1、考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 极限（A）等于 （B）等于 （C）等于 e-6（D）不存在2 设 f()在 a 处连续，()在 a 处间断，又 f(a)0，则（A）f() 在 a 处间断（B） f()在 a 处间断（C） ()2 在 a 处间断（D） 等在 a 处间断3 “f()在点 a 连续”是f()在点 a 处连续的( )条件（A）必要非充分（B）充分非必要（C）充要（D）既非充分又非必要4 设数列 n， yn 满足 nyn0，则下列正确的是（A）若 n 发散，则 yn 必发散（B）若 n 无
2、界，则 yn 必有界（C）若 n 有界，则 yn 必为无穷小（D）若 为无穷小，则 yn 必为无穷小5 f()sin（A）在( ，) 内有界（B）当 时为无穷大（C）在 (，)内无界（D）当 时有极限二、填空题6 _7 设 _8 设 K，L ， 为正的常数，则 _9 设 f() 在点 0 处连续，则常数 a_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求极限： 11 求极限： ，t 常数12 求极限： 13 求极限： 14 求极限： 15 求极限： 16 求极限： 17 求极限： 18 求极限： 19 求极限： 20 求极限： (a，b，c 为正的常数)21 求极限： 22 求极限
3、： (a10，a 20)23 求极限： 24 求极限： 25 求极限： n，其中 n 26 求极限： f()，其中 f() 27 设 n+1ln(1 n)， 1 0，()求 ；()求 28 设 a0 为常数， 29 设 (-3sin3a -2b)0，试确定常数 a，b 的值30 讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：31 设 0 0 1， n+1 n(2 n)，求证： n收敛并求 n考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 注意到 1，本题为 1型设 f() ，则原极限而 故原
4、极限 ，应选 A【知识模块】 极限、连续与求极限的方法2 【正确答案】 D【试题解析】 连续与不连续的复合可能连续，也可能间断，故选项 A，B 不对不连续函数的相乘可能连续，故选项 C 也不对，因此，选 D【知识模块】 极限、连续与求极限的方法3 【正确答案】 B【试题解析】 f()在 a 连续 f() 在 a 连续(f()f(a)f()f(a) ) f()在 a 连续 f()在 a 连续 如 f() f() 1，f()在 a 连续，但 f()在a 间断 因此，选 B【知识模块】 极限、连续与求极限的方法4 【正确答案】 D【试题解析】 若 为无穷小，则 y n0 因此选项 D 成立【知识模块
5、】 极限、连续与求极限的方法5 【正确答案】 C【知识模块】 极限、连续与求极限的方法二、填空题6 【正确答案】 3【试题解析】 原式 303【知识模块】 极限、连续与求极限的方法7 【正确答案】 12【知识模块】 极限、连续与求极限的方法8 【正确答案】 K L1-【试题解析】 属 1型极限原式 ，而因此，原式 K L1-【知识模块】 极限、连续与求极限的方法9 【正确答案】 2【试题解析】 f()在 0 连续 f(0)由于因此 a2【知识模块】 极限、连续与求极限的方法三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 属 型利用洛必达法则 原式【知识模块】 极限、连续与
6、求极限的方法11 【正确答案】 记 pn ，则原式 又( npn) t，因此，原式 e-t【知识模块】 极限、连续与求极限的方法12 【正确答案】 属型先通分，有【知识模块】 极限、连续与求极限的方法13 【正确答案】 原式【知识模块】 极限、连续与求极限的方法14 【正确答案】 属 00 型故原式 ，而故原式e -1【知识模块】 极限、连续与求极限的方法15 【正确答案】 属 0 型原式 ，而故原式e 01【知识模块】 极限、连续与求极限的方法16 【正确答案】 原式【知识模块】 极限、连续与求极限的方法17 【正确答案】 【知识模块】 极限、连续与求极限的方法18 【正确答案】 属 型【知
7、识模块】 极限、连续与求极限的方法19 【正确答案】 令 ，则所以原极限 【知识模块】 极限、连续与求极限的方法20 【正确答案】 属 1型极限原极限e A，而 因此，原极限【知识模块】 极限、连续与求极限的方法21 【正确答案】 被积函数中含有参数 ，把因子 提到积分号外后，易见所求极限为“ ”型未定式应当想到洛必达法则， 原式【知识模块】 极限、连续与求极限的方法22 【正确答案】 已知：设 f()A0， ()，则又 于是只需再求 a1a 2 的情形：因此，原极限【知识模块】 极限、连续与求极限的方法23 【正确答案】 注意 sintt，ln(1t)t(t0)，于是 ln (k 为常数)，
8、() 因此，先用求极限的四则运算法则，再利用等价无穷小因子替换可得 2【知识模块】 极限、连续与求极限的方法24 【正确答案】 注意立方和公式 132 3n 3(12n) 2则 原式【知识模块】 极限、连续与求极限的方法25 【正确答案】 注意 2 ，为利用倍角公式化简 n，两边同乘 sin ，得从而 0 时， 0 时， n1，则 n1【知识模块】 极限、连续与求极限的方法26 【正确答案】 分别求左、右极限：因此 f()1【知识模块】 极限、连续与求极限的方法27 【正确答案】 () 注意： ln(1) (0) ，于是 ln(1) 0 (n1， 2，3，) n有下界 0 极限 aln(1a)
9、 又a0 时 aln(1a)，故 a0 ()【知识模块】 极限、连续与求极限的方法28 【正确答案】 当 0a1 时 0 na n， an0；当 a1 时n 0； 当 a1 时 0 n 0 因此 n 0【知识模块】 极限、连续与求极限的方法29 【正确答案】 由题设知 利用(*)，一方面有 另一方面，直接计算又有 3a， 这表明 3a 0 a3 将 a3 代入(*)式，即得 b故 b 综合得 a 3，b 【知识模块】 极限、连续与求极限的方法30 【正确答案】 () 这是初等函数，它在定义域( 21)上连续因此，1 时均连续1 时， 故 1 是第一类间断点(跳跃的) 又 ，故 1 也是第一类间
10、断点(可去 ) ()先求极限函数1 时，1 与 1 分别与某初等函数相同，故连续 1 时均是第一类间断点(跳跃间断点) 因左、右极限均 ，不相等 ()在区间(0，)，1，0)上函数 y 分别与某初等函数相同，因而连续在 0 处 y 无定义，而推出 0 是第一类间断点 (可去间断点) ()f() 是初等函数，在(0，2， 3)内 f()有定义处均连续仅在 tan( )无定义处及 tan( )0 处f()不连续 在(0 ，2)内， tan( )无定义的点是： 0 的点是： 因此 f()的间断点是：为判断间断点类型，考察间断点处的极限：，则 是第二类间断点(无穷型的)又 ，则 是第一类间断点(可去型的) ()先求 fg()表达式当 1，1 时，fg()分别与某初等函数相同，因而连续当 1 时，分别求左、右极限故1 为第一类间断点 (跳跃间断点 )【知识模块】 极限、连续与求极限的方法31 【正确答案】 令 f()(2) ，则 n+1f( n)易知 f() 2(1)0， (0，1) 因 0 01 1 0(2 0)1( 01) 2(0，1) 若 n(0，1)n+1 n(2 n)(0，1) 又 1 0 0(1 0)0 n单调上升且有界 极限 na 由递归方程得 aa(2a) 显然 a0 a1因此 1【知识模块】 极限、连续与求极限的方法
