[考研类试卷]考研数学二(矩阵)模拟试卷25及答案与解析.doc

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1、考研数学二(矩阵)模拟试卷 25 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 两个 4 阶矩阵满足 A2=B2,则(A)A=B(B) A=-B(C) A=B 或 A=-B(D)A=B或A=-B2 设 A 是 3 阶矩阵,将 A 的第 2 行加到第 1 行上得 B,将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列上得 C 则 C=( )(A)P -1AP(B) PAP-1(C) PTAP(D)PAP T3 设 A 为 3 阶矩阵,P=( 1, 2, 3)为 3 阶可逆矩阵,Q=( 1+2, 2, 3)已知PTAP= 则 QTAQ=( )4 设 A 是 3 阶可逆矩阵

2、,交换 A 的 1,2 行得 B,则(A)交换 A*的 1,2 行得到 B*(B)交换 A*的 1,2 列得到 B*(C)交换 A*的 1,2 行得到-B *(D)交换 A*的 1,2 列得到-B *5 设矩阵 A=(aij)33 满足 A*=AT,a 11,a 12,a 13 为 3 个相等的正数,则它们为(A)(B) 3(C) 13(D)二、填空题6 已知 1, 2 都是 3 阶矩阵 A 的特征向量,特征值分别为-1 和 1,又 3 维向量 3满足 A3=2+3.记 P=(1, 2, 3),求 P-1AP=_.7 已知 1, 2 为 2 维列向量,矩阵 A=(21+2, 1-2),B=(1

3、, 2)若A=6 ,B=_8 1, 2, 3 是线性无关的 3 维向量组,3 阶矩阵 A 满足 A1=1+22,A 2=2+23,A 3=3+21 A=_.9 设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 3,向量 1=(-1,2,-1) T, 2=(0,-1,1) T 都是齐次线性方程组 AX=0 的解A=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 (1)证明两个上三角矩阵 A 和 B 的乘积 AB 还是上三角矩阵;并且 AB 对角线元素就是 A 和 B 对应对角线元素的乘积 (2)证明上三角矩阵 A 的方幂 Ak 与多项式f(A)也都是上三角矩阵;并且 Ak 的对角线元素为 a11

4、k,a 22k,a 33k;f(A)的对角线元素为 f(a11),f(a 22), ,f(a nn) (a 11,a 22,a nn 是 A 的对角线元素)11 n 维向量 =(a,0,0,a) T,a0,A=E- T,A -1=E+a-1T,求 a12 A=E-T,其中 , 都是 n 维非零列向量,已知 A2=3E-2A,求 T13 设 A=T,其中 和 都是 n 维列向量,证明对正整数 k, A k=(T)k-1A=(tr(A)k-1A (tr(A) 是 A 的对角线上元素之和,称为 A 的迹数)14 T= ,求 T15 设 A= ,求 An16 求17 设 A= (1)证明当 n1 时

5、An=An-2+A2-E(2) 求 An18 求19 3 阶矩阵 A,B 满足 ABA*=2BA*+E,其中 A= ,求B20 设 A 为 3 阶矩阵, 1, 2, 3 是线性无关的 3 维列向量组,满足 A1=1+2+3,A 2=22+3,A 3=22+33 求作矩阵 B,使得 A(1, 2, 3)=(1, 2, 3)B21 A 是 3 阶矩阵, 是 3 维列向量,使得 P=(,A ,A 2)可逆,并且 A3=3A-2A2 (1)求 B,使得 A=PBP-1 (2)求A+E 22 设 3 阶矩阵 A=(1, 2, 3),A=1 ,B=( 1+2+3, 1+22+33, 1+42+93),求B

6、 23 已知24 设 A,B 和 C 都是 n 阶矩阵,其中 A,B 可逆,求下列 2n 阶矩阵的逆矩阵25 设 3 阶矩阵 A= A-1XA=XA+2A,求 X26 矩阵 A= ,求解矩阵方程 2A=XA-4X27 4 阶矩阵 A,B 满足 ABA-1=BA-1+3E,已知 A*= ,求 B28 已知 A= ,XA+2B=AB+2X,求 X201729 设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 2,向量 1=(-1,1,1) T, 2=(2,-1,1) T 都是齐次线性方程组 AX=0 的解求 A30 设 A 是 3 阶矩阵,交换 A 的 1,2 列得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列

7、上,得C求 Q,使得 C=AQ31 设 A,B 和 C 都是 n 阶矩阵,其中 A,B 可逆,求下列 2n 阶矩阵的伴随矩阵32 设 A 是 n 阶非零实矩阵,满足 A*=AT证明A 033 设 A=(1, 2, 3),B=( 1, 2, 3)都是 3 阶矩阵规定 3 阶矩阵证明 C 可逆的充分必要条件是 A,B 都可逆34 设 A 是 n 阶实反对称矩阵,证明 E+A 可逆35 设 A,B 都是 n 阶矩阵,E-AB 可逆证明 E-BA 也可逆,并且(E-BA) -1=E+B(E-AB)-1A考研数学二(矩阵)模拟试卷 25 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目

