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足 f(0)0，g(0) (0)=g(0)=0则函数 z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是( )（A）f (0)(0)0（B） f(0)(0)（C） f(0)0，g (0)0（D）f (0)0，g (0)6 (2009 年试题，一) 设函数 z=f(x，y)的全微分为出=xdx+ydy，则点(0，0)( )
3、（A）不是 f(x，y)的连续点（B）不是 f(x，y) 的极值点（C）是 f(x，y) 的极大值点（D）是 f(x， y)的极小值点7 (2006 年试题，二) 设 f(x，y)与 (x，y)均为可微函数，且 (x，y)0已知(x0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是 ( )（A）若 f(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0（B）若 f(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0（C）若 f(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=0（D）若 f(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)08 (2010 年试题，6) =
4、( )（A）（B）（C）（D）9 (2008 年试题，一) 设函数 f(x)连续， 其中区域 Duv 为图1-5-1，阴影部分，则 ( )（A）vf(u 2)（B）（C） vf(u)（D）10 (2004 年试题，二) 设函数 f(u)连续，区域 D=(x，y)x 2+y22y，则等于( ) （A）（B）（C）（D）11 (2012 年试题，一) 设区域 D 由曲线 围成，则( )（A）（B） 2（C） -212 (2005 年试题，二) 设区域 D=(x，y)x 2+y24，x0，y0f(x)为 D 上的正值连续函数，a， b 为常数,则（A）ab（B）（C） (a+b)（D）13 (200
5、9 年试题，一) 设函数 f(x,y)连续，则（A）（B）（C）（D）14 (2007 年试题，一) 设函数 f(x，y)连续，则二次积分 等于( ) （A）（B）（C）（D）15 (2006 年试题，二) 设 f(x，y)为连续函数，则 等于( ) （A）（B）（C）（D）二、填空题16 (2012 年试题，二) 设 y=y(x)是由方程 x2 一 y+1=ey 所确定的隐函数，则_.17 (2004 年试题，一) 设函数 z=z(x，y)由方程 x=e2x-3x+2y 确定，则_.18 (2006 年试题，三(20) 设函数 f(u)在(0，+) 内具有二阶导数且 z=f满足等式 (I)验
6、证 ()若 f(1)=0,f(1)=1，求函数 f(u)的表达式三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 (2012 年试题，二) 设 。其中函数 f(u)可微，则20 (2011 年试题，三) 设函数 z=f(xy，yg(x) ，其中函数厂具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导且在 x=1 处取得极值 g(1)=1,21 (2010 年试题，19) 设函数 u=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式确定 a，b 的值，使等式在变换 =x+ay，=x+by 下化简为22 (2009 年试题，17) 设 z=f(x+y，x 一 y，xy)，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 dz
7、与23 (2008 年试题，二) 已知24 (2007 年试题，二) 设 f(u，v)是二元可微函数，25 (2004 年试题，三(7)设 z=f(x2-y2，e xy，其中 f 具有连续二阶偏导数，求26 (2007 年试题，20) 已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f(0)=1，函数 y=y(x)由方程y=xey-1=1 所确定设 x=f(1nysinx)，求27 (2008 年试题，21) 求函数 u=x2+y2+z2 在约束条件 z=x2+y2 和 x+y+z=4 下的最大值和最小值28 (2005 年试题，20) 已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx 一 2ydy，并
8、且 f(1，1)=2，求 f(x， y)在椭圆域 上的最大值和最小值29 (2011 年试题，三) 已知函 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0,f(x，1)=0y)dxdy=a 其中 D=(x，y)0x1，0y1，计算二重积分30 (2006 年试题三(17) 设区域 D=(x，y)x 2+y21，x0 ，计算二重积分31 (2008 年试题，三(18) 求二重积分 其中D=(x1，y) 0x2 ，0y232 (2007 年试题，三(22) 设二元函数 计算二重积分 ，其中 D=(x，y)x+y233 (2005 年试题，三(21) 计算二重积分 其中 D=(x，y)10x1
