1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 mn 矩阵，r(A)=r则方程组 AX=（A）在 r=m 时有解（B）在 m=n 时有唯一解（C）在 rn 时有无穷多解（D）在 r=n 时有唯一解2 A= ，r(A)=2，则( )是 A*X=0 的基础解系（A）(1 ，1，0) T，(0，0，1) T（B） (1，1，0) T（C） (1，1，0) T，(2 ，2，a) T（D）(2 ，2，a) T，(3 ，3，b) T3 设 1， 2 是非齐次方程组 AX= 的两个不同的解， 1， 2 为它的导出组 AX=0
2、的一个基础解系，则它的通解为( )（A）k 11+k22+(1 2)2（B） k11+k2(1 2)+(1+2)2（C） k11+k2(1 2)+(1 2)2（D）k 11+k2(1 2)+(1+2)24 设线性方程组 AX= 有 3 个不同的解 1， 2， 3，r(A)=n2，n 是未知数个数，则( )正确（A）对任何数 c1，c 2，c 3，c 11+c22+c33 都是 AX= 的解；（B） 213 2+3 是导出组 AX=0 的解；（C） 1， 2， 3 线性相关；（D） 1 2， 2 3 是 AX=0 的基础解系5 设 A 是 mn 矩阵，则下列命题正确的是（A）如 mn，则 AX=
3、b 有无穷多解（B）如 Ax=0 只有零解，则 Ax=b 有唯一解（C）如 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax=0 只有零解（D）Ax=b 有唯一解的充要条件是 r(A)=n6 设 A 是 54 矩阵，A=( 1， 2， 3， 4)，若 1=(1，1，2，1)T， 2=(0，1， 0，1) T 是 AX=0 的基础解系，则 A 的列向量组的极大线性无关组可以是（A） 1， 3（B） 2， 4（C） 2， 3（D） 1， 2， 4二、填空题7 已知方程组 总有解，则 应满足_8 四元方程组 Ax=b 的三个解是 1， 2， 3，其中 1=(1，1，1，1)T， 2+3=(2，3，4，5) T，如
4、 r(A)=3，则方程组 Ax=b 的通解是_9 设 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A*x=0 的通解是_10 已知方程组 的通解是(1，2，1，0)T+k(1，2，1，1) T，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 已知(1 ，a，2) T，( 1， 4，b) T 构成齐次线性方程组 的一个基础解系，求 a，b，s ，t12 讨论 p，t 为何值时，方程组 无解?有解?有解时写出全部解13 设 计算行列式 A实数 a 为什么值时方程组 AX= 有无穷多解?在此时求通解14 已知线性方程组 有解(1，1，1，1)T (1)用导出组的基础解系表示通解；(2)写
5、出 x2=x3 的全部解15 已知 =(0，1，0) T 是方程组 的解，求通解16 设非齐次方程组 AX= 有解 1， 2， 3，其中 1=(1，2，3，4)T， 2+3=(0，1，2，3) T，r(A)=3求通解17 已知 3 阶矩阵 A 的第一行为(a，b，c) ，a，b，c 不全为 0，矩阵 B= ，并且 AB=0，求齐次线性方程组 AX=0 的通解18 设( )和()都是 4 元齐次线性方程组，已知 1=(1，0，1，1)T， 2=(1，0，1，0) T， 3=(0，1，1，0) T 是()的一个基础解系，1=(0，1，0，1) T， 2=(1，1，1，0) T 是()的一个基础解系
6、求()和()公共解19 设( )和()是两个四元齐次线性方程组， ()的系数矩阵为()的一个基础解系为 1=(2，1，a+2，1)T， 2=(1， 2，4，a+8) T(1)求() 的一个基础解系；(2)a 为什么值时()和()有公共非零解? 此时求出全部公共非零解20 已知两个线性方程组同解，求 m，n，t 21 设齐次方程组(I) 有一个基础解系1=(b11，b 12，b 12n)T， 2=(b21，b 22，b 22n)T， n=(bn1，b n2，b n2n)T证明 A 的行向量组是齐次方程组 () 的通解22 设 1， 2， ， s， 1， 2， t 线性无关，其中 1， 2， s