8、要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对 A2=B2 两边取行列式,得A 2=B 2 A 2-B 2=0 (A-B)(A+B)=0 A -B=0 或A+B=0即A=B或A =-B【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 B【试题解析】 根据初等矩阵的有关性质,则 B=PA,C=BP -1,得 C=PA-1【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 A【试题解析】 显然关键是 Q 和 P 的关系由矩阵分解,有 Q= ,则QT= PT于是 QTAQ= PTAP =QTAQ=【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 D【试题解析】 B= 因为 A 是可逆矩阵,所以 B 也可逆,则B*=B -1B= A=-A,B *=

9、A* 于是 B *=-A*得结论:交换 A*的 1,2 列得到-B *【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 A【知识模块】 矩阵二、填空题6 【正确答案】 【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 -2【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 9【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 (1)方法一 设 A 和 B 都是 n 阶上三角矩阵,C=AB,要说明 C 的对角线下的元素都为 0,即 ij 时,c ij=0c ij=A 的第 i 个行向量和 B 的第 j 个列向量对应分量乘积之和由于 A 和 B 都是 n 阶上三角矩阵,

10、 A 的第 i 个行向量的前面 i-1 个分量都是 0,B 的第 j 个列向量的后面 n-j 个分量都是 0,而 i-1+n-j=n+(i-j-1)n,因此 cij=0 c ii=ai1b1i+aii-1bi-1i+aiibii+aii+1+bi+1i+ainbni =aiibii(ai1=aii-1=0,b i+1i=bni=0) 方法二 设 A=(1, 2, n),B=( 1, 2, n),C=(1, 2, n)要证明每个 i 下面的 n-i 个分量都是 0 由(2 1),i=Ai而 i 的下面 n-i 个分量都是 0,于是用(2 2) i=b1i1+b2i2+biii 则因为 1, 2,

11、 , i 的下面 n-i 个分量都是 0,所以 i 的下面 n-i 个分量也都是 0 并且 i 的第 i 个分量是(C 的一个对角线元素) c i=b1iai1+b2iai2+biiaii=aiibii (因为ai1=ai2=aii-1=0) (2) 设 A 是上三角矩阵由(1),直接可得 Ak 是上三角矩阵,并且对角线元素为 a11k,a 22k,a nnk 设 f(A)=amAm+am-1Am-1+a1A+a0E.aiAi 都是上三角矩阵,作为它们的和,f(A) 也是上三角矩阵f(A) 的对角线元素作为它们的对角线元素的和,是 f(a11),f(a 22),f(a nn)【知识模块】 矩阵

12、11 【正确答案】 (E- T)(E+a-1T)=E E+a-1T-T-a-1TT=E a-1T-T-a-1TT=0,( T=2a2) (a-1-1-2a)T=0, a -1-1-2a=0, (因为 T 不是零矩阵) 1-a-2a2=0,a=-1 【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 A 2=3E-2A,A 2+2A-3E=0(A+3E)(A-E)=0,(4E- T)(-T)=0,4 T-TT=0,( T是数!)(4- T)T=0,(由于 , 都是非零列向量, T 不是零矩阵) 4-T=0, T=4,从而 T=T=4【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 A k=(T)k=TT TT=(T)(T

13、)( T)T=(T)k-1A T=a1b1+a2b2+a2b2,而 a1b1,a 2b2,ab nn 正好的 A=T 的对角线上各元素,于是 T=tr(A), A k=(tr(A)k-1A【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 ( T)2=(T)T,计算( T)2=3T得 T=3【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 A 的秩为 2,不符合例 25 注的条件,不能用例 25 的方法直接求 A 的方幂我们先求A2A 2= =2AA 2=2A 即 AA=2A,A 在乘 A上的作用相当于 2 乘 A,于是 An=An-1A=2n-1A【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 记此矩阵为 AA 2=A3=-2

14、A即 A 2A=-2A则 A2017=(A2)1008A=(-2)1008A=21008A【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 (1)A n=An-2+A2-E 即 A 2-An-2=A2-E A n-2(A2-E)=A2-E只要证明A(A2-E)=A2-E此式可以直接检验:A(A2-E)=A2-E(2)把 An=An-2+A2-E 作为递推公式求Ann 是偶数 2k 时:A 2k=A2k-2+A2-E=A2k+4+2(A2-E)=k(A2-E)+En 是奇数2k+1 时: A2k+1=AA2k=Ak(A2-E)+E=k(A2-E)+A【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 记此矩阵为 A,记

