1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则下列向量中是 A 的特征向量的是 ( )（A） 1=1，2，1 T（B） 2=1，一 2，1 T（C） 3=2，1，2 T（D） 4=2，1，一 2T2 A，B 是 n 阶矩阵，且 AB，则 ( )（A）A，B 的特征矩阵相同（B） A，B 的特征方程相同（C） A，B 相似于同一个对角阵（D）存在 n 阶方阵 Q，使得 QTAQ=B3 下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是 ( )4 下列矩阵中不能相似于对角阵的矩阵是5 A 是 nn 矩阵，则 A 相似于对角阵的充分必要条件是
2、 ( )（A）A 有 n 个不同的特征值（B） A 有 n 个不同的特征向量（C） A 的每个 ri 重特征值 i，r( iE-A)=n 一 ri（D）A 是实对称矩阵6 设 其中与对角矩阵相似的有 ( )（A）A，B，C（B） B，D（C） A，C ， D（D）A，C7 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆且 AB，则下列命题中： ABBA ； A2 B2； A TB T； A -1B -1 正确命题的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）48 设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 有一特征值等于 ( )9 已知 1 是矩阵 A 属于特征值 =2 的特征向量， 2，
3、3 是矩阵A 属于特征值 =6 的线性无关的特征向量，那么矩阵 P 不能是 ( )（A） 1，一 2， 3（B） 1， 2+3， 223（C） 1， 3， 2（D） 1+2， 1-2， 310 设 A，B 均是 n 阶实对称矩阵，则 A，B 合同的充分必要条件是 ( )（A）A，B 有相同的特征值（B） A，B 有相同的秩（C） A，B 有相同的正、负惯性指数（D）A，B 均是可逆阵11 设 A 是 n 阶实矩阵，将 A 的第 i 列与 j 列对换，然后再将第 i 行和第 j 行对换，得到 B，则 A，B 有 ( )12 下列矩阵中与 合同的矩阵是 ( )13 实二次型 f(x1，x 2，x
4、n)的秩为 r，符号差为 s，且 f 和一 f 合同，则必有 ( )（A）r 是偶数，s=1（B） r 是奇数，s=1（C） r 是偶数，s=0（D）r 是奇数，s=014 设 A=E 一 2XXT，其中 X=x1，x 2，x nT，且 XTX=1，则 A 不是 ( )（A）对称阵（B）可逆阵（C）正交阵（D）正定阵二、填空题15 与 1=1， 2，3，一 1T， 2=0，1，1，2 T， 3=2，1，3，0 T 都正交的单位向量是_16 已知 =a，1，1 T 是矩阵 A= 的逆矩阵的特征向量，那么a=_17 已知 =1，3，2 T，=1，一 1，一 2T，A=E- T，则 A 的最大特征值
5、为_18 已知 则 r(A-E)+r(2E+A)=_19 设 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3 是三个线性无关的三维列向量，满足Ai=i， i=1，2，3，则 A=_20 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+x22+x33+2tx1x2+tx2x3 是正定的，则 t 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设实对称矩阵 ，求可逆矩阵 P，使 P-1AP 为对角矩阵，并计算行列式|AE|的值22 设 问 A，B 是否相似，为什么?23 设 A 是三阶矩阵， 1=1， 2=2， 3=3 是 A 的特征值，对应的特征向量分别是 1=2，2，一 1T， 2=
6、一 1，2，2 T， 3=2，一 1，2 T又 =1，2，3 T，计算：(1)An1；(2)A n24 已知二次型 f(x 1，x 2，x 3)=4x22 一 3x32+4x1x24x1x3+8x2x3 (1)写出二次型 f 的矩阵表达式； (2)用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵25 已知 f(x1， x2，x 3)=5x12+5x22+cx32-2x1x2+6x1x36x2x3 的秩为 2试确定参数 c 及二次型对应矩阵的特征值，并问 f(x1，x 2，x 3)=1 表示何种曲面26 已知 A 是 mn 矩阵，mn 证明：AA T 是对称阵，并且 AAT 正定的充要条
7、件是r(A)=m27 设矩阵 矩阵 B=(kE+A)2，求对角阵 A，使得 B 和 A 相似，并问 k为何值时，B 为正定阵28 设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵， BT 为 B 的转置矩阵，试证：BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n29 设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵已知矩阵 B=E+ATA，试证：当0 时，矩阵 B 为正定矩阵30 证明：实对称矩阵 A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵 B，使得 AB+BTA 正定31 设 A 与 B 均为正交矩阵，并且|A|+|B|=0，证明：A+B 不可逆32 已知 f(x， y)=x2+