7、是齐次方程组 AX=0 的基础解系证明 A1，A 2，A t 线性无关23 n 元非齐次线性方程组 AX= 如果有解，则解集合的秩为 =nr(A)+124 已知平面上三条直线的方程为 l 1：ax+2by+3c=0， l 2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=025 设 (1)求方程组 AX=0 的一个基础解系(2)a，b，c 为什么数时 AX=B 有解?(3) 此时求满足 AX=B 的通解26 求齐次方程组 的基础解系27 当 a，b 取何值时，方程组 有唯一解，无解，有无穷多解?当方程组有解时，求其解28 设 A 是
8、 n 阶矩阵，证明方程组 Ax=b 对任何 b 都有解的充分必要条件是A0考研数学二（线性方程组）模拟试卷 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 此题的考点是解的情况的判别法则以及矩阵的秩的性质在判别法则中虽然没有出现方程个数 m，但是 m 是 r(A)和 r(A) 的上限因此，当 r(A)=m 时，必有 r(A)=r(A)，从而方程组有解，A 正确C 和 D 的条件下不能确定方程组有解B 的条件下对解的情况不能作任何判断【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 A【试题解析】 由 A 是 3 阶矩阵，因此未知数个数 n
9、 为 3r(A)=2，则 r(A*)=1 A*X=0 的基础解系应该包含 n1=2 个解，A 满足 (1，1，0) T，(0，0，1) T 显然线性无关，只要再说明它们都是 A*X=0 的解 A*A=A E=0 ，于是 A 的 3 个列向量(1 ，1，0) T，(2 ，2，a) T，(3 ，3，b) T 都是 A*X=0 的解由于 r(A)=2， a 和 b 不会都是 0，不妨设 a0，则 (0 ，0，a) T=(2，2，a) T=2(1，1，0) T也是 A*X=0 的解于是(0，0，1) T=(0，0，a) Ta 也是解【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 B【试题解析】 用排除法 先
10、看特解( 1 2)2 是 AX=0 的解，不是 AX= 的解，从而 A，C 都不对( 1+2)2 是 AX= 的解 在看导出组的基础解系在 B 中，1， 1 2 是 AX=0 的两个解，并且由 1， 2 线性无关容易得出它们也无关，从而可作出 AX=0 的基础解系，B 正确 在 D 中，虽然 1， 1 2 都是 AX=0 的解，但不知道它们是否无关，因此 D 作为一般性结论是不对的【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 B【试题解析】 A i=，因此 A(213 2+3)=23+=0，即 213 2+3 是 AX=0的解，B 正确 c 11+c22+c33 都是 AX= 的解 c1+c2+c
11、3=1，A 缺少此条件 当r(A)=n2 时，AX=0 的基础解系包含两个解，此时 AX= 存在 3 个线性无关的解，因此不能断定 1， 2， 3 线性相关C 不成立 1 2， 2 3 都是 AX=0 的解，但从条件得不出它们线性无关，因此 D 不成立【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 B【试题解析】 如 mn，齐次方程组 Ax=0 有无穷多解，而线性方程组可以无解，两者不要混淆，请举简单反例如 Ax=0 只有零解，则 r(A)=n，但由 r(A)=n 推断不出 r(ab)=n，因此 Ax=b 可以无解例如 前者只有零解，而后者无解故 B 不正确关于 D， Ax=b 有唯一解 r(A)=
12、r(Ab)=n由于 r(A)=n r(Ab)=n ，例子同上可见 D 只是必要条件，并不充分C为何正确?除用排除法外，你如何证明【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 C【试题解析】 由 A1=0，知 1+22 3+4=0 由 A2=0，知 2+4=0 因为 nr(A)=2，故必有 r(A)=2所以可排除 D 由知， 2， 4 线性相关故应排除 B 把代入得 12 3=0，即 1， 3 线性相关，排除 A 如果 2， 3 线性相关，则 r(1， 2， 3， 4)=r(2 3， 2， 3， 2)=r(2， 3)=1 与 r(A)=2 相矛盾所以选 C【知识模块】 线性方程组二、填空题7 【正确
13、答案】 1 且 【试题解析】 对任意 b1， b2，b 3，方程组有解铮 r(A)=3 A0而由可知 1 且 【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 (1，1，1，1) T+k(0，1，2，3) T【试题解析】 由( 2+3)2 1=(2 1)+(3 1)=(2，3，4，5) T2(1，1，1，1)T=(0，1，2，3) T，知(0，1，2，3) T 是 Ax=0 的解 又秩 r(A)=3，n r(A)=1 ，所以 Ax=b 的通解是(1，1， 1，1) T+k(0，1，2，3) T【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 k 1(1，4，7) T+k2(2，5，8) T【试题解析】 因为秩
