1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 AX=0 和 BX=0 都是 n 元方程组，下列断言正确的是( )（A）AX=0 和 BX=0 同解 r(A)=r(B)（B） AX=0 的解都是 BX=0 的解r(A)r(B) （C） AX=0 的解都是 BX=0 的解r(A)r(B) （D）r(A)r(B)AX=0 的解都是 BX=0 的解2 的一个基础解系为（A）(0 ，1，0，2) T（B） (0，1，0，2) T，(0，12，0，1) T（C） (1，0，1，0) T，(2，0，2，0) T（D）(0 ，1，0，2)
2、 T，(1，0，1，0) T3 当 A=( )时， (0，1，1)和(1，0，2)构成齐次方程组 AX=0 的基础解系（A）(2，1，1) （B）（C）（D）4 线性方程组 的通解可以表示为（A）(1 ，1，0，0) T+c(0，1，1，0) T，c 任意（B） (0，1，1，1) T+c1(0，2，2，0) T+c2(0，1， 1，0) T，c 1，c 2 任意（C） (1，2，1，0) T+c1(1，2，1，1) T+c2(0，1 ，1，0) T，c 1，c 2 任意（D）(1 ，1，0，0) T+c1(1，2，1，0) T+c2(0，1，1，0) T，c 1，c 2 任意5 设 A 为
3、43 矩阵， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 AX= 的 3 个线性无关的解，k1，k 2 为任意常数，则 AX= 的通解为( )（A）( 2+3)2+k 1(2 1)（B） (2 3)2+k 2(2 1)（C） (2+3)2+k 1(3 1)+k2(2 1)（D）( 2 3)2+K 1(3 1)+k2(2 1)6 设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是 ，则自由变量不能取成（A）x 4，x 5（B） x2，x 3（C） x2，x 4（D）x 1，x 37 已知 1， 2， 3， 4 是齐次方程组 AX=0 的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是（A） 1+2， 2+3， 3+4，
4、 4+1（B） 1， 2， 3+4， 3 4（C） 1， 2， 3， 4 的一个等价向量组（D） 1， 2， 3， 4 的一个等秩的向量组二、填空题8 已知方程组 有无穷多解，则 a=_9 四元方程组 的一个基础解系是_10 设 A 为三阶非零矩阵，B= ，且 AB=0，则 Ax=0 的通解是_11 已知 1， 2， t 都是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，如果 c11+c22+ctt仍是 Ax=b 的解，则 c1+c2+ct=_12 已知 1=(3，2，0) T， 2=(1，0，2) T 是方程组 的两个解，则此方程组的通解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 求此齐
5、次方程组的一个基础解系和通解14 ，已知线性方程组 AX= 存在两个不同的解 求，a 求 AX= 的通解15 设 n1，n 元齐次方程组 AX=0 的系数矩阵为(1)讨论 a 为什么数时 AX=0 有非零解?(2)在有非零解时求通解16 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解(1)证明此方程组的系数矩阵 A 的秩为 2(2)求 a，b 的值和方程组的通解17 设线性方程组为 (1)讨论 a1，a 2，a 3，a 4 取值对解的情况的影响(2)设 a1=a3=k，a 2=a4=k(k0)，并且(1， 1，1) T 和(1，1，1) T 都是解，求此方程组的通解18 已知 4 阶矩阵 A=(
6、1， 2， 3， 4)，其中 2， 3， 4 线性无关， 1=22 3又设 =1+2+3+4，求 AX= 的通解19 设( )和()是两个四元齐次线性方程组， ()为 ()有一个基础解系(0 ，1，1，0) T，(1，2，2，1) T求()和()的全部公共解20 设( )和()都是 3 元非齐次线性方程组， ()有通解1+c11+c22， 1=(1，0，1)， 1=(1，1，0)， 2=(1，2，1)；()有通解2+c， 2=(0，1，2)，=(1，1，2)求()和()的公共解21 已知齐次方程组() 解都满足方程 x1+x2+x3=0，求 a 和方程组的通解22 已知齐次方程组 同解，求a，
