1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 42 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D 等于( )（A）0（B） a2（C） -a2（D）na 22 行列式|A|非零的充分条件是 ( )（A）A 中所有元素非零（B） A 中至少有 n 个元素非零（C） A 的任意两行元素之间不成比例（D）以|A|系数行列式的线性方程组有唯一解3 假设 A 是 n 阶方阵，其秩(A)=rn，那么在 A 的 n 个行向量中( )（A）必有 r 个行向量线性无关（B）任意 r 个行向量线性无关（C）任意 r 个行向量都构
2、成极大线性无关向量组（D）任何一个行向量列向量均可由其他 r 个列向量线性表示4 设 A 为 n 阶方阵，B 是 A 经过若干次初等变换后所得到的矩阵，则有( )（A）|A|=|B|（B） |A|B|（C）若 |A|=0，则一定有|B|=0（D）若|A|0，则一定有|B|05 设向量组(I)： 1， 2， r 可由向量组()： 1， 2， s 线性表示，则( )（A）若 1， 2， r 线性无关，则 rs（B）若 1， 2， r 线性相关，则 rs（C）若 1， 2， s 线性无关，则 rs（D）若 1， 2,， s 线性相关，则 rs6 设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，E 是 n
3、 阶单位矩阵若 AB=E，则( )（A）B 的行向量组线性无关（B） B 的列向量组线性无关（C） A-1=B（D）|AB|=|A|B|7 非齐次线性方程组 AX=b 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则 ( )（A）r=m 时，方程组 AX=b 有解（B） r=n 时，方程组 AX=b 有唯一解（C） m=n 时，方程组 AX=b 有唯一解（D）rn 时，方程组 AX=b 有无穷多解8 设 A 为 mn 矩阵且 r(A)=n(nm)，则下列结论中正确的是( )（A）若 AB=AC，则 A=C（B）若 BA=CA，则 B=C（C） A 的任意 n 个行向量线性无关（
4、D）A 的任意 n 个行向量线性相关9 设 1， 2， 3 是 AX=0 的基础解系，则该方程组的基础解系还可表示成( )（A） 1， 2， 3 的一个等价向量组（B） 1， 2， 3 的一个等秩向量组（C） 1， 1+2， 1+2+3（D） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 1二、填空题10 设 n 阶矩阵 则|A|=_11 12 设 A，B 均为 n 阶方阵，|A|=2,|B|=一 3，则|A -1B*一 A*B-1|=_13 设三阶方阵 A=A1，A 2，A 3，其中 Ai(i=1，2，3)为三维列向量，且 A 的行列式|A|=一 2，则行列式|-A 1 一 2A2，2A 2+3A3，
5、-3A 3+2A1|=_14 设 A 是三阶方阵，且|AE|=|A+2E|=|2A+3E|=0，则|2A*一 3E|=_15 设 A 为四阶可逆方阵，将 A 第 3 列乘 3 倍再与第 1 列交换位置，得到矩阵 B，则 B-1A=_16 设 A 为 43 矩阵，且 r(A)=2，而 B= ，则 r(AB)=_17 向量组 1=0，4，2 一 k， 2=2，3 一 k，1 ， 3=1 一 k，2，3线性相关，则实数 k=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设 ，求：(1)2A 11+A12 一 A13；(2)A 11+4A21+A31+2A4119 设 A 为三阶方阵，A*
6、为 A 的伴随矩阵，|A|=1 3，求|4A 一(3A*) -1|20 A 是三阶矩阵，三维列向量组 1， 2， 3 线性无关，满足A1=2+3，A 2=1+3，A 3=1+2，求|A| 21 22 设 A，B 为三阶矩阵，满足 AB+E=A2+B，E 为三阶单位矩阵，又知求矩阵 B23 已知 ，AP=PB，求 A 与 A524 设矩阵 满足 A-1(EBBTA-1)-1C-1=E，求 C25 解方程26 设向量组(I)： 1， 2， 3；()： 1， 2， 4 的秩分别为(I)=2，秩()=3 证明向量组 1， 2， 3+4 的秩等于 327 已知线性方程组 问 k1 和 k2 各取何值时，
7、方程组无解?有唯一解 ?有无穷多组解 ?在方程组有无穷多组解时，试求出一般解28 设向量组 试问：当 a，b，c 满足什么条件时(1) 可由 1， 2， 3 线性表出，且表示唯一； (2) 不能由 1， 2， 3 线性表出；(3) 可由 1， 2， 3 线性表出，但表示不唯一，并求出一般表达式考研数学二（线性代数）模拟试卷 42 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 不妨设第一列元素及余子式都是 a，则 D=a11A11+a21A21+a2n,1A2n,1=a2 一 a2+一 a2=0，应选 (A)【知识模块】 线性代数2 【
8、正确答案】 D【试题解析】 |A|0 的充要条件是 r(A)=n，r(A)=n 的充要条件是 AX=b 有唯一解，应选(D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 因为矩阵的秩与行向量组的秩及列向量组的秩相等，所以由 r(A)=r得 A 一定有，一个行向量线性无关，应选(A)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 因为初等变换不改变矩阵的秩，所以若|A|=0，即 r(A)n ，则 r(B)n，即|B|=0，应选(C)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 因为(I)可由()，所以( )的秩()的秩，所以若 1， 2， r 线性无关，即(I)的秩=