14、 r(A)=2，所以行列式A=0 ，并且 r(A*)=1 那么A*A=AE=0 ，所以 A 的列向量是 A*x=0 的解 又因 r(A*)=1，故 A*x=0 的通解是 k1(1，4，7) T+k2(2， 5，8) T【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 3【试题解析】 因(1，2，1，0) T 是 Ax=b 的解，则将其代入第 2 个方程可求出b=1 因(1 ，2，1，1) T 是 Ax=0 的解，则将其代入第 1 个方程可求出 a=3【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 此齐次线性方程组的基础解系包含 2 个解，未知数有 3 个
15、，则系数矩阵 的秩为 1，立刻得到 s=2，t=1于是方程组为把(1，a，2) T，(1，4，b) T 代入，得 a=2，b=1【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵于是，当t2 时，有 r(A)r(A)，此时方程组无解当 t=2 时(p 任意)，r(A)=r(A)34，此时有无穷多解当 t=2，p=8 时，得同解方程组令 x3=x4=0，得一特解(1， 1，0，0) T导出组有同解方程组 对 x3，x 4 赋值得基础解系(4，2，1，0) T，(1，2，0，1)T此时全部解为(1，1，0，0) T+c1(4，2，1， 0)T+c2(1，2，0，1)
16、T，其中c1，c 2 可取任何数。当 t=2，p8 时，得同解方程组令 x4=0，得一特解(1，1，0，0) T导出组有同解方程组令 x4=1，得基础解系(1，2，0，1) T此时全部解为(1， 1，0，0) T+c(1，2，0，1) T，其中 c 可取任何数【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 如果顺题目要求，先做，算得 A=1a 4，再做时，由无穷多解=A =0 ，a=1 或1然后分别就这两种情况用矩阵消元法进行讨论和求解这个过程工作量大下面的解法要简单些解两个小题可以一起进行：把增广矩阵用第 3 类初等行变换化为阶梯形A =B=1 a4AX= 有无穷多解的条件是 1a 4=a a
17、2=0，即 a=1此时求出通解(0，1，0，0)T+c(1， 1，1， 1)T，c 为任意常数【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 (1，1，1，1) 1 代入方程组，可得到 =，但是不能求得它们的值(1)此方程组已有了特解(1，1，1，1) T，只用再求出导出组的基础解系就可写出通解对系数矩阵作初等行变换：如果 21=0 ，则(1，3，1，0) T 和(12，1，0，1) T 为导出组的基础解系，通解为(1，1，1，1) T+c1(1，3，1，0)T+c2( 12， 1，0，1) T，c 1，c 2 任意如果 210，则用 21 除 B 的第三行：(1，12，12，1) T 为导出组的
18、基础解系，通解为(1，1，1，1) T+c(1，12，12，1) T，c 任意(2)当 21=0 时，通解的 x2=13c 1c 2，x 3=1+c1，由于 x2=x3，则有13c 1c 2=1+c1，从而 c2=24c 1，因此满足 x2=x3 的通解为(2，1，1，3)T+c1(3， 1，1 ，4) T当 210 时，1+c2=1e2，得 c=2，此时解为(1， 0，0，1) T【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 把 =(0，1，0) T 代入方程组可求得 b=1，d=3，但是 a 和 c 不能确定于是要对它们的取值对解的影响进行讨论记系数矩阵为 A看 r(A)，一定有r(A)2(
19、因为 1，2 两行无关)则当 n+c3 时 r(A)=3，则方程组唯一解 则当 a+c=3 时 r(A)=2，有方程组有无穷多解，并且它的导出组有同解方程组 求得(1，1，1) T 构成基础解系方程组的通解为：(0，1， 0)T+c(1，1，1) T，c 任意【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 1 是 AX= 的一个特解，只用再找 AX=0 的基础解系从解是 4维向量知，AX= 的未知数个数 n=4r(A)=3，于是，它的 AX=0 的基础解系由 1个非零解构成 由解的性质，2 1( 2+3)：(2 ，3，4，5) T 是 AX=0 的解于是，AX= 的通解为 (1 ，2，3 ，4)
