1、考研数学二（无穷级数）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 设 将其展开的正弦级数为 其和函数为 S(x)，则S(3)=( )二、填空题3 设 (一 x)，则 a2=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 求幂级数 的和函数5 求幂级数 的收敛域和和函数6 求幂级数 的收敛域和和函数7 求幂级数 的和函数8 求幂级数 的收敛域及和函数9 设幂级数 的系数满足 a0=2，na n=an-1+n1，n=1 ，2，求此幂级数的和函数 S(x)，其中 x(一 1，1) 10 设级数 的和函数为 S(x)，求 S(x)的表达式11
2、 (1)验证函数 (一x+)满足微分方程 y”+y+y=ex；(2)利用(1) 的结果求幂级数 的和函数12 设有级数 (1)求此级数的收敛域；(2)证明此级数满足微分方程 y“一y=-1；(3)求此级数的和函数13 求 的和14 求级数 的和15 求数项级数 的和16 设 f(x)= ，试将 f(x)展为 x 的幂级数，并求 的和17 将函数 arctanx 一 x 展开成 x 的幂级数18 将函数 展开为 x 的幂级数，并求数项级数19 将函数 展开成 x 的幂级数，并求数项级数20 将函数 f(x)= 展开为 x 的幂级数21 将函数 展成 x 的幂级数22 将函数 展开成(x 一 1)
3、的幂级数23 将函数 f(x)= 展开成(x 一 1)的幂级数24 将函数 展开成(x 一 2)的幂级数25 设26 设 f(x)是周期为 2 的周期函数，且 f(x)= 设其傅里叶级数的和函数为 S(x)，求 S(1)，27 设 f(x)是周期为 2 的周期函数，且在一个周期内的表达式为将 f(x)展开成傅里叶级数，并求级数28 将函数 f(x)=2+|x|(一 1x1)展成以 2 为周期的傅里叶级数，并由此求级数的和29 将 展开为正弦级数，并求考研数学二（无穷级数）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 S(
4、x)可看作是 f(x)作偶延拓后再作周期为 2 的周期延拓后的函数的傅里叶级数之和由于 S(x)是以 2 为周期的偶函数，所以由傅里叶级数的收敛定理知【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 C【试题解析】 由题意，S(x)是 f(x)作奇延拓后再作周期为 4 的周期延拓后的函数的傅里叶级数之和，所以 S(3)=S(4 一 1)=S(一 1)将 f(x)作奇延拓，即令从而 因此应选(C)【知识模块】 无穷级数二、填空题3 【正确答案】 1【试题解析】 f(x)=x 2(一 x)是以 2 为周期的偶函数，由公式得【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 【正确答案
5、】 【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 收敛半径 从而该级数的收敛区间为(一 2，2) 所以原级数的收敛域为一 2，2) 【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 收敛半径 故收敛区间为(一 1，1)，当|x|=1 时， 故原级数发散，从而原级数的收敛域为(一 1，1)【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 收敛半径 从而级数的收敛域为(一，+)【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 收敛半径 故级数的收敛域为(一， +)设 则所求幂级数的和函数为【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 由已知条件 nan=an-1+n1，有【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 故 S(x)是常微分方程初
6、值问题 的解所以再由 S(0)=0，得 C=1最后得【知识模块】 无穷级数11 【正确答案】 (1)先验证该幂级数的收敛区间是(一，+)这是缺项的幂级数，令 t=x3，则 t(一，+) ，从而 x(一，+)时，原级数收敛 其次，在收敛区间内对幂级数可以逐项求导(2)因为幂级数 的和函数 y(x)满足微分方程 y”+y+y=ex又 y(0)=1，y(0)=0，所以为求 y(x)只须解上述二阶常系数线性微分方程的初值问题。微分方程相应的齐次方程的特征方程为2+1=0特征根 通解为 设非齐次线性方程的一个特解为 y*=Aex，代入方程得 所以，非齐次线性方程的通解为由初始条件，得【知识模块】 无穷级
7、数12 【正确答案】 (1)因为 故此级数收敛域为(-，+)代入方程左端，y”一 y=S”(x)一 S(x)=一 1，即此级数满足微分方程 y”一 y=一 1 (3)由 S(x)，S(x)表达式，知 S(0)=2，S(0)=0y”一 y=一 1 的特征方程为 r 2 一 1=0解得特征根 r1=一 1，r 2=1，故对应的齐次方程通解为 Y=C1ex+C2e-x显然 y*=1 是 y”一 y=一 1 的一个特解，故方程通解为 y=C 1ex+C2e-x+1，由 S(0)=0，S(0)=2，得 故级数的和函数为【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 所以 S1(x)=一 ln(1 一 x)，
8、xS(x)=一 xln(1 一 x)，【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数15 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 因为【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 因为 ex= 一 x+ ，所以【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数24 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 当 x0 时, 一x+ ，令由和函数的连续性，得【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 由狄利克雷收敛定理得【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 因为 f(一 x)=一 x(1 一 x)=-f(x)，所以 f(x)在一 1x1 上是奇函数，故 an=0(n=0， 1，2，) ，由狄利克雷收敛定理,f(x)的傅里叶展开式为【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 f(x)=2+|x|为偶函数，所以 bn=0，a 0=201(2+x)dx=5，因为所给函数在一 1，1 上满足狄利克雷收敛定理，故【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 将 f(x)进行奇延拓，则 an=0(n=0，1，2，)【知识模块】 无穷级数
