1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 48 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A= ，则 A 与 B( )（A）合同且相似（B）相似但不合同（C）合同但不相似（D）既不相似又不合同2 设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 XTAX=0，则( )（A）A=0（B） A0（C） A0（D）以上都不对二、填空题3 f(x1，x 2，x 3，x 4)=XTAX 的正惯性指数是 2，且 A2-2A=O，该二次型的规范形为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 设二维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量 (1)证明 ，A 线性无
2、关； (2)若 A2+A-6=0，求 A 的特征值，讨论 A 可否对角化；5 设 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足A1=2+3，A 2=1+3，A 3=1+2 (1)求矩阵 A 的特征值； (2)判断矩阵 A 可否对角化6 设 A，B 为三阶矩阵，且 AB=A-B，若 1， 2， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明： (1)AB=BA： (2) 存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP，P -1BP 同时为对角矩阵7 (1)若 A 可逆且 AB ，证明：A *B *； (2)若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP8 设 A= 有三个线性无关的特征向量，
3、求 a 及 An9 设方程组 ，有无穷多个解， 1= ， 2=3= 为矩阵 A 的分别属于特征值 1=1， 2=-2， 3=-1 的特征向量(1)求A；(2)求A *+3E10 设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1=2 是 A的特征值，对应特征向量为(-1，0，1) T (1)求 A 的其他特征值与特征向量； (2)求 A11 设 A= ，求 a，b 及正交矩阵 P，使得PTAP=B12 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n证明： A，B 有公共的特征向量13 设 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， n 是 n 维列向量，且 n0，若A1=
4、2，A 2=3，A n-1=n，A n=0 (1)证明： 1， 2， n 线性无关； (2)求 A 的特征值与特征向量14 设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 的通解为 k1 +k2 ，设= ，求 A15 A= ，求 a，b 及可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B16 设 A= ，求 A 的特征值与特征向量，判断矩阵 A 是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵 P 及对角阵17 设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)=n证明：A TA 的特征值全大于零18 设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P TAP 为正定矩阵19 设 P 为可逆矩阵， A=PTP证明
5、：A 是正定矩阵20 设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：A+B 为正定矩阵21 三元二次型 f=XTAX 经过正交变换化为标准形 f=y12+y22-2y32，且 A*+2E 的非零特征值对应的特征向量为 1= ，求此二次型22 设二次型 f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3 经过正交变换 X=QY 化为标准形f=y12+y22+4y32，求参数 a，b 及正交矩阵 Q23 设齐次线性方程组 有非零解，且 A=为正定矩阵，求 a，并求当X= 时 XTAX 的最大值24 设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵25 设 A 为 m 阶
