1、考研数学二（行列式）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 1,2， 1， 2， 都是 3 维列向量，且行列式 1， 1，= 1， 2， = 2， 1， = 2， 2，=3 ，那么一2， 1+2， 1+22=( )（A）一 18（B）一 36（C） 64（D）一 962 设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=( )（A）0（B） a2（C）一 a2（D）na 23 设 A 是 3 阶矩阵，其中 a110，A ij=aij，i=1，2， 3，j=1 ，2，3，则2A T=( )（A）0（B） 2（C） 4（D）
2、84 4 阶行列式 的值等于( )（A）a 1a2a3a4 一 b1b2b3b4（B） a1a2a3a4+b1b2b3b4（C） (a1a2 一 b1b2)(a3a4 一 b3b4)（D）(a 2a3 一 b2b3)(a1a4 一 b1b4)5 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（A）当 mn，必有行列式AB0（B）当 mn，必有行列式AB=0（C）当 nm，必有行列式AB0（D）当 nm，必有行列式AB=06 设 1， 2， 3， 1， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式 1， 2， 3， 1=m ， 1， 2， 2， 3=n，则 4 阶行列式 1， 2， 3， 1+
3、7.2等于 ( )（A）m+n （B）一 (m+n)（C） nm（D）m 一 n7 设 且A =m ，则B=( )（A）m（B）一 8m（C） 2m（D）一 2m8 1,2,3， 1， 2 均为 4 维列向量，A=( 1,2,3， 1)，B=( 3， 1， 2， 2)，且A=1，B =2，则A+B=( )（A）9（B） 6（C） 3（D）19 设矩阵 是满秩的，则直线( )（A）相交于一点（B）重合（C）平行但不重合（D）异面二、填空题10 设 3 阶行列式 D，的第 2 行元素分别为 1、一 2、3，对应的代数余子式分别为一 3、2、1，则 D3=_11 如果 的代数余子式 A12=一 1，
4、则代数余子式 A21=_12 如果 ，则A=_13 行列式 的结果是_14 设 ，则A TB=_15 已知 3 阶行列式 =_16 四阶行列式 的值是_17 设 n 阶矩阵 则A =_18 行列式 =_?19 已知 A，B，C 都是行列式值为 2 的 3 阶矩阵，则=_?20 设 则 f(x+1)一 f(x)=_21 方程 的根是_22 在 xOy 平面上，平面曲线方程 则平面曲线与 x 轴的交点的坐标是_23 设 A 为 3 阶矩阵， 则(2A) 一 1 一 5A*=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 设 证明：行列式A =(n+1)an25 证明 =anxn+an-1
5、xn-1+a1x+a026 计算： ，其中未写出的元素都是 027 设 A 是 n 阶可逆矩阵，且 A 与 A 一 1 的元素都是整数，证明：A=1考研数学二（行列式）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查行列式的性质利用性质 1， 2， 1+2= 1， 2， 1+ 1， 2， 2和k 1， 2， 3=k 1,2,3则有一 2， 1+2， 1+22= 一2， 1， 1+22+一 2， 2， 1+22=一 2， 1， 1+一2， 1,22+一 2， 2， 1+一 2， 2，2 2=一 2 1， 1，一4 1
6、， 2，一 2 2， 1，一 4 2， 2， =( 一 2424)3=一123=一 36所以应选 B【知识模块】 行列式2 【正确答案】 A【试题解析】 按这一列展开，D=a 1jA1j+a1jA1j+a2njA2nj=aA1j+aA2j+aA2nj，并注意到这一列元素的代数余子式中有 n 个为 a，n 个为一 a，从而行列式的值为零所以应选 A【知识模块】 行列式3 【正确答案】 D【试题解析】 2A 33T=2 3A T=8A，且由已知故 A*=AT又由AA*=AAT= AE，两边取行列式，得 AAT= A 2=A E=A 3，得A 2(A1)=0又 a110，则A=a 11A11+a12
7、A12+a13A13=a112+a122+a1330故 A=1，从而2A T=8，所以应选 D【知识模块】 行列式4 【正确答案】 D【试题解析】 根据行列式的按 k 行(列)展开法则，将此行列式第 2、3 行(列)展开，得 所以应选 D【知识模块】 行列式5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 AB 是 m 阶方阵，且 r(AB)minr(A)，r(B)minm，n，所以当 mn 时，必有 r(AB)m，从而AB=0，所以应选 B【知识模块】 行列式6 【正确答案】 C【试题解析】 由行列式的性质：互换两行(列)，行列式变号，得 3， 2， 1，( 1+2)= 3， 2， 1， 1+ 3，