9、，0y134 (2012 年试题，三) 计算二重积分 ，其中区域 D 为曲线 r=1+cos(0)与极轴围成35 (2011 年试题，二) 设平面区域 D 由直线 y=x，圆 x2+y2=2y 及 y 轴所组成，则二重积分36 (2010 年试题，20) 计算二重积分 其中37 (2009 年试题，三(19) 计算二重积分 其中 D=(x，y)(x 一 1)2+(y1)22,yx考研数学二（多元函数微分学、重积分）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 如果 f(x1，y 1)f(x2，y 1)，则
10、x1x 2，又 ，如果有 f(x2， y1)f(x2，y 2)，则 y1y 2所以 f(x1，y 1)f(x2，y 1)f(x1，y 2)时，就有x1x 2，y 1y 2因此选 A【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A 相当于已知 f(x，y)在点(0 ，0)处连续选项 B 相当于已知两个一阶偏导数 fx(0，0)，f y(0，0)存在，因此 A,B 均不能保证 f(x，y) 在点(0，0)处可微选项 D 相当于已知两个一阶偏导数 fx(0，0)f y(0，0)存在，但不能推导出两个一阶偏导数 fx(x，y)f y(x，y)在点(0，0)处连续，因此也不能保证
11、f(x，y)在点(0，0)处可微对于选项 C，若 则即 fx(0，0)=0同理有 fy(0，0)=0 从而有 根据可微的定义，知函数f(x，y)在(0，0)处可微故应选 C【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可得 因为所以选 B【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 根据题意可得故而有， 即正确答案为 B【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 z=f(x)g(y) ，在(0，0)点，A=f (0)g(0)，B=f(0)g(0)=0，C=f(0)g (0) 若 z=f(x)g(y)在(0，0)有极小值则ACB20 且 A
12、0f (0)(0)0，故选 A【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 由全微分 dz=xdx+ydy 可得 令在(0，0)处 又因为在此处 A=10且 AC 一 B2=10，故可知点(0，0)为函数 z=f(x，y)的一个极小值点故正确答案为 D【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 用拉格朗日乘数法判断令 F(戈，y，)=f(x，y)+(x，y)，则(x0，y 0)满足 若fx(x0，y 0)=0，由 (1)式 或 x(x0，y 0)=0，而当 =0 时，由(2)式得 fy(x0;y0)=0；当0 时，由(2)式及 y(x0，y 0)0f y(x0
13、，y 0)0所以排除 A，B若 fx(x0，y 0)0，则由(1)式 0 ，再由 (2)式及 y(x0，y 0)0f y(x0，y 0)0，即 fx(x0，y 0)0 时，fy(x0，y 0)0故选 D【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 D【试题解析】 因 故根据积分的几何定义可知 即正确答案为 D【知识模块】 重积分9 【正确答案】 A【试题解析】 在极坐标系下，则故应选 A【知识模块】 重积分10 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 ，从而 A 不成立；由于仅知f(u)连续，题设并未指出 f(xy)是否具有关于坐标轴的对称性，因此 B 不一定成立；将原积分化为极坐标下二次积分，
14、有 所以选择 D评注 由极坐标下面积元 dz=rdrd 可排除(c)，由 D 的边界曲线 x2+(y 一 1)2=1可排除 A，由 f(x，y)为抽象函数知 B 不对，故应选 D【知识模块】 重积分11 【正确答案】 D【试题解析】 其中 ，sinx 为奇函数，在对称区间上积分值为零，应选 D【知识模块】 重积分12 【正确答案】 D【试题解析】 由题意可知，D 关于直线 Y=X 对称，于是从而可得 所以选 D【知识模块】 重积分13 【正确答案】 C【试题解析】 的积分区域有两部分：D 1=(x，y)1x2，xy2，D2=(x，y)1y2 ，yx4 一 y这两个积分区域可合成一个积分区域D=
15、(x，y)1y2，1x4 一 y，所以题干中的二重积分等于 y)dx故正确答案为 C【知识模块】 重积分14 【正确答案】 B【试题解析】 由二次积分 的积分上、下限可知积分区域为的反函数为 x=arcsiny，则上述区域等价于，所以积分变换为 故应选 B评注关键在于先确定 x 和 y 的范围，再交换积分次序，确定 y 的范围时应注意，当时，y=sinx=sin( 一 x) 于是 一 x=arcsiny，从而 x=arc-siny【知识模块】 重积分15 【正确答案】 C【试题解析】 用排除法若选择先 y 后 x 的积分顺序，则要分块积分由于选项并未分块积分，故 A,B 错误又 其中 D 如图
16、1 一 54 所求，其极坐标表示为 0r1，0 现转换为先 x 后 y 的积分顺序：因为 y=x 与 x2+y2=1 在第一象限的交点为 所以从而故选 C【知识模块】 重积分二、填空题16 【正确答案】 将 x=0 代入方程 x2+y+1=ey，得 y=0，在方程 x2 一 y+1=ey 两端对x 求一阶导，得 2xy=yey，将 x=0，y=0 代入得 y(0)=0 再在 2xy=yey 两端对 x求一阶导，得 2 一 y=yey+(y)2ey，将 x=0，y=0，y (0)=0 代入得 y(0)=1，即【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 由方程 z=e2x-3x+2y 两边分别
