1、考研数学二（行列式）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 （A）30m（B） 15m（C） 6m（D）6m2 设 A 是 n 阶矩阵，则A *A（A）（B）（C）（D）3 设 A 是 n 阶矩阵，则(2A) *（A）2 nA *（B） 2n-1A *（C） A *（D） A *4 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且Aa，Bb，若C ，则C （A）3ab（B） 3mab（C） (1) mn3mab（D）(1) (m+1)n3mab5 2 是 0 的（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既不充分也非
2、必要条件二、填空题6 若 的代数余子式 A121，则代数余子式 A21_7 若 A (4，5，6) ，则 A_8 设 A ，则2A -1_9 设 ， ， 1， 2， 3 都是 4 维列向量，且A ， 1， 2， 3 4，B ，2 1，3 2， 321，则A B_10 已知 Dn ，若 Dna nDn-1kD n-2，则k_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 已知 是 n 维列向量，且 T1，设 AE T，证明：A012 设 A 是 n 阶矩阵，证明存在非 0 的 n 阶矩阵 B 使 AB0 的充分必要条件是A013 设 A 是 n 阶可逆矩阵，且 A 与 A-1 的元素都是
3、整数，证明：A114 求 f() 的 3 的系数15 A ，证明EA的 4 个根为之和等于a11a 22a 33a 4416 设 A 与 B 分别是 m，n 阶矩阵，证明17 设 4 阶矩阵 A(， 1， 2， 3)，B(， 1， 2， 3)，A2，B3，求AB18 设 4 阶矩阵 A(， 1， 2， 3)，B(， 2， 3， 1)，Aa，Bb，求AB19 设 D 求A 13A 232A 33A 4320 计算行列式21 计算行列式22 已知(2 ，1，1，1) ，(2 ，1，a ，a)，(3，2，1， a)，(4，3，2，1)线性相关，并且a1，求 a23 计笪 4 阶行列式 D24 计算行
4、列式25 计算行列式26 设 A ，计算行列式A27 计算 n 阶行列式28 证明 n 阶行列式1aa 2a 3(a) n29 证明 (n1)a n30 证明31 证明32 证明33 计算34 计算35 计算与阶行列式 D36 计算 n 阶行列式 D37 设有方程组 (1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为 a，b， c 两两不等 (2)在此情况求解考研数学二（行列式）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 故应选 D【知识模块】 行列式2 【正确答案】 C【试题解析】 因为A *是一个数，由kA knA 及A
5、*A n-1 有 A *AA * n A( A n-1)nA 故应选 C【知识模块】 行列式3 【正确答案】 C【知识模块】 行列式4 【正确答案】 D【知识模块】 行列式5 【正确答案】 B【试题解析】 对于范德蒙行列式 D (1)(2 1)(2) 3( 1)(2)， 因为 2 时，行列式的值为 0但 D0 时， 可以为 1 所以 2 是 D0 的充分而非必要条件故应选 B【知识模块】 行列式二、填空题6 【正确答案】 2【知识模块】 行列式7 【正确答案】 0【试题解析】 利用公式“r(AB)r(B)及 A0，则 r(A)1”，易见本题中 r(A)1，所以A0或作矩阵乘法 A ，由 A 中
6、两行元素成比例而知A0【知识模块】 行列式8 【正确答案】 4【试题解析】 用kAk nA 及A -1 ，可知 2A-1(2) 3A -18. 又A2，从而2A -14【知识模块】 行列式9 【正确答案】 180【试题解析】 因 AB( ，3 1，4 2，2 3)，故 AB ，3 1，4 2，2 3 24， 1， 2， 3 24， 1， 2， 3 24 A 4B180【知识模块】 行列式10 【正确答案】 1【试题解析】 从而 k1【知识模块】 行列式三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 因为 A(E T) T( T) 0，所以 是齐次方程组 A0 的非零解故A
7、0【知识模块】 行列式12 【正确答案】 必要性对零矩阵及矩阵 B 按列分块，设 B( 1， 2， n)，那么 ABA( 1， 2， n)(A 1，A 2，A n)(0，0，0) 0 于是Aj0(j 1， 2，n)，即 j 是齐次方程组 A0 的解 由 B0，知 A0 有非零解故A0 充分性因为A0，所以齐次线性方程组 A0 有非零解设 是 A0 的一个非零解，那么，令 B(，0，0，0)，则 B0而AB0【知识模块】 行列式13 【正确答案】 因为 AA-1E，有AA -11因为 A 的元素都是整数，按行列式定义A是不同行不同列元素乘积的代数和，所以 A必是整数同理由 A-1 的元素都是整数
8、而知A -1必是整数因为两个整数A和A -1相乘为 1，所以A与A -1只能取值为1【知识模块】 行列式14 【正确答案】 在完全展开式的 24 项中除了对角线元素乘积这一项外，其他 23项 的次数都不超过 2，因此 (3)(8)(1) 中 3 的系数10 就是所求【知识模块】 行列式15 【正确答案】 设 4 个根为 1， 2， 3， 4因为 EA是 的 4 次多项式，并且 4 的系数为 1，所以 E A( 1)( 2)( 3)( 4) 从右侧看为( 1 2 3 4)；再从左侧看，因为 EA对角线外的元素都是不含 的常数，所以在其展开式的 24 项中，只有对角线元素的乘积(a 11)(a 2
