1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 25 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 两个 4 阶矩阵满足 A2=B2，则（A）A=B（B） A=-B（C） A=B 或 A=-B（D）A=B或A=-B2 设 A 是 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行上得 B，将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列上得 C 则 C=( )（A）P -1AP（B） PAP-1（C） PTAP（D）PAP T3 设 A 为 3 阶矩阵，P=( 1， 2， 3)为 3 阶可逆矩阵，Q=( 1+2， 2， 3)已知PTAP= 则 QTAQ=( )4 设 A 是 3 阶可逆矩阵
2、，交换 A 的 1，2 行得 B，则（A）交换 A*的 1，2 行得到 B*（B）交换 A*的 1，2 列得到 B*（C）交换 A*的 1，2 行得到-B *（D）交换 A*的 1，2 列得到-B *5 设矩阵 A=(aij)33 满足 A*=AT，a 11，a 12，a 13 为 3 个相等的正数，则它们为（A）（B） 3（C） 13（D）二、填空题6 已知 1， 2 都是 3 阶矩阵 A 的特征向量，特征值分别为-1 和 1，又 3 维向量 3满足 A3=2+3.记 P=(1， 2， 3)，求 P-1AP=_.7 已知 1， 2 为 2 维列向量，矩阵 A=(21+2， 1-2)，B=(1
3、， 2)若A=6 ，B=_8 1， 2， 3 是线性无关的 3 维向量组，3 阶矩阵 A 满足 A1=1+22，A 2=2+23，A 3=3+21 A=_.9 设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 3，向量 1=(-1，2，-1) T， 2=(0，-1，1) T 都是齐次线性方程组 AX=0 的解A=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 (1)证明两个上三角矩阵 A 和 B 的乘积 AB 还是上三角矩阵；并且 AB 对角线元素就是 A 和 B 对应对角线元素的乘积 (2)证明上三角矩阵 A 的方幂 Ak 与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且 Ak 的对角线元素为 a11
4、k，a 22k，a 33k；f(A)的对角线元素为 f(a11)，f(a 22)， ，f(a nn) (a 11，a 22，a nn 是 A 的对角线元素)11 n 维向量 =(a，0，0，a) T，a0，A=E- T，A -1=E+a-1T，求 a12 A=E-T，其中 ， 都是 n 维非零列向量，已知 A2=3E-2A，求 T13 设 A=T，其中 和 都是 n 维列向量，证明对正整数 k， A k=(T)k-1A=(tr(A)k-1A (tr(A) 是 A 的对角线上元素之和，称为 A 的迹数)14 T= ，求 T15 设 A= ，求 An16 求17 设 A= (1)证明当 n1 时
5、An=An-2+A2-E(2) 求 An18 求19 3 阶矩阵 A，B 满足 ABA*=2BA*+E，其中 A= ，求B20 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A1=1+2+3，A 2=22+3，A 3=22+33 求作矩阵 B，使得 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)B21 A 是 3 阶矩阵， 是 3 维列向量，使得 P=(，A ，A 2)可逆，并且 A3=3A-2A2 (1)求 B，使得 A=PBP-1 (2)求A+E 22 设 3 阶矩阵 A=(1， 2， 3)，A=1 ，B=( 1+2+3， 1+22+33， 1+42+93)，求B
6、 23 已知24 设 A，B 和 C 都是 n 阶矩阵，其中 A，B 可逆，求下列 2n 阶矩阵的逆矩阵25 设 3 阶矩阵 A= A-1XA=XA+2A，求 X26 矩阵 A= ，求解矩阵方程 2A=XA-4X27 4 阶矩阵 A，B 满足 ABA-1=BA-1+3E，已知 A*= ，求 B28 已知 A= ，XA+2B=AB+2X，求 X201729 设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 2，向量 1=(-1，1，1) T， 2=(2，-1，1) T 都是齐次线性方程组 AX=0 的解求 A30 设 A 是 3 阶矩阵，交换 A 的 1，2 列得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列
7、上，得C求 Q，使得 C=AQ31 设 A，B 和 C 都是 n 阶矩阵，其中 A，B 可逆，求下列 2n 阶矩阵的伴随矩阵32 设 A 是 n 阶非零实矩阵，满足 A*=AT证明A 033 设 A=(1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3)都是 3 阶矩阵规定 3 阶矩阵证明 C 可逆的充分必要条件是 A，B 都可逆34 设 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明 E+A 可逆35 设 A，B 都是 n 阶矩阵，E-AB 可逆证明 E-BA 也可逆，并且(E-BA) -1=E+B(E-AB)-1A考研数学二（矩阵）模拟试卷 25 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目