7、b，c23 构造齐次方程组，使得 1=(1，1，0，1) T， 2=(0，2，1，1) T 构成它的基础解系24 设 1， 2， 3 为 3 个 n 维向量，已知 n 元齐次方程组 AX=0 的每个解都可以用1， 2， 3 线性表示，并且 r(A)=n3，证明 1， 2， 3 为 AX=0 的一个基础解系25 设 1=(1， 2，0) T， 2=(1，a+2，3a) T， 3=(1，b2，a+2b)T， =(1，3，3) T试讨论当 a，b 为何值时， (1) 不能用 1， 2， 3 线性表示； (2) 能用 1， 2， 3 唯一地线性表示，求表示式； (3) 能用 1， 2， 3 线性表示，
8、且表示式不唯一，求表示式的一般形式26 设 a，b 取什么值时存在矩阵 X，满足AXCX=B? 求满足 AXCX=B 的矩阵 X 的一般形式27 求线性方程组 的通解，并求满足条件x12=x22 的所有解28 已知 a，b ，c 不全为零，证明方程组 只有零解29 证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系考研数学二（线性方程组）模拟试卷 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 AX=0 和 BX=0 同解 r(A)=r(B)，但 r(A)=r(B)推不出 AX=0 和 BX=0同解，排除 AAX=0 的解都是 B
9、X=0 的解，则 AX=0 的解集合 BX=0 的解集合，于是 nr(A)nr(B)，即 r(A)r(B)C 对，B 不对 nr(A)n r(B)推不出AX=0 的解集合 BX=0 的解集合， D 不对【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 D【试题解析】 用基础解系的条件来衡量 4 个选项先看包含解的个数因为n=4，系数矩阵为 其秩为 2，所以基础解系应该包含 2 个解排除A再看无关性 C 中的 2 个向量相关，不是基础解系，也排除B 和 D 都是两个无关的向量，就看它们是不是解了(0，1，0，2) T。在这两个选项里都出现，一定是解只要看(0，12，0，1) T 或(1，0，1，0) T
10、(其中一个就可以)如检查(1，0， 1，0) T 是解，说明 D 正确或者检查出 (0，12，0，1) T 不是解，排除B【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 A【试题解析】 由解是 3 维向量知 n=3，由基础解系含有两个解得到 3r(A)=2 ，从而 r(A)=1由此着眼，只有 A 中的矩阵符合此要求【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 C【试题解析】 用排除法非齐次方程组 AX= 的通解是它的一个特解加上导出组AX=0 的一个基础解系的线性组合因此表达式中，带参数的是导出组的基础解系，无参数的是特解于是可从这两个方面来检查先看导出组的基础解系方程组的未知数个数 n=4，系数矩阵
11、的秩为 2，所以导出组的基础解系应该包含 2 个解A 中只一个，可排除B 中用(0， 2，2，0) T，(0，1，1，0) T 为导出组的基础解系，但是它们是相关的，也可排除C 和 D 都有(1，2，1，0)T，但是 C 用它作为特解，而 D 用它为导出组的基础解系的成员，两者必有一个不对只要检查(1，2，1，0) T，确定是原方程组的解，不是导出组的解，排除D【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 C【试题解析】 用排除法 B 和 D 都用( 2 3)2 为特解，但是( 2 3)2 不是原方程组的解，因此 B 和 D 都排除 A 和 C 的区别在于导出组 AX=0 的基础解系上，A 只用一
12、个向量，而 C 用了两个：( 3 1)，( 2 1)由于 1， 2， 3 线性无关，可推出( 3 1)，( 2 1)无关，并且它们都是 AX=0 的解则 AX=0 的解集合的秩不小于 2，从而排除 A【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 A【试题解析】 自由未知量选择的原则是：其他未知量可用它们唯一确定如果选择 x4，x 5，对应齐次方程组写作 显见把 x4，x 5 当作参数时，x 1，x 2，x 3 不是唯一确定的因此 x4，x 5 不能唯一确定 x1，x 2，x 3，它们不能取为自由变量选 A【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 B【试题解析】 向量组 A 线性相关，A 不正确 1