8、4xy+y2，求正交变换 P， 使得33 设 A=(aij)nn 为实对称矩阵，求二次型函数 f(x1，x 2，x n)= 在 Rn 上的单位球面 S：x 12+x22+xn2=1 上的最大值与最小值34 已知三元二次型 XTAX 经正交变换化为 2y12 一 y22 一 y32，又知矩阵 B 满足矩阵方程 其中 =1，1，一 1T，A* 为 A 的伴随矩阵,求二次型 XTBX 的表达式35 设 A 为 n 阶正定矩阵，证明：存在唯一正定矩阵 H，使得 A=H236 设方阵 A1 与 B1 合同，A 2 与 B2 合同，证明： 合同考研数学二（线性代数）模拟试卷 21 答案与解析一、选择题下列
9、每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因 A2= 故 2 是 A 的对应于=一 2 的特征向量其余的 1， 3， 4 均不与 A1，A 3，A 4 对应成比例，故都不是 A 的特征向量【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 AB，存在可逆阵，使得 P -1AP=B |E 一 B|=|E 一 P-1AP|=|P-1(E 一 A)P|=|P-1|E 一 A|P|=|E 一 A|【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 四个选项的矩阵，特征值均为 1，1，2，能相似于对角阵的矩阵，要求对应二重特征值 1=2=1，有二个线性无关
10、特征向量对(C)而言，因可有两个线性无关特征向量，故(C)可相似于对角阵，而 r(E 一 A)=r(E 一 B)=r(ED)=2，都只有一个线性无关特征向量，故均不能相似于对角阵【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 因(D) 是对称阵，必相似于对角阵，(C) 有三个不同的特征值，能相似于对角阵(A) ，(B)的特征值均为 =1(二重)，=2(单根)，当 =1 时，r(EA)=r =2，只对应一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似于对角阵而 =1 时， r(EB)=r =1，有两个线性无关特征向量，故 B 能相似于对角阵，故选(A) 【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C
11、【试题解析】 A 相似于对角阵 有 n 个线性无关特征向量 对每个 ri 重特征值i，r( iE 一 A)=n 一 ri，即有 ri 个线性无关特征向量 (共 n 个线性无关特征向量)(A)，(D)是充分条件，但非必要， (B)是必要条件，但不充分，n 个不同的特征向量，并不一定线性无关【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 A 的特征值是 1，3，5，因为矩阵 A 有 3 个不同的特征值，所以 A 可相似对角化矩阵 B 的特征值是 2，2，5，由于秩所以，=2 只有一个线性无关的特征向量，因而矩阵 B 不能相似对角化 矩阵 C 是实对称矩阵，故必有 C 可相似对角化 矩
12、阵 D 的特征值也是 2，2，5，由于秩 所以，=2 有两个线性无关的特征向量，因而矩阵 D 可以相似对角化，故应选(C)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB 可知：存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B故 P -1A2P=B2， PTAT(PT)-1=BT， P -1A-1P=B-1，所以 A2B 2，A TB T，A -1B -1又由于 A 可逆，可知 A-1(AB)A=BA，故 ABBA故正确的命题有 4 个，选(D)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 P=1， 2， 3，则有 AP=
13、PA，即即 A 1，A 2，A 3=a11，a 22，a 33 可见 i 是矩阵 A 属于特征值 ai 的特征向量(i=1，2，3)，又因矩阵 P 可逆，因此， 1， 2， 3 线性无关 若 是属于特征值 的特征向量，则一 仍是属于特征值 的特征向量，故(A)正确 若 ， 是属于特征值 的特征向量，则 k1+k2 仍是属于特征值 的特征向量本题中， 2， 3 是属于 =6 的线性无关的特征向量，故 2+3， 2 一 23 仍是 =6 的特征向量，并且2+3， 223 线性无关，故(B) 正确 关于(C)，因为 2， 3 均是 =6 的特征向量，所以 2， 3 谁在前谁在后均正确即(C)正确 由