8、要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对 A2=B2 两边取行列式，得A 2=B 2 A 2-B 2=0 (A-B)(A+B)=0 A -B=0 或A+B=0即A=B或A =-B【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 B【试题解析】 根据初等矩阵的有关性质，则 B=PA，C=BP -1，得 C=PA-1【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 A【试题解析】 显然关键是 Q 和 P 的关系由矩阵分解，有 Q= ，则QT= PT于是 QTAQ= PTAP =QTAQ=【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 D【试题解析】 B= 因为 A 是可逆矩阵，所以 B 也可逆，则B*=B -1B= A=-A，B *=
9、A* 于是 B *=-A*得结论：交换 A*的 1，2 列得到-B *【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 A【知识模块】 矩阵二、填空题6 【正确答案】 【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 -2【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 9【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 (1)方法一 设 A 和 B 都是 n 阶上三角矩阵，C=AB，要说明 C 的对角线下的元素都为 0，即 ij 时，c ij=0c ij=A 的第 i 个行向量和 B 的第 j 个列向量对应分量乘积之和由于 A 和 B 都是 n 阶上三角矩阵，
10、 A 的第 i 个行向量的前面 i-1 个分量都是 0，B 的第 j 个列向量的后面 n-j 个分量都是 0，而 i-1+n-j=n+(i-j-1)n，因此 cij=0 c ii=ai1b1i+aii-1bi-1i+aiibii+aii+1+bi+1i+ainbni =aiibii(ai1=aii-1=0，b i+1i=bni=0) 方法二 设 A=(1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，C=(1， 2， n)要证明每个 i 下面的 n-i 个分量都是 0 由(2 1)，i=Ai而 i 的下面 n-i 个分量都是 0，于是用(2 2) i=b1i1+b2i2+biii 则因为 1， 2，
11、 ， i 的下面 n-i 个分量都是 0，所以 i 的下面 n-i 个分量也都是 0 并且 i 的第 i 个分量是(C 的一个对角线元素) c i=b1iai1+b2iai2+biiaii=aiibii (因为ai1=ai2=aii-1=0) (2) 设 A 是上三角矩阵由(1)，直接可得 Ak 是上三角矩阵，并且对角线元素为 a11k，a 22k，a nnk 设 f(A)=amAm+am-1Am-1+a1A+a0E.aiAi 都是上三角矩阵，作为它们的和，f(A) 也是上三角矩阵f(A) 的对角线元素作为它们的对角线元素的和，是 f(a11)，f(a 22)，f(a nn)【知识模块】 矩阵
12、11 【正确答案】 (E- T)(E+a-1T)=E E+a-1T-T-a-1TT=E a-1T-T-a-1TT=0，( T=2a2) (a-1-1-2a)T=0， a -1-1-2a=0， (因为 T 不是零矩阵) 1-a-2a2=0，a=-1 【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 A 2=3E-2A，A 2+2A-3E=0(A+3E)(A-E)=0，(4E- T)(-T)=0，4 T-TT=0，( T是数!)(4- T)T=0，(由于 ， 都是非零列向量， T 不是零矩阵) 4-T=0， T=4，从而 T=T=4【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 A k=(T)k=TT TT=(T)(T
13、)( T)T=(T)k-1A T=a1b1+a2b2+a2b2，而 a1b1，a 2b2，ab nn 正好的 A=T 的对角线上各元素，于是 T=tr(A)， A k=(tr(A)k-1A【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 ( T)2=(T)T，计算( T)2=3T得 T=3【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 A 的秩为 2，不符合例 25 注的条件，不能用例 25 的方法直接求 A 的方幂我们先求A2A 2= =2AA 2=2A 即 AA=2A，A 在乘 A上的作用相当于 2 乘 A，于是 An=An-1A=2n-1A【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 记此矩阵为 AA 2=A3=-2
14、A即 A 2A=-2A则 A2017=(A2)1008A=(-2)1008A=21008A【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 (1)A n=An-2+A2-E 即 A 2-An-2=A2-E A n-2(A2-E)=A2-E只要证明A(A2-E)=A2-E此式可以直接检验：A(A2-E)=A2-E(2)把 An=An-2+A2-E 作为递推公式求Ann 是偶数 2k 时：A 2k=A2k-2+A2-E=A2k+4+2(A2-E)=k(A2-E)+En 是奇数2k+1 时： A2k+1=AA2k=Ak(A2-E)+E=k(A2-E)+A【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 记此矩阵为 A，记