17、对 x，y 求偏导得于是 所以【试题解析】 在函数 f(x，y，z) 中 x,y，z 都是相互独立的自变量，求隐函数偏导数有三种方法：按复合函数求导；代公式；利用全微分的形式不变性【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 (I)用复合函数求导法验证令 ，则式(1)+式(2)，得()因为 (已证)，所以 uf(u)+f(u)=0，即uf (u)=0 积分得 uf(u)=C1 由 f(1)=1C 1=1，于是再积分得 f(u)=Inu+C 2 由 f(1)=0C 2=0，所以 f(u)=Inu【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 【
18、知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 由 g(x)可导且在 x=1 处取极值 g(1)=1，所以 g(1)=0【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 由复合函数的求导法则可得又有等式，将上述各式代入可得因为简化后为故有 解得 又或(一 2，一 2)时，10ab+12(a+b)+8=0，舍去从而满足题意的(a， b)为【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 由 z=f(x+y，x 一 y，xy)可得 则=(f1+f2+f3)dx+(f1一 f2+xf3)dy， =f11一 f12+f13+f21一f22+xf23+f3+y(f31一 f32+xf33)=f3+f11+(x
19、+y)f13一 f22+(x 一 y)f23+xyf33【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 在 的两边取对数得到 在其两边对 x 求偏导数有将(x，y)=(1，2) 代入可得【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 已知 则 于是【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 由已知 z=f(x2 一 y2，e xy)，则【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 在 y 一 xey-1=1 中，令 x=0，得 y=1由 yxey-1=1 两边对 x 求导得 y一 ey-1 一 xey-y=0再对x 求导得 y一 ey-1y一 ey-1y一 xey-1y12 一 xey-
20、1y=0 将 x=0，y=1 代入上面两式得 y(0)=1,y(0)=2，故【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 令 F(x，y，z)=x 2+y2+z2+1(x2+y2 一 z)+2(x+y+z 一 4)，分别对各参数求导并令为 0，得到如下方程组即有 umax=(一 2)2+(一 2)2+82=72;umin=12+12+22=6评注先构造拉格朗日函数 F(x，y，z，u)=f(x，y，z)+(x，y，z)+u(x ，y， z)，解出极值点后，直接代入目标函数计算函数值再比较大小确定相应的极值(或最值)【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 根据题意，得(1)求 f(x，
21、y)的表达式由已知有 dz=dx2 一dy2=d(x2 一 y2)z=x 2 一 y2+C 又因为 f(1，1)=2 ，所以 C=2，从而 z=f(x，y)=x 2 一y2+2(2)求 f(x，y)在 D 内驻点及相应函数值，解 得(x，y)=(0，0) ，即f(x，y)在 D 内有唯一驻点 (0，0)，且 f(0，0)=2(3)求 f(x，y)在 D 的边界 y2=(1 一x2)上的最大值和最小值将 y2=(1 一 x2)(x1)代入 z=x2 一 y2+2 得 z(x)=x2 一(1 一 x2)+2=5x2 一 2 显然，z(x)在一 1，1上的最大值为 3，最小值为一 2综上所述，z=f
22、(x，y)在 D 上的最大值是 max2，3，一 2=3，最小值是 min2，3，一2=一 2【试题解析】 评注 根据全微分的表达式先求出要求极值的函数，然后再求极值【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 【知识模块】 重积分30 【正确答案】 依题意，如图 152 所示，D 为右半单位圆，且关于 x 轴对称，所以 所以令 x=rcos，y=rsiin，作极坐标变换则有 D1: ，从而【知识模块】 重积分31 【正确答案】 因为 所以有【知识模块】 重积分32 【正确答案】 设区域 D1=(x，y)x+y1，D 2=(x，y)1【试题解析】 将区域 D2 转化为区域 D 减去 D1，用
23、以计算 比较简便，因为区域 D 和 D1 方便积分【知识模块】 重积分33 【正确答案】 此题用分块积分法，如图 153 所示在 D 中用分块积分法得而所以作极坐标变换求，I 1：又 所以【知识模块】 重积分34 【正确答案】 令 x=cos，y=sin 则【知识模块】 重积分35 【正确答案】 【知识模块】 重积分36 【正确答案】 令 x=rcos，y=rsin ，则 积分区域等价于 则二重积分【知识模块】 重积分37 【正确答案】 令 x=cos，y=sin，其中 02，则由(x 一 1)2+(y 一 1)22 和yx 可得 02(sin+cos)且 sincos由 可解得 所以【知识模块】 重积分