9、2)(a 33)( a44)这一项包含 3 的，并且系数为(a 11a 22 a33a 44)于是1 2 3 4a 11a 22a 33a 44【知识模块】 行列式16 【正确答案】 把此行列式的左右两部分交换，办法如下：先把右部分的第 1 列依次和左部分的各列邻换(共进行了 n 次)，再把右部分的第 2 列依次和左部分的各列邻换，最后把右部分的第 m 列依次和左部分的各列邻换一共进行了 mn次邻换于是【知识模块】 行列式17 【正确答案】 AB(，2 1，2 2，2 3)， AB ，2 1，2 2，2 38 ， 1， 2， 3(用性质，二，三，四列都提出 2) 8( ， 1， 2， 3， 1
10、， 2， 3) 8(23)40【知识模块】 行列式18 【正确答案】 AB(， 1 2， 2 3， 3 1)， AB ， 1 2， 2 3， 3 1 ，2 1 2 3， 2 3， 3 1(把第 4 列加到第 2 列上) ，2 1， 2 3， 3 1 (第 2 列减去第 3 列) 2， 1， 2 3， 32， 1， 2， 3 2( ， 1， 2， 3， 1， 2， 3) 2( ， 1， 2， 3， 2， 3， 1)2a2b A B2a26【知识模块】 行列式19 【正确答案】 所求的是此行列式第 3 列元素的代数余子式 A13，A 23，A 33，A 43依次乘1，1，2，1 后的和A 13，A
11、 23，A 33，A 43 和行列式的第 3 列元素是无关的，此如果把第 3 列元素改为1，1，2，1，则 A13，A 23，A 33，A 43 不改变于是修改后的行列式的值它对第 3 列的展开式A 13A 23A 33A 43!【知识模块】 行列式20 【正确答案】 a (bc) 2a2(bc) 2 (a bc)(abc)(abc)(abc) 【知识模块】 行列式21 【正确答案】 先提出第 5 行的公因子 a再把上面 4 行依次加上它的2a 倍，a 倍，a 倍和 2 倍：【知识模块】 行列式22 【正确答案】 这 4 个向量线性相关 以它们为行(或列)向量构成的 4 阶行列式为 0 得a1
12、2【知识模块】 行列式23 【正确答案】 先把 2 至 4 列都加到第 1 列上，再 2 至 4 行都减去第 1 行，就可化为上三角行列式： D ( 3)(1) 3【知识模块】 行列式24 【正确答案】 先把 2 至 5 列都加到第 1 列上，要自下而上 2 至 4 行各减去上行：【知识模块】 行列式25 【正确答案】 用行、列的交换容易把此行列式化为分块的形式，第 4 列依次与3，2 列交换，第 4 行依次和 3，2 行交换：【知识模块】 行列式26 【正确答案】 对第 1 列展开： AA 11aA 41M 11aM 411a 4【知识模块】 行列式27 【正确答案】 记此行列式为 Dn当
13、n3 时，把 Dn 的第 2 行减第 1 行，然后第4 行减第 2 行，变为分块行列式： D nA D n-3 又易求出D11，D 20，D 31，于是 D n【知识模块】 行列式28 【正确答案】 记此行列式为 Dn 对第 1 行展开，得到一个递推公式 Dn(1a)Dn-1aD n-2 下面用数学归纳法证明本题结论 (1)验证 n1，2 时对： D 11a， D2 (1a) 2a1aa 2 (2)假设对 n1 和 n2 结论都对，证明对 n 也对： D n-11aa 2a 3(a) n-1， D n-21a a 2a 3(a)n-2， 则由递推公式 D n(1a)D n-1aD n-2D n
14、-1a(D n-1D n-2)D n-1(a) n 1aa 2a 3(a) n-1( a) n【知识模块】 行列式29 【正确答案】 记此行列式为 Dn，要证明 D n(n1)a n，(I n) 先求递推公式对第 1 行展开，得 D n2aD n-1a 2Dn-2 再用数学归纳法： 先检查 n1 和2，D 12a， D23a 2，(I 1)和(I 2)都成立 设当 k n 时(I k)都成立，则 D n2aD n-1a 2Dn-22ana n-1a 2(n1)a n-2(n1)a n，(I n)成立【知识模块】 行列式30 【正确答案】 设 ab把第 1 行分解为(a b，b，0)(b，0，0
15、)(a ，b，0)，则得 DnbD n-1a n，(1) 对称地有 DnaD n-1b n，(2) a(1) 一 b(2)，得 (a b)Dna n+1b n+1， D n 【知识模块】 行列式31 【正确答案】 把要证明的值的表达式和对第 1 行的展开式对照：就可看出结论也就是对每个 i，有 M 1ib 1bi-1ci+1cn 而这个等式只要写出 M1i就可得到：于是 M1i Gi H ib 1bi-1ci+1cn【知识模块】 行列式32 【正确答案】 a 0 的代数余子式 A11M 11 ci i1 时 ai 的代数余子式A1i1 ( 1)iM1i+1于是 M1i+1G iH i(1) i
16、+1bic1ci-1ci+1cn【知识模块】 行列式33 【正确答案】 各行减上行得【知识模块】 行列式34 【正确答案】 12345(1 1-1 2-1 3-1 4-1 5-1) 12345 2345 1345 1245 1235 1234【知识模块】 行列式35 【正确答案】 对第一行展开： DAA AA14A15 1M14M 12M1 13 M14M 15代入得D 12345 345 245 235 234【知识模块】 行列式36 【正确答案】 对第一列展开： 其中 Gi是一个对角线元素都是1 的 i1 阶下三角矩阵， Hi 是一个对角线元素都是 的ni 阶上三角矩阵，于是 M i1G iH i(1) i-1n-i 代入得 D ain-1【知识模块】 行列式37 【正确答案】 用矩阵消元法和初等变换法(1)A(ba)(c b)(ca) ，于是唯一解 A 0 a，b，c 两两不等 (2)得： 1a， 2b， 3c【知识模块】 行列式