14、于 1， 2 是不同特征值的特征向量，因此 1+2， 1 一 2 不再是矩阵 A 的特征向量，故(D) 错误【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 是充分条件， A，B 实对称，且 i 相同，则 AB，但反之不成立(B) 是必要条件但不充分，AB，有可逆阵 C，C TAC=B;r(A)=r(B)，反之不成立(D)既不充分，又不必要(C) 是两矩阵合同的充要条件【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 D【试题解析】 由题意，E ijAEij=B其中 因 Eij是可逆阵，E ijAEij=B，故 AB；E ij 可逆，且 Eij=Eij-1，则 EijAEij=Eij-
15、1AEij=B，故AB；E ij 是对称阵， Eij=EijT，则 EijAEij=EijTAEij=B，故 A B；故AB，A B，A B【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 B【试题解析】 因 f=XTAX=x12+2x1x2+x32=(x1+x2)2 一 x22+x32=y12+y22 一 y32，故选(B)【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 C【试题解析】 设 f 的正惯性指数为 P，负惯性指数为 q，一 f 的正惯性指数为 p1，负惯性指数为 q1，则有 p=q1，q=p 1，又 ，故有 p=p1，q=q 1，从而有r=p+q=p+p1=2p，s=p 一 q=p 一 p1=
16、0，故选(C)【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 D【试题解析】 A T=(E 一 2XXT)T=E 一 2XXT=A，A 是对称阵； A 2=(E 一 2XXT)2=E一 4XXT+4XXTXXT=E， A 是可逆阵； A 可逆，A 对称，且 A2=AAT=E，A 是正交阵； AX=(E 一 2XXT)X=一 X，X0，= 一 1 是 A 的特征值，故 A 不是正定阵【知识模块】 线性代数二、填空题15 【正确答案】 【试题解析】 设 =x1，x 2，x 3，x 4T，那么 对齐次方程组 Ax=0 的系数矩阵进行初等行变换，有故 n-r(A)=43=1，则Ax=0 有一个基础解向量则
17、Ax=0 的基础解系为一 1，一 1，1，0 T，将其单位化，得 1，1，一 1，0 T，即为所求【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 一 1【试题解析】 是矩阵 A-1 属于特征值 0 的特征向量，由定义 A-1=0，于是=0A，即 即【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 7【试题解析】 由于矩阵 T 的秩为 1，故 T 的特征值为 0，0，tr( T)，其中tr(T)=T=一 6故 A=E 一 T 的特征值为 1，1，7，故 A 的最大特征值为 7【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 3【试题解析】 存在可逆阵 P，使得r(AE)=r(PAP-1 一 E)=r(P(AE)P-1
18、)=r(AE)=r(A+2E)=r(P(A+2E)P-1)=r(A+2E)= 故 r(AE)+r(A+2E)=1+2=3【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 E【试题解析】 因 A1=2， A2=2，A 3=3，合并成矩阵形式有 A 1，A 2，A 3=A1， 2， 3=1， 2， 3， 1， 2， 3 线性无关， 1， 2， 3是可逆阵，故A=1， 2， 31， 2， 3-1=E【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 【试题解析】 f 的对应矩阵 f 正定，即 A 正定;A 的顺序主子式大于 0，即 取公共部分，知 t 的取值范围是【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证
19、明过程或演算步骤。21 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式得 1=2=a+1， 3=a 一2 当 1=2=a+1 时，对应两个线性无关特征向量 1=1，1，0 T， 2=1，0，1 T； 当 3=a 一 2 时，对应的特征向量 3=一 1，1，1 T【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 A，B 均是实对称阵，均可相似于对角阵，由于对换|E 一 A|的 1，2 列和 1，2 行，得故 A 和 B 有相同的特征方程，相同的特征值，它们均相似于同一个对角阵，故 AB 【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1)因 A1=11，故 An1=1n1，故 An1=1.1= (2)利用Ai=ii