20、T+c(2，3，4，5) T，c 可取任何常数【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 由于 AB=0，r(A)+r(B)3，并且 B 的 3 个列向量都是 AX=0 的解 (1)若 k9，则 r(B)=2，r(A)=1，AX=0 的基础解系应该包含两个解(1，2，3)T 和 (3，6，k) T 都是解，并且它们线性无关，从而构成基础解系，通解为： c1(1，2，3) T+c2(3，6，k) T，其中 c1，c 2 任意 (2)如果 k=9，则 r(B)=1，r(A)=1 或2 r(A)=2，则 AX=0 的基础解系应该包含一个解，(1，2，3) T 构成基础解系，通解为： c(1，2，3)
21、 T，其中 c 任意 r(A)=1，则 AX=0 的基础解系包含两个解，而此时 B 的 3 个列向量两两相关，不能用其中的两个构成基础解系 由 r(A)=1，A 的行向量组的秩为 1，第一个行向量(a ，b， c)(0！)构成最大无关组，因此第二，三个行向量都是(a，b，c) 的倍数，从而 AX=0 和方 ax1+bx2+cx3=0 同解由于(1， 2，3) T 是解，有 a+2b+3c=0，则 a，b 不都为 0(否则 a，b，c 都为 0)，于是(b， a，0) T 也是 ax1+bx2+cx3=0 的一个非零解，它和(1，2，3) T 线性无关，一起构成基础解系，通解为： c 1(1，2
22、，3) T+c2(b，a，0) T，其中 c1，c 2 任意【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 用例 424 的第二种思路解现在()也没有给出方程组，因此不能用例 424 的代入的方法来决定 c1，c 2 应该满足的条件了但是 ()有一个基础解系 1， 2， 3，c 11+c22 满足() 的充分必要条件为 c11+c22 能用 1， 2， 3线性表示，即 r(1， 2， 3，c 11+c22)=r(1， 2， 3)于是可以通过计算秩来决定c1，c 2 应该满足的条件： 于是当 3c1+c2=0时 c11+c22 也是() 的解从而( )和()的公共解为： c(13 2)，其中 c 可
23、取任意常数【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 (1)把() 的系数矩阵用初等行变换化为简单阶梯形矩阵得到()的同解方程组对自由未知量 x3，x 4 赋值，得()的基础解系 1=(5，3，1，0)T， 3=(3， 2，0，1) T(2)( )的通解为 c11+c22=(2c1c 2，c 1+2c2，(a+2)c1+4c2，c 1+(a+8)c2)T将它代入 ()，求出为使 c11+c22 也是()的解(从而是()和()的公共解 )，c 1，c 2 应满足的条件(过程略)为： 于是当a+10 时，必须 c1=c2=0，即此时公共解只有零解当 a+1=0 时，对任何c1，c 2，c 11+c
24、22 都是公共解从而 ()，()有公共非零解此时它们的公共非零解也就是()的非零解：c 11+c22，c 1，c 2 不全为 0【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 m，n，t 分别在方程组()的各方程中，()的系数及常数项中无参数，可先求出() 的一个解(要求 x2 的值不为 0！请读者思考为什么这样要求)，代入( )的方程，可分别求出 m，n，t求() 的一个特解得(2，4，5，0) T 是()的一个解将它代入() 的方程： 得到 m=2，n=4，t=6【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 分别记 A 和 B 为()和()的系数矩阵 ()的未知量有 2n 个，它的基础解系含有
25、n 个解，则 r(A)=n，即 A 的行向量组 1， 2， n 线性无关 由于 1， n 都是 (I)的解，有 ABT=(A1， A2，A n)=0，转置得BAT=0，即 BiT=0，i=1， ，n于是， 1， 2， ， n 是()的 n 个线性无关的解又因为 r(B)=n，( )也有 2n 个未知量，2nr(B)=n所以 1， 2， n 是()的一个基础解系从而() 的通解为 c 11+c22+cnn，c 1，c 2，c n 可取任意数【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 用定义法证 设 c1A1+c2A2+ctAt=0则A(c11+c22+ctt)=0 即 c11+c22+ctt 是