13、， 2， 3， 4， 1+2 与1， 2， 3， 4 等价但前者线性相关，故 C 不正确 等秩的向量组不一定能互相线性表出，因而可能不是方程组的解，故 D 不正确选 B【知识模块】 线性方程组二、填空题8 【正确答案】 5【试题解析】 对增广矩阵作初等行变换，有当 a= 5 时，r(A)= 3，方程组有无穷多解【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 (0，0，1，0) T，(1，1，0，1) T【试题解析】 n r(A)=42=2取 x3，x 4 为自由变量： 令 x3=1，x 4=0 得x2=0， x1=0；令 x3=0，x 4=1 得 x2=1，x 1=1， 所以基础解系是(0 ，0，1
14、，0)T，(1，1，0，1) T【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 c 1(1，4， 3)T+c2(2，3，1) T，c 1，c 2 任意【试题解析】 由 AB=0 得 r(A)+r(B)3显然 r(B)2，r(A)0，因而 r(A)=1， nr(A)=2又 AB=0 说明 B 的每个到向量都是 AX=0 的解，取它的 1，3 两列作为基础解系，得 AX=0 的通解 c1(1，4，3) T+c2(2，3，1) T，c 1，c 2 任意【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 1【试题解析】 因为 i 是 Ax=b 的解，所以，A i=b 若 c11+c22+ctt 是 Ax=b的解，
15、则 A(c 11+c22+ctt)=c1A1+c2A2+ctAt =(c1+c2+ct)b=b 故c1+c2+ct=1【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 (3，2，0) T+k(1，1，1) T【试题解析】 由于矩阵 A 中有 2 阶子式不为 0，故秩 r(A)2 又 1 2 是 Ax=0的非零解，知 r(a)T+k(1，1，1) T【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 用初等行变换将系数矩阵化为阶梯形矩阵则系数矩阵的秩为 2，小于未知数个数 5，此齐次方程组有非零解进一步把阶梯形矩阵化为简单阶梯形矩阵：选定自由未知量 x2，x
16、4，x 5，用它们表示出待定未知量，得到同解方程组： (一般情况都把阶梯形矩阵的台角所在列号对应的未知量(如本题中的 x1，x 3)作为待定未知量，其他未知量作为自由未知量这样得到的同解方程组直接用自由未知量表示出待定未知量，)对自由未知量赋值，决定基础解系一般做法为让自由未知量轮流地取值1(其他未知量取值 0)，这样得到的一组解为基础解系，如本题的一个基础解系为：1=(23，1，0，0，0) T， 2=(13，0，0，1，0)T， 3=(2 9，0，13，0，1) T， 写出通解 c11+c22+c33，其中 c1，c 2，c 3可取任意数【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 AX=
17、存在两个不同的解( 即有无穷多个解)(A )=r(A)3用矩阵消元法： 则1 2=a+1=0，而 10(否则第二个方程为 0=1，无解)得 =1，a=2得 AX= 的同解方程组求出通解(32，12，0) T+c(1，0，1) T，c 可取任意数【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 (1)用矩阵消元法，把第 n 行除以 n 移到第一行，其他行往下顺移，再第 i 行减第一行的 i 倍(i1)a=0时 r(A)=1，有非零解 下面设 a0，对右边的矩阵继续进行行变换：把第 2 至 n各行都除以 a，然后把第 1 行减下面各行后换到最下面，得于是当 a=n(n+1)2 时 r(A)=n1，有非零
18、解 (2)a=0 时 AX=0 与 x1+x2+xn=0 同解，通解为 c1(1，1，0，0)T+c2(1， 0， 1，0) T+cn1 (1，0，0， 1)T，c i 任意 a= n(n+1) 2时，通解为 c(1，2，3， ，n) T，c 任意【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 (1)设 1， 2， 3 是 AX= 的 3 个线性无关的解，则，2 1， 3 1 是 AX=0 的 2 个线性无关的解于是 AX=0 的解集合的秩不小于2，即 4r(A)2 ，r(A)2，又因为 A 的行向量是两两线性无关的，所以 r(A)2两个不等式说明了 r(A)=2由 r(A)=2，得出 a=2，b
