1、考研数学二（多元函数微积分）历年真题试卷汇编 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (04 年 )设函数 f(u)连续，区域 D=(x,y)|x2+y22y则 f(xy)dxdy 等于2 (05 年 )设函数 u(x，y)=(x+y)+(x 一 y)+x-yx+y(t)dt，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有3 (05 年 )设区域 D=(x，y)|x 2+y24，x0，y0f(x)为 D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则（A）an（B）（C） (a+b)（D）4 (06 年 )设 f(x,y)为连续函数，则 f(rcos，rsin)
2、rdr 等于5 (06 年 )设 f(x，y)与 (x， y)均为可微函数，且 y(x，y)0已知(x 0，y 0)是f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是（A）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0（B）若 fx(x0,y0)=0，则 fy(x0，y 0)0（C）若 fx(x0，y 0)0则 fy(x0，y 0)=0（D）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)06 (07 年 )二元函数 f(x,y)在点 (0，0)处可微的一个充分条件是7 (07 年 )设函数 f(x，y)连续则二次积分 f(x,y)dy 等于（A） 01
3、dy+arcsinyf(x,y)dx（B） 01dy-arcsinyf(x,y)dx（C）（D）8 (08 年 )设函数 f 连续，若 F(u，v)= 其中区域 Duv 为图中阴影部分，则 =（A）vf(u 2)（B）（C） vf(u)（D）9 (09 年 )设函数 z=f(x，y)的全微分为 dz=xdx+ydy，则点(0，0)（A）不是 f(x，y)的连续点（B）不是 f(x，y) 的极值点（C）是 f(x，y) 的极大值点（D）是 f(x， y)的极小值点10 (09 年) 设函数 f(x，y)连续则 12dxx2f(x，y)dy+ 12dyy1-yf(x，y)dx=（A） 12dx14
4、-xf(x，y)dy （B） 12dxx4-xf(x，y)dy（C） 12dy14-yf(x,y)dx（D） 12dyy2f(x,y)dx11 (10 年) 设函数 z=z(x， y)由方程 确定，其中 F 为可微函数且F20则（A）x（B） z（C）一 x（D）一 z12 (10 年)二、填空题13 (04 年) 设函数 z=z(x,y)由方程 z=e2x-3z+2y 确定，则14 (07 年) 设 f(u，v)是二元可微函数，15 (08 年) 设16 (11 年) 设平面区域 D 由直线 y=x，圆 x2+y2=2y 及 y 轴所围成，则二重积分xyd=_三、解答题解答应写出文字说明、证
5、明过程或演算步骤。17 (04 年) 设 z=f(x2 一 y2，e xy)，其中 f 具有连续二阶偏导数，求18 (05 年) 已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx 一 2ydy并且 f(1,1)=2求 f(x,y)在椭圆域 D= 上的最大值和最小值19 (05 年) 计算二重积分 |x2+y2 一 1|d，其中 D=(x，y)|0x1,0y120 (06 年) 设区域 D=(x,y)|x2+y21，x0计算二重积分21 (06 年) 设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数且 满足等式(I)验证 ()若 f(1)=0,f(1)=1，求函数 f(u)的表达式22 (07 年)
6、 已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f(0)=1，函数 y=y(x)由方程 yxey-1=1 所确定,设 z=f(lnysinx)，求23 (07 年) 设二元函数 计算二重积分其中 D=(x,y)|x|+|y|224 (08 年) 求函数 u=x2+y2+z2 在约束条件 z=x2+y2 和 x+y+z=4 下的最大值与最小值25 (08 年) 计算 maxxy，1dxdy，其中 D=(x,y)|0x2，0y226 (09 年) 设 z=f(x+y，x-y)其中 f 具有二阶连续偏导数，求 dz 与27 (09 年) 计算二重积分 (xy)dxdy，其中 D=(x,y)|(x1)2+(y1
7、)22，yx28 (10 年) 设函数 u=f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式确定 a，b 的值，使等式在变换 =x+ay=x+by 下简化为29 (10 年) 计算二重积分 其中 D=(r，)|0rsec ，030 (11 年) 设函数 z=f(xy，yg(x), 其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导且在 x=1 处取得极值 g(1)=1求考研数学二（多元函数微积分）历年真题试卷汇编 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 将圆 x2+y2=2y 改写为极坐标方程为 r=2sin则=0d02sin(
