1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 24 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)r，则( )（A）rm（B） rm（C） rm（D）rm2 设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A*)1，则( )（A）r(A)1（B） r(A) 2（C） r(A) 3（D）r(A)43 设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 ABO，则( )（A）r(B) n（B） r(B)n（C） A2B 2(A B)(AB)（D）A04 设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为( )（A）
2、（B）（C）（D）5 设则 A，B 的关系为( )（A）BP 1P2A（B） BP 2P1A（C） BP 2AP1（D）BAP 2P16 设 ，又 P1，P 2 ，则( )（A）BP 1AP2（B） BP 2AP1（C） BP 1-1AP1（D）BP 1-1AP2-1二、填空题7 设 A ，则 A-1_8 设 A ，则(A *)-1_9 设 A ，则 A(A2E) -1_10 设 n 阶矩阵 A 满早 A2A3E，则(A3E) -1 _11 设 A ，则 _12 设 n 维列向量 (a， 0，0，a) T，其中 a 0，又AE T，BE T，且 B 为 A 的逆矩阵，则 a_13 设三阶矩阵
3、A，B；满足关系 A-1BA6ABA，且 A ，则B_ 14 设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)2，B ，则 r(AB)_15 设 A ，B 为三阶非零矩阵，且 ABO ，则 r(A)_16 ，则 P12009P2-1_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 n 阶矩阵 A 满足 A22A3EO求：(1)(A2E) -1；(2)(A4E) -118 设 A 为 n 阶矩阵，且 AkO，求(EA) -119 设 A，B 为 n 阶矩阵， (1)求 P.Q； (2)证明：当 P 可逆时，Q 也可逆20 设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2AE证明：A A *21 设 A 为 n
4、 阶矩阵，且 A22A8EO证明： r(4EA)r(2EA) n22 证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一23 设 A 是 mn 阶矩阵，若 ATAO，证明：AO考研数学二（矩阵）模拟试卷 24 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 AB 为 m 阶矩阵，r(A)n，r(B)n，而 r(AB)minr(A)，r(B)nm，所以选 C【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 r(A*) 1，所以 r(A)413 ，选 C【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ABO，所以 r(A)r
5、(B)n，又因为 B 是非零矩阵，所以r(B)1，从而 r(A)n ，于是 A0，选 D【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 D【试题解析】 A，B 都是可逆矩阵，因为 ， 所以， 故选 D【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 D【试题解析】 P 1E 12，P 2E 23(2)，显然 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列，再将第 1 及第 2 列对调，所以 BAE 23(2)E12AP 2P1，选 D【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 D【试题解析】 显然 B P 1AP2-1， 因为 P1-1P 1，所以应选 D【知识模块】 矩阵二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 设 ，则 A 于是
6、 A-1【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 【试题解析】 A10，因为 A*AA -1，所以 A*10A -1，故(A *)-1【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 (A4E)【试题解析】 由 A2A3E，得 A2A3EO ，(A3E)(A4E)9E ， (A 3E) (A4E)E，则(A 3E) -1 (A 4E)【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 【试题解析】 令 A( 1， 2， 3)，因为A2 所以 A*AA E2E， 而A*A(A *a1，A *2，A *3)，所以 A*1 ，A *2 ，A *1 于是【知识模块】 矩阵12 【正确
7、答案】 1【试题解析】 由 AB(Eaa T)(E T)E T T2a TE 且TO，得 12a0，解得 a1【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 【试题解析】 由 A*BA6ABA，得 A-1B6EB，于是(A -1E)B6E【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 2【试题解析】 因为B100，所以 r(AB)r(A)2【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 2【试题解析】 因为 ABO，所以 r(A)r(B)3 ，又因为 BO，所以 r(B)1，从而有 r(A)2，显然 A 有两行不成比例，故 r(A)2，于是 r(A)2【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 【试题解析】 P 1 E 23，因
8、为 Eij-1E ij，所以 Eij2E，于是 P 12009P2-1P 1P2-1【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 (1)由 A22A3EO 得 A(A2E)3E， A.(A2E) E，根据逆矩阵的定义，有(A2E) -1 A (2)由 A22A3EO 得(A4E)(A2E)5EO ，则(A 4E) -1 (A2E)【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 E kA k(EA)(E AA 2A k-1)，又 EkA kE ， 所以(EA) -1E AA 2A k-1【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 PQABE 2n (2)因为PAB，所以
9、当 P 可逆时，A B 0 ，而 PQA B E 即 PQE ，于是 Q 可逆且 Q-1P【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 因为 AA*AE，又已知 A2 AE，所以 AA*A 2，而 A 可逆，故 AA *【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 由 A22A8EO 得(4EA)(2EA)O ，根据矩阵秩的性质得 r(4EA) r(2EA)n又 r(4EA) r(2EA)r(4EA) (2EA)r(6E) n， 所以有 r(4EA)r(2EA)n【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 设存在可逆阵 B，C，使得 AB ACE ，于是 A(BC)O，故r(A)r(BC)n，因为 A 可逆，所以 r(A)n，从而 r(BC)0，BCO，于是BC，即 A 的逆矩阵是唯一的【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 因为 r(A)r(A TA)，而 ATAO，所以 r(A)0，于是 AO【知识模块】 矩阵