9、r ，则 r()的秩s，应选(A)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 由 AB=E 得 r(AB)=n，从而 r(A)n，r(B)n，又 r(A)n，r(B)n ，所以 r(A)=n，r(B)=n，故 B 的列向量组线性无关，应选(B)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 r(A)， 当 r=m 时， r(A)=m；故 AX=b 有解，应选(A) 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 由 BA=CA 得(B 一 C)A=O，则 r(A)+r(B 一 C)n，由 r(A)=n 得r(B-C)=0，故 B=C，应选(B)【知识模块】 线性代数
10、9 【正确答案】 A【试题解析】 (B)显然不对，因为与 1， 2， 3 等秩的向量组不一定是方程组的解；因为 1+(2+3)一( 1+2+3)=0，所以 1， 2+3， 1+2+3 线性相关，不选(C)； 由( 1 一 2)+(2 一 3)+(3 一 1)=0，所以 1 一 2， 2 一 3， 3 一 1 线性相关，不选(D)，应选 (A)【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 (n 一 1)(一 1)n-1【试题解析】 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 0【试题解析】 =(一 a)A12+bA13=aM12+bM13=一 abc+abc=0【知识模块】 线性代数12 【
11、正确答案】 【试题解析】 A*=|A|A -1=2A-1，B*=|B|B -1=一 3B-1，则|A -1B*一 A*B-1|=|一 3A-1B-1一 2A-1B-1|=(一 5)n|A-1|B -1|=【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 12【试题解析】 由(一 A12A2，2A 2+3A3，一 3A3+2A1)=(A1，A 2，A 3)得|A 12A2，2A 2+3A3，一 3A3+2A1|=|A1，A 2，A 3|.【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 126【试题解析】 由|AE|=|A+2E|=|2A+3E|=0 得|E-A|=0，|一 2E-A|=0，矩阵 A 的特征值为
12、 1=1， 2=一 2， |A|=3，A* 的特征值为 2A*一 3E 的特征值为 3，一 6，一 7，故|2A*一 3E|=126【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 2【试题解析】 因为 =120，所以 B 可逆， 于是 r(AB)=r(A)=2【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 6【试题解析】 由 =0 得 k=6【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 2A 11+A12 一 A13=2A11+A12 一 A13+0A14【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由 A*
13、=|A|A-1= 得 |4A 一(3A*) -1|=|4AA|=|3A|=27|A|=9【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 令 B=(1， 2， 3)，由 A1=2+3，A 2=1+3，A 3=1+2 得因为 1， 2， 3 线性无关，所以 B 可逆，故|A|=2【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由初等变换的性质得 B=AP 1P2，则 B-1=P2-1P1-1A-1=P2P1A-1【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由 AB+E=A2+B 得(AE)B=A 2 一 E【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 AP=PB 得 A=PBP-1，【知识模块】 线性代数24
14、【正确答案】 由 A-1(EBBTA-1)-1C-1=E 得 C(EBB TA-1)A=E，即 C(ABBT)=E，解得 C=(A-BB T)-1【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 令 X=(X1，X 2)，【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由向量组()的秩为 3 得 1， 2， 4 线性无关，从而 1， 2 线性无关，由向量组(I)的秩为 2 得 1， 2 3 线性相关，从而 3 可由 1， 2 线性表示，令 3=一 k11+k22( 1， 2， 3+4)=(1， 2，k 11+k22+4)故 r(1， 2， 3+4)=r(1， 2， 4)=3【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)当 k12 时，方程组有唯一解；(2)当 k1=2 时，情形一：k 21 时，方程组无解；情形二：k 2=1 时，方程组有无数个解，【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1)当 a一 4 时，B 可由 1 2， 3 唯一线性表示当 a=一 4 时，(2)当 c-3b+1=0 时， 可由 1， 2， 3 线性表示，但表示方法不唯一，(3)当 c-3b+10 时， 不可由 1， 2， 3 线性表示【知识模块】 线性代数