26、 AX=0 的一个解于是它可以用1， 2， s 线性表示： c 11+c22+ctt=t11+t22+tss，再由1， 2， s， 1， 2， ， t 线性无关，得所有系数都为 0【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 记 s=nr(A) ，则本题要说明两点 (1)存在 AX= 的 s+1 个线性无关的解(2)AX= 的 s+2 个解一定线性相关 (1) 设 为()的一个解，1， 2， s 为导出组的基础解系，则 不能用 1， 2， s 线性表示，因此， 1， 2， s 线性无关，+ 2，+ 2，+ s 是()的 s+1 个解，并且它们等价于 ， 1， 2， s于是 r( ，+ 1，+ 2
27、，+ s)=r(， 1， 2， s)=s+1， 因此 ，+ 1，+ 2，+ s 是( )的 s+1 个线性无关的解 (2)AX= 的任何 s+2 个解都可用 ， 1， 2， s 这 s+1 向量线性表示，因此一定线性相关【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 l 1，l 2，l 3 交于一点即方程组 有唯一解，即系数矩阵的秩=增广矩阵的秩 =2 则方程组系数矩阵的秩=r(A)，增广矩阵的秩=r(B) ，于是 l1，l 2，l 3 交于一点 r(A)=r(B)=2必要性 由于 r(B)=2，则 B=0计算出B=(a+b+c)(a 2+b2+c2abacbc) = (a+b+c)(ab) 2+
28、(bc) 2+(ca) 2a，b，c 不会都相等 (否则 r(A)=1)，即(a b)2+(bc) 2+(c a)20得 a+b+c=0充分性 当 a+b+c=0 时，B=0，于是 r(A)r(B)2只用再证 r(A)=2，就可得到 r(A)=r(B)=2用反证法若 r(A)2，则 A的两个列向量线性相关不妨设第 2 列是第 1 列的 A 倍，则b=a， c=b， a=c于是 3a=a， 3b=b， 3c=c，由于 a，b，c 不能都为 0，得3=1，即 =1，于是 a=b=c再由 a+b+c=0，得 a=b=c=0，这与直线方程中未知数的系数不全为 0 矛盾【知识模块】 线性方程组25 【正
29、确答案】 对 AX=B 的增广矩阵(AB)作初等行变换化阶梯形矩阵：得到 AX=0的同解方程组： 求得基础解系：(2，1，1，0) T，(1，0，0，1)T (2)AX=B 有解 r(AB)=r(A)=2，得 a=6，b=3 ，c=3 (3)建立 3 个线性方程组，它们的系数矩阵都是 A，常数列依次为 B 的各列则 X 的各列依次是它们的解它们的导出组都是 AX=0，已经有了基础解系(2，1，1，0) T，(1，0，0，1)T，只用再各求一个特解就可得到通解可以一起用矩阵消元法求它们的特解：于是(32，32，0，0)T， (32， 32，0，0) T，(0 ，1，0，0) T 依次是这 3 个
30、方程组的特解AX=B 的通解为： 或者表示为：【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 对系数矩阵作初等变换，有当 a1 时，r(A)=3 ，取自由变量 x4 得 x4=1，x 3=0，x 2=6，x 1=5基础解系是 (5，6，0，1) T 当 a=1时，r(A)=2取自由变量 x3，x 4，则由 x 3=1，x 4=0 得 x2=2，x 1=1，x 3=0，x 4=1得 x2= 6，x 1=5，知基础解系是 (1，2，1，0) T， (5，6，0，1) T【知识模块】 线性方程组27 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有()当 a0，且 b3时，方程组有唯一解 ()当 a=0 时， b 方程组均无解()当a0，b=3 时，方程组有无穷多解 +k(0，3，2) T【知识模块】 线性方程组28 【正确答案】 必要性对矩阵 A 按列分块 A=(1， 2， n)，则 b，Ax=b有解= 1， 2， n 可表示任何 n 维向量 b =1， 2， n 可表示e1=(1，0，0，0) T，e 2=(0，1，0，0) T， ，e n=(0，0，0，1) T =r(1， 2， n)r(e1，e 2，e n)=n =r(A)=n所以A 0充分性由克莱姆法则，行列式A0 时方程组必有唯一解，故 b，Ax=b 总有解【知识模块】 线性方程组
