1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维行向量 = ，A=E- T，B=E+2 T，则 AB 为( )（A）O（B） -E（C） E（D）E+ T2 设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 AB=O，则( )（A）r(B)=n（B） r(B)2【试题解析】 二次型的矩阵为 A= ，因为二次型为正定二次型，所以有 50， =10，A0 ，解得 t2【知识模块】 线性代数部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分15 【正确答案】 【知识模块
2、】 线性代数部分16 【正确答案】 因为 AA*=AE ，又已知 A2=A E，所以 AA*=A2，而 A 可逆，故 A=A*【知识模块】 线性代数部分17 【正确答案】 设 1， n 为一个向量组，且 1， r(r1，k r，使得k11+krr=0，于是 k11+krr+0r+1+0 n=0，因为 k1，k 1，0，0不全为零，所以 1， n 线性相关【知识模块】 线性代数部分18 【正确答案】 令 A=1， 2， 4 为一个极大线性无关组， 3=31+2， 5=21+2【知识模块】 线性代数部分19 【正确答案】 因为 r(A)=2，所以 t=1，方程组的通解为 (k1，k 2 为任意常数
3、)【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分20 【正确答案】 由 A= 得 ，解得a=1，b=1，=3由E-A= =(-2)(-3)=0 得1=0， 2=2， 3=3【知识模块】 线性代数部分21 【正确答案】 因为 A 的特征值都是单值，所以 A 可相似对角化将 1=0 代入(E-A)X=0 得 1=0 对应的线性无关特征向量为 1= 将 2=2 代入(E-A)X=0 得2=2 对应的线性无关特征向量为 2= 将 3=3 代入(E-A)X=0 得 3=3 对应的线性无关特征向量为 3=【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分22 【正确答案】 因为 3 为 A 的特征
4、值，所以3E-A=0，解得 y=2【知识模块】 线性代数部分23 【正确答案】 (AP) T(AP)=pTATAP=pTA2P，A 2= ，令 A1= ，E-A1=0 得 1=1， 2=9，当 =1 时，由(E-A 1)X=0 得 1= ；=9 时，由(9E-A 1)X=0 得 2= ，单位化得【知识模块】 线性代数部分24 【正确答案】 令 A=0，即 ，解得 0=4，x=10，y=-9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知 =14【知识模块】 线性代数部分25 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)=XTAX，其中 =(+3)(-3)2=0 得 1=-3， 2=3=3由(-3E-A)
5、X=0 得 1=-3 对应的线性无关的特征向量为 1=由(3E-A)X=0 得 2=3=3 对应的线性无关的特征向量为 将2， 3 正交化得 ，单位化得则 f(x1，x 2，x 3)=XTAXYT(QTAQ)Y=-3y12+3y2x2+3y3x2【知识模块】 线性代数部分26 【正确答案】 令 ，则 f(x1，x 2，x 3)=XTAX，f(x 1，x 2，x 3)=x12+2x2x2-5x3x2+2x1x2-2x1x3+2x2x3=(x1+x2-x3)2+(x2+2x3)2-10x32， 且 f(x1，x 2，x 3) YT(pTAP)Y=y12+y2x2-10y3x2【知识模块】 线性代数部分
