1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 23 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维行向量 ( ，0 ，0， )，AE T，BE 2 T，则 AB 为( )（A）0（B） E（C） E（D）E T2 设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）若 A，B 可逆，则 AB 可逆（B）若 A，B 可逆，则 AB 可逆（C）若 AB 可逆，则 AB 可逆（D）若 AB 可逆，则 A，B 都可逆3 设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是 ( )（A）AB 为对称矩阵（B）设 A，B 可逆，则 A-1B -1 为对称矩阵（C） AB 为对称
2、矩阵（D）kA 为对称矩阵4 设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）ABO 的充分必要条件是 AO 或 BO（B） ABO 的充分必要条件是 AO 且 BO（C） ABO 且 r(A)n，则 BO（D）若 ABO，则A0 或B05 n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则 ( )（A）AB（B） AB （C）若 A0 则B0（D）若A0 则B06 设 A 为 mn 阶矩阵，C 为，2 阶矩阵，BAC，且 r(A)r，r(B)r 1，则( )（A）rr 1（B） rr 1（C） rr1（D）r 与 r1 的关系依矩阵 C 的情况而定二、填空题7 设 A 为 n 阶
3、可逆矩阵(n2)，则(A *)*-1_(用 A*表示)8 设 (1， 1，2) T，(2，1，1) T，A T，则 An_9 A ，且 n2，则 An2A n-1_10 设 A ，则(A3E) -1(A2 一 9E)_11 A2B 2(AB)(AB)的充分必要条件是_ 12 设 A 是三阶矩阵，且A4，则 _13 设 A 为三阶矩阵，且A4，则 _14 设 A 为四阶矩阵，A *8，则 3A *_15 设 A 为三阶矩阵，且A3，则(2A) *_16 设 A ，则 A-1_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 求 (1)2B； (2)ABBA18 设 A，B 为 n 阶矩
4、阵，且 A2A，B 2B，(AB) 2AB证明：AB O 19 设 AXA2X，其中 A ，求 X20 设 A ，且 AXAEA *X，求 X21 设四阶矩阵 B 满足( A*)-1BA-12ABE，且 A ，求矩阵 B22 设 A，B 满足 A*BA2BA8E，且 A ，求 B23 设 B ，求 B-124 设 A (ai0，i1， 2，n)，求 A-1考研数学二（矩阵）模拟试卷 23 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 T ，得 AB(E T)(E2 T)E，选 C【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 B【试题解析】
5、若 A，B 可逆，则A0，B0，又ABA B，所以AB0，于是 AB 可逆，选 B【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 A【试题解析】 由(AB) TA TB TAB，得 AB 为对称矩阵；由(A -1B -1)T(A -1)T(B -1)TA -1B-1，得 A-1B -1 为对称矩阵；由(kA) TkA TkA ，得 kA 为对称矩阵，选 A【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 C【试题解析】 取 A O，B O，显然 ABO ，故 A、B 都不对，取 A ，B ，显然 AB ，但A 0且B 0，故 D 不对；由 ABO 得 r(A)r(B)n，因为 r(A)n，所以 r(B)0，于是 BO，
6、所以选 C【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 经过若干次初等变换化为 B，所以存在初等矩阵P1，P s， Q1，Q t，使得 BP sP1AQ1Qt，而 P1，P s，Q s，Q t都是可逆矩阵，所以 r(A)r(B)，若A0，即 r(A)n，则 r(B)n，即B 0，选 C【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 r1r(B)r(AC)r(A) r，所以选 C【知识模块】 矩阵二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 由 A*AA -1 得 (A *)*A *.(A *)-1A n-1.(A A -1)-1A n-1A， 故(A *)*-1 【知识模
7、块】 矩阵8 【正确答案】 【试题解析】 T3，A 2 T.T3 T3A， 则 An3 n-1A3 n-1【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 O【试题解析】 由 A22A 得 An2 n-1A，A n-12 n-2A，所以 An2A n-1O 【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 【试题解析】 (A3E) -1(A29E)(A 3E) -1(A3E)(A3E) A 3E 【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 ABBA【试题解析】 A 2B 2(AB)(AB)A 2BA ABB 2 的充分必要条件是ABBA【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 2【试题解析】 2A -12 3A -12【知识模块
8、】 矩阵13 【正确答案】 【试题解析】 由 A*AA -14A -1 得【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 8【试题解析】 因为 A 为四阶矩阵，且A *，所以A *A 38，于是A2 又 AA*AE2E，所以 A*2A -1，故 ( A)-13A *4A -16A -1( 2)A -1(2) 4A -116 8【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 576【试题解析】 因为(2A) *(2) 2A*4A *，所以(2A)*4A *4 3A 2649576【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】
9、 (1)2B(2) 3B8；则 ABBA 【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 由 A2A，B 2B 及(AB) 2ABA 2B 2AB BA 得ABBAO 或 ABBA ，AB BA 两边左乘 A 得 ABABA，再在ABBA 两边右乘 A 得 ABABA，则 ABBA ，于是 ABO【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 由 AXA2X 得(A2E)X A，其中 A2E 因为A2E10，所以 X(A 2E) -1A，【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 由 AXAEA *X 得 (A E)XA *AEA *AA *(E A)A *， 因为EA30，所以 EA 可逆，于是 XA *， 由A6 得 X6A -1，得 A-1 ，于是 X6A -1【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 A4，( A*)-1BA-12ABE ( AA -1)-1BA-12ABE ABA-12ABE B 2BAE B(E 2A) -1【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 由 A*BA2BA8E 得 AA*BA2ABA8A ， 即2BA2ABA8A，整理得(AE)B4E，所以 B4(A E) -1【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 令 B ，C(a n)， 则 A ， 从而 A-1【知识模块】 矩阵