19、=3代入后继续作初等行变换化为简单阶梯形矩阵：得同解方程组 求出一个特解(2， 3，0，0) T 和 AX=0 的基础解系(2，1，1，0) T，(4，5，0，1) T得到方程组的通解：(2，3，0，0) T+c1(2，1，1，0) T+c2(4，5，0，1) T，c 1，c 2 任意【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 (1)增广矩阵的行列式是一个范德蒙行列式，其值等于于是，当a1，a 2，a 3，a 4 两两不同时，增广矩阵的行列式不为 0，秩为 4，而系数矩阵的秩为3因此，方程组无解如果 a1，a 2，a 3，a 4 不是两两不同，则相同参数对应一样的方程于是只要看有几个不同，就只
20、留下几个方程如果有 3 个不同，不妨设 a1，a 2，a 3 两两不同，a 4 等于其中之一，则可去掉第 4 个方程，得原方程组的同解方程组 它的系数矩阵是范德蒙行列式，值等于(a 2a 1)(a3 a1)(a3a 2)0，因此方程组有唯一解如果不同的少于 3 个，则只用留下 2个或 1 个方程，此时方程组无穷多解(2)此时第 3，4 两个方程分别就是第 1，2方程，可抛弃，得 (1，1，1) T 和(1，1，1) T 都是解，它们的差(2，0，2) T 是导出组的一个非零解本题未知数个数为 3，而系数矩阵的秩为 2(注意 k0)于是(2，0，2) T 构成导出组的基础解系，通解为：( 1，1
21、，1) T+c(2，0，2) T，c 可取任意常数【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 AX= 用向量方程形式写出为 x11+x22+x33+x44=，其导出组为 x11+x22+x33+x44=0条件 =1+2+3+4 说明 (1，1，1，1) T 是 AX= 的一个特解 1=22 3 说明(1，2，1，0) T 是导出组的一个非零解又从 2， 3， 4线性无关和 1=22 3得到 r(A)=3，从而导出组的基础解系只含 4r(A)=1 个解，从而(1 ，2，1，0) T 为基础解系AX= 的通解为 (1，1，1，1)T+c(1， 2， 1，0) T，c 可取任意数【知识模块】 线性方
22、程组19 【正确答案】 一种思路是构造一个线性方程组()，使得它也以 1， 2 为基础解系于是() 和()同解，从而 ()和()的公共解也就是 ()和()的公共解，可以解( )和()的联立方程组来求得例如 ()可以是： 这种思路的困难在于构造方程组() ，在考场上不是每个考生都能很顺利完成的 另一种思路为：( )和()的公共解都必定是 ()的解，因此有 c11+c22 的形式它又满足( )，由此可决定 c1 与 c2 应该满足的条件 具体计算过程：将c11+c22=(c 2，c 1+2c2， c1+2c2，c 2)T，代入()，得到 解出c1+c2=0即当 c1+c2=0 时 c11+c22
23、也是()的解于是() 和()的公共解为： c(1 2)，其中 c 可取任意常数【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 公共解必须是()的解，有 2+c 的形式，它又是()的解，从而存在 c1，c 2 使得 2+c=1+c11+c22，于是 2+c 1 可用 1， 2 线性表示，即r(1， 2， 2+c 1)=r(1， 2)=2 得到 c=12，从而( )和()有一个公共解 2+2=(1 2，32，3)【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 求出()的解，代入 x1+x2+x3=0，决定 a用矩阵消元法，设系数矩阵为 A， 当a=0 时，()和方程 x1+x2+x4=0 同解，以 x2，
24、x 3，x 4 为自由未知量求出一个基础解系 1=(1，1，0，0) T， 2=(0，0，1，0) T， 3=(1，0，0，1) T其中 2， 3 都不是 x1+x2+x3=0，的解，因此 a=0 不合要求 当 a0 时，继续对 B 进行初等行变换以 x4 为自由未知量，得基础解系=(a 1， a， ，1) T代入 x1+x2+x3=0，(a 1)+( a)+ =0，求得a=12即当 a=12 时， 适合 x1+x2+x3=0，从而()的解都满足 x1+x2+x3=0当a12 时， 不满足 x1+x2+x3=0得 a=12 为所求此时，方程组的通解为c( 12，12，1，1) T，c 可取任何
25、常数【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 本题可以用上例的方法，先求出其中一个方程组的解，代入另一个方程组求参数但是由于两个方程组都有参数，先求一个方程组的解时，参数会使得计算复杂可先从概念上着眼，两个方程组同解可推得它们的系数矩阵的秩相等左边方程组系数矩阵的秩不会小于 2，右边方程组系数矩阵的秩不会大于 2，于是它们的系数矩阵的秩为 2这样参数 a 可先求得，再求左边方程组的解，代入右边方程组求 b，c 下面我们用一个更加简单的方法这两个方程组同解，则它们的联立方程组也和它们同解，系数矩阵的秩也为 2由此可直接通过计算联立方程组系数矩阵的秩来求 a，b，c 于是a2=0，c b1=0