6、正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明： BTAB 正定的充分必要条件是 r(B)=n考研数学二（线性代数）模拟试卷 48 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 A，B 都是实对称矩阵，由E-A=0，得 A 的特征值为1=1， 2=2， 3=9，由E-B=0，得 B 的特征值为 1=1， 2=3=3，因为 A，b惯性指数相等，但特征值不相同，所以 A，B 合同但不相似，选 (C)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 设二次型 f=XTAX 1y12+2y22+3y32，其中 Q 为正交矩阵取Y= ，则 f
7、=XTAX=1=0，同理可得 2=3=0，由于 A 是实对称矩阵，所以 r(A)=0，从而 A=O，选(A)【知识模块】 线性代数二、填空题3 【正确答案】 y 12+y22【试题解析】 A 2-2A=O r(A)+r(2E-A)=4 A 可以对角化， 1=2， 2=0，又二次型的正惯性指数为 2，所以 1=2， 2=0 分别都是二重，所以该二次型的规范形为y12+y22【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 【正确答案】 (1)若 ， A 线性相关，则存在不全为零的数 k1，k 2，使得k1+k2A=0，可设 k20，所以 A= ，矛盾，所以 ，A 线性无
8、关(2)由A2+A-6=0，得(A 2+A-6E)=0，因为 0，所以 r(A2+A-6E)2，从而A 2+A-6E=0，即3E+A.2E-A=0 ，则3E+A =0 或2E-A=0若3E+A0，则 3E+A 可逆，由(3E+A)(2E-A)=0 ，得(2E-A)=0，即A=2，矛盾；若 2E-A0，则 2E-A 可逆，由(2E-A)(3E+A)=0，得(3E+A)=0，即 A=-3，矛盾，所以有 3E+A=0 且2E-A=0，于是二阶矩阵 A 有两个特征值-3，2，故 A 可对角化【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 (1)因为 1， 2， 3 线性无关，所以 1+2+30，由 A(1+2
9、+3)=2(1+2+3)，得 A 的一个特征值为 1=2； 又由 A(1-2)=-(1-2)，A( 2-3)=-(2-3)，得 A 的另一个特征值为 2=-1 因为 1， 2， 3 线性无关，所以 1-2 与 2-3 也线性无关，所以 2=-1 为矩阵 A 的二重特征值，即 A 的特征值为 2，-1，-1 (2)因为 1-2， 2-3 为属于二重特征值-1 的两个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 (1)由 AB=A-B 得 A-B-AB+E=E，(E+A)(E-B)=E ，即 E-B 与 E+A 互为逆矩阵，于是(E-B)(E+A)=E=(E+
10、A)(E-B)，故 AB=BA (2)因为 A 有三个不同的特征值 1， 2， 3，所以 A 可以对角化，设 A 的三个线性无关的特征向量为1， 2， 3，则有 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)diag(1， 2， 3)，BA( 1， 2， 3)=B(1， 2， 3)diag(1， 2， 3)，AB( 1， 2， 3)=B(1， 2， 3)diag(1， 2， 3)，于是有 ABi=iBi，i=1，2，3 若 Bi0，则 Bi 是 A 的属于特征值 i 的特征向量，又 i 为单根，所以有 Bi=ii； 若 Bi=0，则 i 是 B 的属于特征值 0 的特征向量无论哪种情况，B 都可以对
11、角化，而且 i 是 B 的特征向量，因此，令P=(1， 2， 3)，则 P-1AP，P -1BP 同为对角阵【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 (1)因为 A 可逆且 AB 所以 B 可逆，A，B 的特征值相同且A= B 因为 AB，所以存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B，而A*=AA -1，B *=BB -1， 于是由 P-1AP=B，得(P -1AP)-1=B-1，即 P-1A-1P=B-1，故P-1 AA -1P=AB -1 或 P-1A*P=B*，于是 A*B * (2)因为 AB ，所以存在可逆阵 P，使得 P-1AP=B，即 AP=PB. 于是 AP=PBPP-1=P(BP
12、)P-1，故 APBP.【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 由E-A= =0，得 1=2=1， 3=2因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 一定可对角化，从而 r(E-A)=1，即 a=1，故 由=1 时，由(E-A)X=0，得 1= ， 2= 由 =2 时，由(2E-A)X=0，得 3=令 P=(1， 2， 3)= ，则 P-1AP= ，两边 n 次幂得 P-1AnP= 从而 An=P P-1【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 因为方程组有无穷多个解，所以 D= =a2-2a+1=0，解得 a=1令 P=(1， 2， 3)= ，则 P-1AP= 从而 (2)A =2，A