20、有 Ani=ini，将 表成 1， 2， 3 的线性组合设 =x 11+x22+x33，【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1)二次型的矩阵 则二次型 f 的矩阵表达式f=xTAx(2)A 的特征多项式|A 一 E|=一(6+)(1 一 )(6 一 )，则 A 的特征值 1=一 6， 2=1， 3=6 1=一 6 对应的正交单位化特征向量 2=1对应的正交单位化特征向量 3=6 对应的正交单位化特征向量令正交矩阵 所求正交变换 二次型 f 的标准型 f=-6y12+y22+6y32【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 ，r(A)=2，|A|=0，解得 c=3得 1=0， 2=4，
21、3=9存在正交阵 Q，令 X=QY，则 f=4y22+9y32，故 f(x1，x 2，x 3)=1 表示椭圆柱面【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由(AA T)T=(AT)TAT=AAT，所以 AAT 是对称阵 必要性 若 AAT 正定，r(AA T)=mr(A)，又 r(Amn)m，故 r(A)=m 充分性 若 r(A)=m，则齐次方程组 ATX=0 只有零解，故对任意 X0，均有 ATX0，故 X TAATX=(ATX)T(ATX)0，即 AAT 正定【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 =( 一 2)2，A 是实对称阵，故存在正交阵 Q，使得 B=(kE+A)2=(kE+QA
22、1QT)2=(Q(kE+A1)QT)2=Q(kE+A1)2QT 当 k0，k一2 时，B 的全部特征值大于 0，这时 B 为正定阵【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 显然 BTAB 为对称矩阵 B TAB 为正定矩阵 ，x T(BTAB)x0，(Bx) TA(Bx)0 Bx0,r(B)=n【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 用定义证明显然 B 为对称矩阵对 ，当 0 时，有 xTBx=xTx+xTATAx=xTx+(Ax)T(Ax)=x2+Ax2 0故 B 为正定阵【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 必要性 取 B=A-1，则 AB+BTA=E+(A-1)TA=2E，所以 A
23、B+BTA 是正定矩阵 充分性 用反证法若 A 不是可逆矩阵，则 r(A)n，于是存在实向量x00 使得 Ax0=0因为 A 是实对称矩阵，B 是实矩阵，于是有 x 0T(AB+BTA)x0=(Ax0)TBx0+x0TBT(Ax0)=0， 这与 AB+BTA 是正定矩阵矛盾【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 由 AAT=E 有|A| 2=1，因此，正交矩阵的行列式为 1 或一 1由|A|+|B|=0 有|A|.|B|=一 1，也有|A T.BT|=一 1 再考虑到|A T(A+B)BT|=|AT+BT|=|A+B|，所以一|A+B|=|A+B|，|A+B|=0故 A+B 不可逆【知识模块
24、】 线性代数32 【正确答案】 f(x，y)=x 2+4xy+y2=x，y f(x，y)=|E 一 A|=( 一 3)(+1)，|E 一B|=( 一 3)(+1)实对称矩阵 A 与 B 有相同的特征值，因此 A 与 B 合同有 Q1TAQ1=diag(3，一 1)=Q2TBQ2【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 应用拉格朗日乘数法【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 由条件知 A 的特征值为 2，一 1，一 1，则|A|=2，因为 A*的特征值为 ，所以 A*的特征值为 1，一 2，一 2，由已知， 是 A*关于 =1 的特征向量，也就是 是 A 关于 =2 的特征向量由得 2ABA
25、-1=2AB+4E,B=2(E 一 A)-1，则 B 的特征值为一 2，1，1，且 =一 2设 B 关于 =1 的特征向量为 =x1，x 2，x 3T，又B 是实对称阵， 与 正交，故 x1+x2x3=0，解出 1=1，一 1，0T， 2=1，0，1 T，令故 XTBX=一 2x1x2+2x1x3+2x2x3【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 由于 A 为 n 阶正定矩阵，故存在正交矩阵 U，使得这里，0 12 n 为 A 的全部特征值 取并且H 仍为正定矩阵如果存在另一个正定矩阵 H1，使得 A=H12，对于 H1，存在正交矩阵 U1，使得 这里0 1222 n2 为 A 的全部特征值故 i2=i(i=1，2，n)，于是(i=1，2，n)，从而 由于A=H2=H12，故则ipij=jpij(i，j=1，2，n)，当 ij 时，p ij=0，这时(i，j=1，2，n) ；当 i=j 时，当然有(i，j=1，2，n) 故即 H=H1【知识模块】 线性代数36 【正确答案】 因为 A1 与 B1 合同，所以存在可逆矩阵 C1，使 B1=C1TA1C1 因为 A2 与 B2 合同，所以存在可逆矩阵 C2，使 B2=C2TA2C2【知识模块】 线性代数