26、，c b 21=0 则 a=2，b，c 有两组解b=0，c=1 ； b=1，c=2可是 b=0，c=1 时右边方程组系数矩阵的秩为 1，因此两个方程组不会同解，这组解应该舍去得；a=2，b=1，c=2【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 所求 AX=0 要满足：4 维向量 是 AX=0 的解 可用 1， 2 线性表示设 =(c1，c 2，c 3，c 4)T，于是 可用 1， 2 线性表示c2c 12c 3=0 且 c4+c1c 3=0 是齐次方程组 的解这个齐次方程组满足要求【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 因为 r(A)=n3，所以 AX=0 的基础解系包含 3 个解设1，
27、2， 3 是 AX=0 的一个基础解系，则条件说明 1， 2， 3 可以用 1， 2， 3 线性表示于是有下面的关于秩的关系式： 3=r( 1， 2， 3)r(1， 2， 3； 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)3， 从而 r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3； 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)， 这说明 1， 2， 3 和 1， 2， 3 等价，从而 1， 2， 3 也都是 AX=0 的解；又 r(1， 2， 3)=3，即 1， 2， 3 线性无关，因此是 AX=0 的一个基础解系【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 记 A=(1， 2， 3)，则问题化归线性方程组 A
28、X= 解的情形的讨论及求解问题了 (1)a=0(b 任意)时 方程组 AX= 无解， 不能用1， 2， 3 线性表示(2)当 a0，ab 时，r(A)=r(A)=3，方程组 AX= 唯一解，即 可用 1， 2， 3 唯一表示 AX= 的解为(3)当 a=b0 时 r(A)=r(A)=2 ，AX= 有无穷多解，即 可用 1， 2， 3 线性表示，且表示式不唯一AX= 有特解 ，而(0，1，1) T 构成AX=0 的基础解系，AX= 的通解为 +c(0，1，1) T，c 任意，即 =，c 任意【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 X 一定是 2 阶矩阵AXXA=B 即x1，x 2，x 3，x
29、 4 是线性方程组： 的解得a=3，b=2把 a=3，b=2 代入右边的矩阵，并继续作行变换化得简单阶梯形矩阵 解得通解为 (3，2，0，0) T+c1(1，1，1，0)T+c2(1， 0，0 ，1) T，c 1，c 2 任意则满足 AXCX= 的矩阵 X 的一般形式为【知识模块】 线性方程组27 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换有方程组的解：令 x3=0， x4=0 得 x2=1，x 1=2即 =(2，1，0，0) T导出组的解：令x3=1， x4=0 得 x2=3，x 1=1即 1=(1，3，1，0) T；令 x3=0，x 4=1 得x2=0， x1=1 即 2=(1，0，0，1) T
30、因此方程组的通解是：(2，1，0，0)T+k1(1，3，1，0) T+k2(1，0，0，1) T而其中满足 x12=x22 的解，即(2+k 1k 2)2=(1+3k1)2那么 2+k 1k 2=1+3k1 或 2+k1k 2=(1+3k 1)，即 k 2=12k 1 或k2=3+4k1所以(1 ，1，0，1) T+k(3，3，1，2) T 和(1，1，0，3)T+k(3，3，1，4) T 为满足 x12=x22 的所有解【知识模块】 线性方程组28 【正确答案】 因为系数行列式所以齐次方程组只有零解【知识模块】 线性方程组29 【正确答案】 设 Ax=0 的基础解系是 1， 2， t若 1， 2， s 线性无关， 1， 2， s 与 1， 2， t 等价 由于 j(j=1，2，s)可以由1， 2， t 线性表示，而 i(i=1，t)是 Ax=0 的解，所以 j(j=1，2，s)是 Ax=0 的解 因为 1， 2， t 线性无关，秩 r(1， 2， t)=t，又1， 2， t 与 1， 2， s 等价，所以 r(1， 2， s)=r(1， 2， t)=t又因 1， 2， s 线性无关，故 s=t 因此 1， 2， t 是 Ax=0 的基础解系【知识模块】 线性方程组