15、B= ,则 A=B+E因为 B 和 E 乘积可交换,对 A10=(B+E)10 可用二项展开式: (B+E)10= C10iB10-i注意矩阵 B 满足:B2= ,而当 n2 时 Bn 是零矩阵于是A10=C108B2+C109B+E=45B2+10B+E= .【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 用 A 从右侧乘 ABA*=2BA*+E 的两边,得AAB=2 AB+A,A(A-2E)B=A ,两边取行列式 A 3A-2EB=A,【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 由于 1, 2, 3,线性无关,矩阵 P=(1, 2, 3)可逆,并且E=P-1(1, 2, 3)=(P-11,P -12,P

16、-13),则 P-11=(1,0,0) T,P -12=(0,1,0) T,P -13=(0, 0,1) T,于是 B=P-1AP=P-1A(1, 2, 3)=P-1(1+2+3, 21+3,2 2+3,2 2+33)【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 (1)A=PBP -1 即 AP=PB 或 A(,A,A 2)=(,A,A 2)B A(,A,A 2)=(A,A 2,A 3)=(A,A 2,3A-2A 2)=(,A,A 2)(矩阵分解法) (2)A+E=P(B+E)P-1则A+E=P B+EP -1=B+E= =-4【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 B=( 1+2+3, 1+22+33

17、, 1+42+93)=(1, 2, 3) B= 1, 2, 3 =2【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 记 =(a1,a 2,a 3)T,=(b 1,b 2,b 3)T,=(c 1,c 2,c 3)T,所求行列式相应的矩阵为: (+,+,+)将它对 (,) 做矩阵分解,得(+,+,+)=(,) 两边求行列式,得所求行列式的值:+ ,+,+ = , =3(3+3)【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 因为 A,B 都可逆,所以这几个矩阵都可逆 的逆矩阵可用初等变换法计算: 的逆矩阵也可用初等变换法计算: 的逆矩阵用“待定系数法 ”计算:即设它的逆矩阵为 ,求 Dij由则 BD21=0,得D21

18、=0(因为 B 可逆)BD 22=E,得 D22=B-1AD 11+CD21=E,即 AD11=E,得 D11=A-1AD 12+CD22=0,得 D12=-A-1CB-1 用 的方法,得【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 A -1XA=XA+2A A-1X=X+2E X=AX+2A (E-A)X=2A,用初等变换法解此基本矩阵方程:【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 化 2A=XA-4X 得 X(A-4E)=2A用初等变换法解此矩阵方程:(AT-4E2A T)【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 用 A 右乘 ABA-1=BA-1+3E 的两边,得 AB=B+3A;再用 A*从左乘两边,

19、得AB=A *B+3AE,由A *=8 ,得A=2,代入上式: (2E-A*)B=6E,用初等变换法求得【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 由 XA+2B=AB+2X 化得:X(A-2E)=(A-2E)B,即 X=(A-2E)B(A-2E)-1,则 X2017=(A-2E)B2017(A-2E)-1=(A-2E)B(A-2E)-1=X,再从关于 X 的矩阵方程X(A-2E)=(A-2E)B 用初等变换法求解 X:(A-2E) TB(A-2E) T)=(AT-2EB(A T-2E)【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 令 3=(1,1,1) T,则 A3=(2,2,2) T,建立矩阵方程:A(

20、1, 2, 3)=(0,0,2 3),用初等变换法解得【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 用矩阵分解记 A=(1, 2, 3),则 B=(2, 1, 3),C=(2, 1, 1+3)于是【知识模块】 矩阵31 【正确答案】 因为 A,B 都可逆,所以这几个矩阵都可逆于是可利用公式A*=AA -1 来求伴随矩阵 =AB,=(-1)nAB ,=A B ,=(-1)nAB ,【知识模块】 矩阵32 【正确答案】 把条件 A*=AT 写出,则 aij=Aij, 于是A= aijAij= aij2, (也可从 AAT=AA*=AE,也可得到A= aij2, )由于 A 是实矩阵,其元素的平方0,又 A

21、 有非 0 元素,得A0【知识模块】 矩阵33 【正确答案】 由矩阵乘法的定义可看出(或用乘法的分块法则)C= (1, 2, 3)=ATB于是C = A TB =AB则C0 A0 并且B0 即 C 可逆 A,B 都可逆【知识模块】 矩阵34 【正确答案】 A 是一个抽象矩阵,因此用行列式证明是困难的下面的证明思路是通过(E+A)X=0 只有零解来说明结论 设 是一个 n 维实向量,满足(E+A)=0,要证明 =0用 T 左乘上式,得 T(E+A)=0,即 T=-TA 由于 A 是反对称矩阵, TA是一个数, TA=(TA)T=-TA,因此 TA=0,于是 T=0 是实向量,(,)= T=0,从而 =0【知识模块】 矩阵35 【正确答案】 本题看似要证明两个结论,实际上只要证明等式(E-BA)E+b(E-AB)TA=E 成立,两个结论就都得到了! (E-BA)E+B(E-AB) -1A-(E-BA)+(E-BA)B(E-AB)-1A =(E-BA)+(B-BAB)(E-AB)-1A =(E-BA)+B(E-AB)(E-AB)-1A =E-BA+bA=E【知识模块】 矩阵

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