8、r2sincos)rdr.故应选(D)【知识模块】 多元函数微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 令 (x)=x2(x)0 ，则 u(x，y)=(x+y) 2+(xy)2=2x2+2y2，从而选项(A)(C)(D)均不正确故应选(B)【知识模块】 多元函数微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 由于积分域 D 关于直线 y=x 对称则从而【知识模块】 多元函数微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 由积分 d01f(rcos，rsin)rdr 知其积分域如右图所示，则故应选(C)【知识模块】 多元函数微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 由拉格朗日乘数法知，若(x 0，y 0)是 f(x，
9、y)在约束条件 (x，y)=0 下的极值点，则必有 若 fx(x0，y 0)0，由 式知，0，又由原题设知 y(x0，y 0)0，则由 式知， y(x0，y 0)0从而必有fy(x0，y 0)0，故应选 (D)【知识模块】 多元函数微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 由 知从而f(x，y)在(0，0)处可微【知识模块】 多元函数微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 二次积分 对应的二重积分的积分域 D 如右图所示交换二次积分次序得 故应选(B)【知识模块】 多元函数微积分8 【正确答案】 A【试题解析】 故应选(A)【知识模块】 多元函数微积分9 【正确答案】 D【试题解析】 由 dz=
10、xdx+ydy 知， 令 得(x，y)=(0，0)，则(0， 0)为函数 z=f(x，y)的驻点又 ，则 ACB2=10，且 A=10则(0，0)为 z=f(x，y)的极小值点，故应选(D)【知识模块】 多元函数微积分10 【正确答案】 C【试题解析】 原式= 12dy14-yf(x，y)dx 故应选(C)【知识模块】 多元函数微积分11 【正确答案】 B【试题解析】 由隐函数求导公式得【知识模块】 多元函数微积分12 【正确答案】 D【试题解析】 故应选(D)【知识模块】 多元函数微积分二、填空题13 【正确答案】 2【试题解析】 等式 z=e2x-3z+y 两端分别对 x 和 y 求偏导得
11、式乘 3 加 式得【知识模块】 多元函数微积分14 【正确答案】 【试题解析】 由 知【知识模块】 多元函数微积分15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 =2xf1+yexyf2， =一 2yf1+xexyf2 =2xf11“.(一 2y)+f12“.xexy+exyf2+xyexyf2+yexyf21“.(一 2y)+f22“.xexy=一 4xyf11“+2(x2 一 y2)exyf12“+xye2xyf22”+exy(1+xy)f2【知
12、识模块】 多元函数微积分18 【正确答案】 由 dz=2xdx-2ydy 可知 z=f(x，y)=x 2 一 y2+C 再由 f(1，1)=2，得C=2，故 z=f(x，y)=x 2 一 y2+2 令 解得驻点(0，0)在椭圆 上，z=x 2 一(44x 2)+2，即 z=5x2 一 2 (-1x1)其最大值为 z|x=1=3，最小值为 z|x=0=一 2 再与 f(0，0)=2 比较，可知 f(x，y)在椭圆域 D 上的最大值为3，最小值为一 2【知识模块】 多元函数微积分19 【正确答案】 如图，将 D 分成 D1 与 D2 两部分【知识模块】 多元函数微积分20 【正确答案】 所以 I=
13、I1+I2=【知识模块】 多元函数微积分21 【正确答案】 所以根据题设条件可得 即 ()由(I)及 f(1)=1，得f(u)= 所以 f(u)=lnu+C由 f(1)=0，得 C=0，因此 f(u)=lnu【知识模块】 多元函数微积分22 【正确答案】 由 yxey-1=1 知，当 x=0 时，y=1等式 yxeyy-1=0 两端对 x 求导得 y 一(e y-1+xyey-1)=0 令 x=0，y=1 得，y(0)=1 y“一yey y-1+yey-1+x(yey-1)=0令 x=0，得 y“(0)一 2=0，则 y“(0)=2 由 z=f(lnysinx)知【知识模块】 多元函数微积分2
14、3 【正确答案】 由于被积函数 f(x，y)关于 x 和 y 都是偶函数，而积分域 D 关于 x轴和 y 轴都对称，则 其中 D1 为直线 x+y=1 与x 轴和 y 轴围成的区域，D 2 为直线 x+y=1，x+y=2 与 x 轴和 y 轴所围成的区域(如图)【知识模块】 多元函数微积分24 【正确答案】 作拉格朗日函数 F(x，y，z，)=x 2+y2+z2+(x2+y2 一 z)+(x+y+z 一 4). 解方程组得(x 1，y 1，z 1)=(1，1，2)， (x2，y 2，z 2)=(一 2,一 2,8)故，所求的最大值为 72，最小值为 6【知识模块】 多元函数微积分25 【正确答
15、案】 曲线 xy=1 将区域 D 分成如图所示的两个区域 D1 和 D2【知识模块】 多元函数微积分26 【正确答案】 由于 =f1+f2+yf3 =f1一 f2+xf3所以 dz=(f 1+f2+yf3)dx+(f1一f2+xf3)dy =f11“-f12“+xf13“+f21“一 f22“+xf23“+f3+y(f31“一 f32“+xf33“)=f3+f11“一f22“+xyf33“+(x+y)f13“+(xy)f23“【知识模块】 多元函数微积分27 【正确答案】 如图，令 则【知识模块】 多元函数微积分28 【正确答案】 将以上各式代入原等式，得【知识模块】 多元函数微积分29 【正确答案】 由题设知，积分区域 D 如图所示将积分化为直角坐标系下的二重积分为 设 x=sint，则【知识模块】 多元函数微积分30 【正确答案】 由题意 g(1)=0因为 =yf1+yg(x)f2 =f1+yxf11“+g(x)f12“+g(x)f2+yg(x)xf2“+g(x)f22“所以 =f1(1，1)+f 11“(1，1)+f 12“(1，1)【知识模块】 多元函数微积分