13、*对应的特征值为 ，即 2，-1，-2，A *+3E 对应的特征值为 5，2，1，所以A *+3E=10【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 (1)因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 ，即 A 有特征值 2=5，对应的特征向量为 又因为 Ax=0 有非零解，所以 r(A)3，从而 A有特征值 0，设特征值 0 对应的特征向量为 ，根据不同特征值对应的特征向量正交得 解得特征值 0 对应的特征向量为 (2)令 P=，P -1= ，由 P-1AP= ，得【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，A =B，即解得 a=1，b=0，则 因为AB，所以矩
14、阵 A，B 的特征值都为 1=1， 2=0， 3=6当 =1 时，由(E-A)X=0，得 1= 当 =0 时，由(0E-A)X=0，得 2= 当 =6 时，由(6E-A)X=0，得 3= 令再令P=(1， 2， 3)= ，则有 PTAP=B【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 因为 r(A)+r(B)n，所以 r(A)n，r(B)n，于是 =0 为 A，B 公共的特征值，A 的属于特征值 =0 的特征向量即为方程组 AX=0 的非零解；B 的属于特征值 =0 的特征向量即为方程组 BX=0 的非零解，因为 r(A)+r(B)n，所以方程组 有非零解，即 A，B 有公共的特征向量【知识模块】
15、 线性代数13 【正确答案】 (1)令 x11+x22+xnn=0，则x1A1+x2A2+xnAn=0 x12+x23+xn-1n=0x1A2+x2A3+xn-1An=0 x13+x24+xn-2n=0x1n=0 因为 n0，所以 x1=0，反推可得x2=xn=0，所以 1， 2， n 线性无关(2)A( 1， 2， n)=(1， 2， n) ，令 P=(1， 2， n)，则 P-1AP=B，则 A 与 B 相似，由E-B=0 1= n=0，即 A 的特征值全为零，又 r(A)=n-1，所以 AX=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而 An=0n(n0)，所以 A 的全部特征向量为 k
16、n(k0)【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 ，即 A 有一个特征值为 1=5，其对应的特征向量为 1= ，A 1=51又 AX=0 的通解为 k1+k2 ，则 r(A)=1 2=3=0，其对应的特征向量为2= ， 3= ，A 2=0，A 3=0令 x11+x22+x33=，解得 x1=8，x 2=-1，x 3=-2，则 A=8A1-A2-2A3=8A1=【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由E-B=0，得 1=-1， 2=1， 3=2，因为 AB，所以 A 的特征值为 1=-1， 2=1， 3=2由 tr(A)=1+2+3，得 a=1，再由
17、A=b= 123=-2，得 b=-2，即 由(-E-A)X=0 ，得 1=(1，1，0) T；由(E-A)X=0，得 2=(-2，1，1) T；由(2E-A)X=0，得 3=(-2，1，0) T，令 P1= ，则P1-1AP1= 由(-E-B)X=0，得 1=(-1，0，1) T；由(E-B)X=0，得2=(1，0，0) T；由(2E-B)X=0，得 3=(8，3，4) T，令 P2= ，则 P2BP2=由 P1-1AP1=P2-1BP2，得(P 1P2-1)-1AP1P2-1=B，令 P=P1P2-1=，则 P-1AP=B【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 E-A = =(+a-1)(
18、-a)(-a-1)=0，得矩阵 A 的特征值为 1=1-a， 2=a， 3=1+a(1)当 1-aa，1-a1+a，a1+a ，即 a0 且a 时，因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以 A 一定可以对角化 1=1-a 时，由(1-a)E-AX=0 得 1= ； 2=a 时，由(aE-A)X=0 得 2= ； 3=1+a 时，由(1+a)E-AX=0 得 3= P= ，P -1AP=(2)当 a=0 时， 1=3=1，因为 r(E-A)=2，所以方程组(E-A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可以对角化(3)当 a= 时，1=2= ，因为 =2，所以方程组 的基础解系