15、B= ，则 A=B+E因为 B 和 E 乘积可交换，对 A10=(B+E)10 可用二项展开式： (B+E)10= C10iB10-i注意矩阵 B 满足：B2= ，而当 n2 时 Bn 是零矩阵于是A10=C108B2+C109B+E=45B2+10B+E= .【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 用 A 从右侧乘 ABA*=2BA*+E 的两边，得AAB=2 AB+A，A(A-2E)B=A ，两边取行列式 A 3A-2EB=A，【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 由于 1， 2， 3，线性无关，矩阵 P=(1， 2， 3)可逆，并且E=P-1(1， 2， 3)=(P-11，P -12，P
16、-13)，则 P-11=(1，0，0) T，P -12=(0，1，0) T，P -13=(0， 0，1) T，于是 B=P-1AP=P-1A(1， 2， 3)=P-1(1+2+3， 21+3，2 2+3，2 2+33)【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 (1)A=PBP -1 即 AP=PB 或 A(，A，A 2)=(，A，A 2)B A(，A，A 2)=(A，A 2，A 3)=(A，A 2，3A-2A 2)=(，A，A 2)(矩阵分解法) (2)A+E=P(B+E)P-1则A+E=P B+EP -1=B+E= =-4【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 B=( 1+2+3， 1+22+33
17、， 1+42+93)=(1， 2， 3) B= 1， 2， 3 =2【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 记 =(a1，a 2，a 3)T，=(b 1，b 2，b 3)T，=(c 1，c 2，c 3)T，所求行列式相应的矩阵为： (+，+，+)将它对 (，) 做矩阵分解，得(+，+，+)=(，) 两边求行列式，得所求行列式的值：+ ，+，+ = ， =3(3+3)【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 因为 A，B 都可逆，所以这几个矩阵都可逆 的逆矩阵可用初等变换法计算： 的逆矩阵也可用初等变换法计算： 的逆矩阵用“待定系数法 ”计算：即设它的逆矩阵为 ，求 Dij由则 BD21=0，得D21
18、=0(因为 B 可逆)BD 22=E，得 D22=B-1AD 11+CD21=E，即 AD11=E，得 D11=A-1AD 12+CD22=0，得 D12=-A-1CB-1 用 的方法，得【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 A -1XA=XA+2A A-1X=X+2E X=AX+2A (E-A)X=2A，用初等变换法解此基本矩阵方程：【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 化 2A=XA-4X 得 X(A-4E)=2A用初等变换法解此矩阵方程：(AT-4E2A T)【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 用 A 右乘 ABA-1=BA-1+3E 的两边，得 AB=B+3A；再用 A*从左乘两边，
19、得AB=A *B+3AE，由A *=8 ，得A=2，代入上式： (2E-A*)B=6E，用初等变换法求得【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 由 XA+2B=AB+2X 化得：X(A-2E)=(A-2E)B，即 X=(A-2E)B(A-2E)-1，则 X2017=(A-2E)B2017(A-2E)-1=(A-2E)B(A-2E)-1=X，再从关于 X 的矩阵方程X(A-2E)=(A-2E)B 用初等变换法求解 X：(A-2E) TB(A-2E) T)=(AT-2EB(A T-2E)【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 令 3=(1，1，1) T，则 A3=(2，2，2) T，建立矩阵方程：A(
20、1， 2， 3)=(0，0，2 3)，用初等变换法解得【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 用矩阵分解记 A=(1， 2， 3)，则 B=(2， 1， 3)，C=(2， 1， 1+3)于是【知识模块】 矩阵31 【正确答案】 因为 A，B 都可逆，所以这几个矩阵都可逆于是可利用公式A*=AA -1 来求伴随矩阵 =AB，=(-1)nAB ，=A B ，=(-1)nAB ，【知识模块】 矩阵32 【正确答案】 把条件 A*=AT 写出，则 aij=Aij， 于是A= aijAij= aij2， (也可从 AAT=AA*=AE，也可得到A= aij2， )由于 A 是实矩阵，其元素的平方0，又 A
21、 有非 0 元素，得A0【知识模块】 矩阵33 【正确答案】 由矩阵乘法的定义可看出(或用乘法的分块法则)C= (1， 2， 3)=ATB于是C = A TB =AB则C0 A0 并且B0 即 C 可逆 A，B 都可逆【知识模块】 矩阵34 【正确答案】 A 是一个抽象矩阵，因此用行列式证明是困难的下面的证明思路是通过(E+A)X=0 只有零解来说明结论 设 是一个 n 维实向量，满足(E+A)=0，要证明 =0用 T 左乘上式，得 T(E+A)=0，即 T=-TA 由于 A 是反对称矩阵， TA是一个数， TA=(TA)T=-TA，因此 TA=0，于是 T=0 是实向量，(，)= T=0，从而 =0【知识模块】 矩阵35 【正确答案】 本题看似要证明两个结论，实际上只要证明等式(E-BA)E+b(E-AB)TA=E 成立，两个结论就都得到了! (E-BA)E+B(E-AB) -1A-(E-BA)+(E-BA)B(E-AB)-1A =(E-BA)+(B-BAB)(E-AB)-1A =(E-BA)+B(E-AB)(E-AB)-1A =E-BA+bA=E【知识模块】 矩阵
