1、考研数学二（导数与微分）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(0)f ( 0)0，f( 0)0，则下列正确的是( )（A）f( 0)是 f()的极大值（B） f(0)是 f()的极大值（C） f(0)是 f()的极小值（D）( 0，f( 0)是 yf()的拐点2 设 f() 3a 2b 在 1 处有极小值2，则( )（A）a1， b2（B） a1，b2（C） a0，b3（D）a0， b33 设 f() 31g()，其中 g()连续，则 g(1)0 是 f()在 1 处可导的( )（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）非
2、充分非必要条件4 设 f()连续，且 F() f(t)dt，则 F()( )（A）（B） f(ln)f( )（C）（D）f(ln) ( )5 当 0，1时，f() 0，则 f(0)，f(1)，f(1) f(0)的大小次序为( )（A）f(0)f(1)一 f(0)f(1)（B） f(0) f(1)f(1)f(0)（C） f(0) f(1)f(1)f(0)（D）f(0)f(1)f(0)f(1)6 设 f()在0，)上连续，在(0，) 内可导，则 ( )（A）若 f()0，则 f()0（B）若 f()0，则 f()0（C）若 f()，则 f()（D）若 f()A0，则 f()7 设 f()，g()(
3、a b)为大于零的可导函数，且 f()g()f()g()0，则当ab 时，有( ) （A）f()g() f(b)g()（B） f()g(a)f(a)g()（C） f()g()f(b)g(b)（D）f()g)f(a)g(a)8 设 f()在 0 的某邻域内连续，若 2，则 f()在 0 处( )（A）不可导（B）可导但 f(0)0（C）取极大值（D）取极小值9 设 f()连续，且 f(0)0，则存在 0，使得( )（A）f()在(0，)内单调增加（B） f()在(，0) 内单调减少（C）对任意的 (，0)，有 f()f(0)（D）对任意的 (0，) ，有 f()f(0)二、填空题10 设 f()
4、二阶连续可导，且 1，f(0)e，则_11 设 f(u)可导，yf( 2)在 01 处取得增量 005 时，函数增量y 的线性部分为 015，则 f(1)_12 设 y ，则 _13 设 _14 设函数 yy()由方程 ey cos(y)0 确定，则 _15 设 f() ，则 f(n)()_16 设 f()ln(2 1)，则 f(n)()_17 设 () (t)f(t)dt，其中 f 连续，则 ()_18 设 f()连续，则 tf(t)dt_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设 f() 处处可导，确定常数 a，b，并求 f()20 设对一切的 ，有 f(1)2f()，且当
5、 0，1时 f()( 21)，讨论函数 f()在 0 处的可导性21 设 f() 求 f()并讨论其连续性22 设 0cos(t) 2dt 确定 y 为 的函数，求 23 设 f()二阶可导， f(0)0，令 g() (1)求 g()； (2)讨论g()在 0 处的连续性24 设 f() 求 f()25 求常数 a， b 使得 f() 在 0 处可导26 设 f() 求 f()并讨论 f()在 0 处的连续性27 求下列导数： (1)设 y ，求 (2)设 y(1 2)tan，求 28 求下列导数： (1)设 yy()由 确定，求 (2)设 yy()由确定，求29 设 f() 且 f(0)存在
6、，求 a，b30 设 f() 讨论 f()在 0 处的可导性31 设 yln(41)，求 y(n)考研数学二（导数与微分）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(0)0，所以存在 0，当 0 0 时，0，从而当 (0 ， 0)时，f()0；当 (0， 0)时，f()0，即( 0，f( 0)是 yf()的拐点，选 D【知识模块】 导数与微分2 【正确答案】 C【试题解析】 f()3 22ab，因为 f()在 1 处有极小值2， 所以解得 a0，b3，选 C【知识模块】 导数与微分3 【正确答案】 C【试题解
7、析】 设 g(1)0，f -(1)0， f +(21)g()0， 因为 f-(1)f +(1)0，所以 f()在 1 处可导 设 f()在 1 处可导，因为 f-(1)f +(1)0，所以 g(1)0，故 g(1)0 为 f()在 1 处可导，应选 C【知识模块】 导数与微分4 【正确答案】 A【试题解析】 F()f(ln).(ln) ， 故应选 A【知识模块】 导数与微分5 【正确答案】 D【试题解析】 由拉格朗日中值定理得 f(1)f(0) f(c)(0 c 1)，因为 f()0，所以 f()单调增加，故 f(0)f(c)f(1) ，即 f(0)f(1)f(0)f(1)，应选 D【知识模块