19、只含有一个线性无关的解向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 首先 ATA 为实对称矩阵，r(A TA)=n，对任意的 X0，X T(ATA)X=(AX)T(AX)，令 AX=，因为 r(A)=n，所以 0，所以(AX) T(AX)=T= 20，即二次型 XT(ATA)X 是正定二次型，A TA 为正定矩阵，所以ATA 的特征值全大于零【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 首先 AT=A，因为(P TAP)T=PTAT (PT)T=PTAP，所以 PTAP 为对称矩阵，对任意的 X0，X T(PTAP)X=(PX)TA(PX)，令 PX=，因为 P 可逆且 X0
20、，所以 0，又因为 A 为正定矩阵，所以 TA0，即 XT(PTAP)X0，故 XT(PTAP)X为正定二次型，于是 PTAP 为正定矩阵【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 显然 AT=A，对任意的 X0，X TAX=(PX)T(PX)，因为 X0 且 P 可逆，所以 PX0，于是 XTAX=(PX)T(PX)=PX 20，即 XTAX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因为 A，B 正定，所以 AT=A，B T=B，从而(A+B) T=A+B，即A+B 为对称矩阵 对任意的 X0，X T(A+B)X=XTAX+XTBX，因为 A，B 为正定矩阵，
21、所以 XTAX0，X TBX0，因此 XT(A+B)X0，于是 A+B 为正定矩阵【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 f=XTAX 经过正交变换后的标准形为 f=y12+y22-2y32，所以矩阵 A 的特征值为 1=2=1， 3=-2由A= 123=-2 得 A*的特征值为 1=2=-2， 3=1，从而 A*+2E 的特征值为 0，0，3，即 1 为 A*+2E 的属于特征值 3 的特征向量，故也为 A 的属于特征值 3=-2 的特征向量令 A 的属于特征值 1=2=1 的特征向量为 = ，因为 A 为实对称矩阵，所以有 1T=0，即 x1+x3=0 故矩阵 A 的属于 1=2=
22、1 的特征向量为 2= ， 3= 令 P=(2， 3， 1)= ，由 P-1AP= ，得 A=P P-1= ，所求的二次型为 f=XTAX= x12+x22- x32+3x1x3【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 二次型 f=2x1+2x2+ax3+2x1x2+2bx1x3+2x2x3 的矩阵形式为 f=X TAX其中 A= ，因为 QTAQ=B= ，所以 AB(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是 A 的特征值为 1，1，4而E-A= 3-(a+4)2+(4a-b2+2)+(-3a-2b+2b2+2)，所以有 3-(a+4)2+(4a-b2+2)+(-3a-2b+2b2+2)=(
23、-1)2(-4)，解得 a=2，b=1当 1=2=1 时，由(E-A)X=0 得 1= ， 2=由 3=4 时，由(4E-A)X=0 得 3= 显然 1， 2， 3 两两正交，单位化为【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为方程组有非零解，所以 =a(a+1)(a-3)=0，即 a=-1 或 a=0 或 a=3因为 A 是正定矩阵，所以 aij0(i=1，2，3)，所以 a=3当a=3 时，由E-A= =(-1)(-4)(-10)=0 得 A 的特征值为 1，4，10因为 A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵 Q，使得 f=XTAX=y12+4y22+10y3210(y22+y22+y32
24、)而当X =时y 12+y22+y32=TTY=YTQTQY=(QY)T(QY)=XTX=X 2=2 所以当X = 时，XTAX 的最大值为 20(最大值 20 可以取到，如 y1=y2=0，y 3= )【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 A 所对应的二次型为 f=XTAX，因为 A 是实对称矩阵，所以存在正交变换 X=QY，使得 f=X TAX 1y1+2y2+ nyn，其中 i0(i=1 ，2，n)，对任意的 X0，因为 X-QY，所以 Y=QTX0， 于是 f=1y12+2y22+ nyn20，即对任意的 X0 有 XTAX0，所以 XTAX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为(B TAB)T=BTAT(B)T=BTAB，所以 BTAB 为对称矩阵，设BTAB 是正定矩阵，则对任意的 X0，X TBTABX=(BX)TA(BX)0，所以 BX0，即对任意的 X0 有 BX0，或方程组 BX=0 只有零解，所以 r(B)=n 反之，设r(B)=n，则对任意的 X0，有 BX0，因为 A 为正定矩阵，所以 XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)0，所以 BTAB 为正定矩阵【知识模块】 线性代数