8、2， 1， 2=一 1,2,3， 1+ 1， 2， 2， 3=nm所以应选 C【知识模块】 行列式7 【正确答案】 D【试题解析】 将行列式A的第一列加到第二列上，再将二、三列互换，之后第一列乘以 2 就可以得到行列式B由行列式的性质知B=一 2A =一2m【知识模块】 行列式8 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵加法公式，得 A+B=1+3， 2+1， 3+2， 1+2，结合行列式的性质有A+B = 1+3， 2+1， 3+2， 1+2=2( 1+2+3)，2+1， 3+2， 1+2=2 1+2+3， 2+1， 3+2， 1+2=2 1+2+3，一3，一 1， 1+1=2 2，一 3，一1
9、， 1+2=2 1， 2， 3， 1+2=2(A+ B)=6【知识模块】 行列式9 【正确答案】 A【试题解析】 记 s1=(a1a2，b 1 一 b2，c 1c2)，s 2=(a2a3，b 2 一 b3，c 2 一 c3)，由矩阵 A 满秩的性质，可知可见 s1 与 s2 必不平行，故选项 B、C 错误取 L1 上的点 M1(a1，b 1，c 1)与 L2 上的点 M3(a3，b 3，c 3)，因为两直线异面的充要条件是混合积(s 1s2).M1M30而此处，故 L1 与 L2 共面综合上述可知，L 1 与 L2 相交于一点，故选 A【知识模块】 行列式二、填空题10 【正确答案】 一 4【
10、试题解析】 根据行列式的求解方法，行列式的值等于它的任一行(列)的元素与其相应的代数余子式乘积之和，故 D3=a21A21+a22A22+A23A23=1(一 3)+(一 2)2+31=一 4【知识模块】 行列式11 【正确答案】 2【试题解析】 根据代数余子式的定义可知，因此可得 c=1所以【知识模块】 行列式12 【正确答案】 0【试题解析】 采用矩阵相乘的方法， A 中任意两行成比例，因此该行列式值为 0【知识模块】 行列式13 【正确答案】 一 2(x3+y3)【试题解析】 将后两列加到第一列上【知识模块】 行列式14 【正确答案】 140【试题解析】 因为 A 是一个对称矩阵，所以
11、因此所以可得A TB=140 【知识模块】 行列式15 【正确答案】 【试题解析】 结合行列式的性质：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外【知识模块】 行列式16 【正确答案】 一 15【试题解析】 利用行列式的性质：把行列式某一行(列)的各元素乘以同一数后，然后加到另一行(列) 对应的元素上去，行列式不变；上(下)三角形行列式的运算，对已知行列式作变换，则【知识模块】 行列式17 【正确答案】 一 2(n 一 2)!【试题解析】 运用行列式的性质把第 2 行所有元素乘以一 1 加到其他各行所对应的元素上，再将第 1 行所有元素乘以 2 加到第 2 行相应的元素上，可得
12、【知识模块】 行列式18 【正确答案】 120【试题解析】 利用行列式的性质和范德蒙德公式，将行列式第四行加到第一行上后，就可以提出公因子 10，然后将第四行逐行换至第二行，即=10(21)(3 一 1)(41)(32)(42)(43) =120【知识模块】 行列式19 【正确答案】 【试题解析】 根据行列式按行(列)展开法则，得【知识模块】 行列式20 【正确答案】 6x 2【试题解析】 【知识模块】 行列式21 【正确答案】 1,2,3，一( 1+2+3)【试题解析】 由观察可知，x 1=1 时，1、2 行对应元素相等，A=0；x 2=2 时，2、3 行对应元素相等，A=0；x 3=3 时
13、，3、4 行对应元素相等，A =0又由行列式的每行元素和为 x+a1+a2+a3，将 2、3、4 列各元素加到第 l 列相应元素上去，且提取公因式，得 ，故有 x=一(a1+a2+a3)所以方程是一元四次方程，四个根依次是 a1，a 2，a 3，一(a 1+a2+a3)【知识模块】 行列式22 【正确答案】 (2，0) ，(3，0)【试题解析】 曲线 与 x 轴(即 y=0)的交点为方程组的解，行列式 为范德蒙德行列式，即有，解得 x=2，x=3 ，故曲线与 x 轴的交点坐标为(2，0) ，(3，0)【知识模块】 行列式23 【正确答案】 一 16【试题解析】 由于 ，则 A 可逆根据逆矩阵和
14、伴随矩阵的性质，得【知识模块】 行列式三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 消元法【知识模块】 行列式25 【正确答案】 本题可利用递推法证明显然 D1=an，根据上面的结论有 Dn+1=xDn+a0=x(xDn-1+a1)+a0=x2Dn-1+xa1+a0=xnD1+an-1xn-1+a1x+a0=anxn+an-1xn-1+a1x+a0=右边，所以，对于 n阶行列式命题成立【知识模块】 行列式26 【正确答案】 该行列式只有两条对角线上有元素，其余均为 0，可以按照其中一行展开，找出递推关系式【知识模块】 行列式27 【正确答案】 由于 AA 一 1=E，则AA 一 1=1因为 A 的元素都是整数，所以A必是整数,同理可得，A 一 1亦必是整数又由于两个整数A和A 一 1相乘为 1，故A和A 一 1只能同时取值为1 【知识模块】 行列式