8、】 导数与微分6 【正确答案】 D【知识模块】 导数与微分7 【正确答案】 A【试题解析】 由 f()g()f()g() 0 得从而 为单调减函数 由 ab 得 ， f()g(b)f(b)g()， 应选 A【知识模块】 导数与微分8 【正确答案】 D【试题解析】 由 2 得 f(0)0， 由极限保号性，存在 0，当0 时， 0，从而 f()0f(0)， 由极值的定义得 f(0)为极小值，应选 D【知识模块】 导数与微分9 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(0) 0， 所以由极限的保号性，存在0，当 0 时， 0， 当 (，0)时，f()f(0) ；当(0，) 时，f() f(0)，应选
9、D【知识模块】 导数与微分二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 由 1 得 f(0)0，f(0) 1，【知识模块】 导数与微分11 【正确答案】 【试题解析】 由 dy2f( 2) 得 dy 1 2f(1)0 0501f(1) ， 因为y 的线性部分为 dy，由01f(1) 015 得 f(1) 【知识模块】 导数与微分12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 导数与微分13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 导数与微分14 【正确答案】 【试题解析】 方程两边对 求导，得【知识模块】 导数与微分15 【正确答案】 【试题解析】 令 f() 解得 A3，B2，即【知识模块】
10、 导数与微分16 【正确答案】 (1) n-1(n1)!【试题解析】 f()ln21)(1 ln(2 1) ln(1)，【知识模块】 导数与微分17 【正确答案】 2 f(t)dt4 2f(2)【试题解析】 () 2 f(t)dt tf(t)dt, ()2 f(t)dt2 3f(2)2 3f(2)2 f(t)dt ()2 f(t)dt4 2f(2)【知识模块】 导数与微分18 【正确答案】 f()【试题解析】 0tf(t)dt 0(u)f(u)(du) 0(u)f(u)du 0f(u)du 0uf(u)du 于是 tf(t)dt 0f(u)du，故 tf(t)dtf()【知识模块】 导数与微分
11、三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 由 f()在 0 处连续，得 b0由 f()在0 处可导，得 a2，【知识模块】 导数与微分20 【正确答案】 当 1，0时，f() f(1) (1)( 22) ，因为 f-(0)f+(0)，所以 f()在 0 处不可导【知识模块】 导数与微分21 【正确答案】 当 0 时，f() ，当 0 时，f()cos，由得 f(0)1，则容易验证 1f(0)，所以 f()连续【知识模块】 导数与微分22 【正确答案】 0cos(t) 2dt 0cosu2(du) 0cost2dt， 等式 0cost2dt 两边对 求导， 得 cos
12、 2， 于是【知识模块】 导数与微分23 【正确答案】 (1)因为f(0)g(0)， 所以 g()在0 处连续 当 0 时，g() ； 当 0 时，由得 g(0)f(0)，即所以 g()在 0 处连续【知识模块】 导数与微分24 【正确答案】 当 1 时，f() ； 当 1 时，f()1；当 1 时，f()1； 则 f()在1 处不连续，故也不可导 由 f(10)f(10)f(1)0 得 f()在 1 处连续 因为所以 f()在 1 处也不可导，故【知识模块】 导数与微分25 【正确答案】 因为 f()在 0 处可导，所以 f()在 0 处连续，从而有 f(00)2a f(0)f(00)3b，
13、由 f()在 0 处可导，则 32a106b，解得 a ，b 【知识模块】 导数与微分26 【正确答案】 当 0 时，f() 当 0 时，所以 f()在 0 处连续【知识模块】 导数与微分27 【正确答案】 【知识模块】 导数与微分28 【正确答案】 ln(t)t 一 1 两边对t 求导得 eyy1 两边对 t求导得，【知识模块】 导数与微分29 【正确答案】 f(00)b，f(0) f(00)0，由 f()在 0 处连续得 b0；因为 f(0)存在，所以 f-(0)f +(0)，故 a2【知识模块】 导数与微分30 【正确答案】 则 f-(0)1，f +(0)0，因为 f-(0)f+(0)，所以 f()在 0 处不可导【知识模块】 导数与微分31 【正确答案】 y 4(41) -1， y4 2).(1)(41) 2，y 4 3.(1)(2)(4 1) -3， 由归纳法得【知识模块】 导数与微分
