[考研类试卷]考研数学二(行列式)模拟试卷6及答案与解析.doc

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1、考研数学二(行列式)模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 若 (A)30m(B) 15m(C) 6m(D)6m2 设 A 是 n 阶矩阵,则A *A(A)(B)(C)(D)3 设 A 是 n 阶矩阵,则(2A) *(A)2 nA *(B) 2n-1A *(C) A *(D) A *4 设 A 是 m 阶矩阵,B 是 n 阶矩阵,且Aa,Bb,若C ,则C (A)3ab(B) 3mab(C) (1) mn3mab(D)(1) (m+1)n3mab5 2 是 0 的(A)充分必要条件(B)充分而非必要条件(C)必要而非充分条件(D)既不充分也非

2、必要条件二、填空题6 若 的代数余子式 A121,则代数余子式 A21_7 若 A (4,5,6) ,则 A_8 设 A ,则2A -1_9 设 , , 1, 2, 3 都是 4 维列向量,且A , 1, 2, 3 4,B ,2 1,3 2, 321,则A B_10 已知 Dn ,若 Dna nDn-1kD n-2,则k_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 已知 是 n 维列向量,且 T1,设 AE T,证明:A012 设 A 是 n 阶矩阵,证明存在非 0 的 n 阶矩阵 B 使 AB0 的充分必要条件是A013 设 A 是 n 阶可逆矩阵,且 A 与 A-1 的元素都是

3、整数,证明:A114 求 f() 的 3 的系数15 A ,证明EA的 4 个根为之和等于a11a 22a 33a 4416 设 A 与 B 分别是 m,n 阶矩阵,证明17 设 4 阶矩阵 A(, 1, 2, 3),B(, 1, 2, 3),A2,B3,求AB18 设 4 阶矩阵 A(, 1, 2, 3),B(, 2, 3, 1),Aa,Bb,求AB19 设 D 求A 13A 232A 33A 4320 计算行列式21 计算行列式22 已知(2 ,1,1,1) ,(2 ,1,a ,a),(3,2,1, a),(4,3,2,1)线性相关,并且a1,求 a23 计笪 4 阶行列式 D24 计算行

4、列式25 计算行列式26 设 A ,计算行列式A27 计算 n 阶行列式28 证明 n 阶行列式1aa 2a 3(a) n29 证明 (n1)a n30 证明31 证明32 证明33 计算34 计算35 计算与阶行列式 D36 计算 n 阶行列式 D37 设有方程组 (1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为 a,b, c 两两不等 (2)在此情况求解考研数学二(行列式)模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 故应选 D【知识模块】 行列式2 【正确答案】 C【试题解析】 因为A *是一个数,由kA knA 及A

5、*A n-1 有 A *AA * n A( A n-1)nA 故应选 C【知识模块】 行列式3 【正确答案】 C【知识模块】 行列式4 【正确答案】 D【知识模块】 行列式5 【正确答案】 B【试题解析】 对于范德蒙行列式 D (1)(2 1)(2) 3( 1)(2), 因为 2 时,行列式的值为 0但 D0 时, 可以为 1 所以 2 是 D0 的充分而非必要条件故应选 B【知识模块】 行列式二、填空题6 【正确答案】 2【知识模块】 行列式7 【正确答案】 0【试题解析】 利用公式“r(AB)r(B)及 A0,则 r(A)1”,易见本题中 r(A)1,所以A0或作矩阵乘法 A ,由 A 中

6、两行元素成比例而知A0【知识模块】 行列式8 【正确答案】 4【试题解析】 用kAk nA 及A -1 ,可知 2A-1(2) 3A -18. 又A2,从而2A -14【知识模块】 行列式9 【正确答案】 180【试题解析】 因 AB( ,3 1,4 2,2 3),故 AB ,3 1,4 2,2 3 24, 1, 2, 3 24, 1, 2, 3 24 A 4B180【知识模块】 行列式10 【正确答案】 1【试题解析】 从而 k1【知识模块】 行列式三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 因为 A(E T) T( T) 0,所以 是齐次方程组 A0 的非零解故A

7、0【知识模块】 行列式12 【正确答案】 必要性对零矩阵及矩阵 B 按列分块,设 B( 1, 2, n),那么 ABA( 1, 2, n)(A 1,A 2,A n)(0,0,0) 0 于是Aj0(j 1, 2,n),即 j 是齐次方程组 A0 的解 由 B0,知 A0 有非零解故A0 充分性因为A0,所以齐次线性方程组 A0 有非零解设 是 A0 的一个非零解,那么,令 B(,0,0,0),则 B0而AB0【知识模块】 行列式13 【正确答案】 因为 AA-1E,有AA -11因为 A 的元素都是整数,按行列式定义A是不同行不同列元素乘积的代数和,所以 A必是整数同理由 A-1 的元素都是整数

8、而知A -1必是整数因为两个整数A和A -1相乘为 1,所以A与A -1只能取值为1【知识模块】 行列式14 【正确答案】 在完全展开式的 24 项中除了对角线元素乘积这一项外,其他 23项 的次数都不超过 2,因此 (3)(8)(1) 中 3 的系数10 就是所求【知识模块】 行列式15 【正确答案】 设 4 个根为 1, 2, 3, 4因为 EA是 的 4 次多项式,并且 4 的系数为 1,所以 E A( 1)( 2)( 3)( 4) 从右侧看为( 1 2 3 4);再从左侧看,因为 EA对角线外的元素都是不含 的常数,所以在其展开式的 24 项中,只有对角线元素的乘积(a 11)(a 2

9、2)(a 33)( a44)这一项包含 3 的,并且系数为(a 11a 22 a33a 44)于是1 2 3 4a 11a 22a 33a 44【知识模块】 行列式16 【正确答案】 把此行列式的左右两部分交换,办法如下:先把右部分的第 1 列依次和左部分的各列邻换(共进行了 n 次),再把右部分的第 2 列依次和左部分的各列邻换,最后把右部分的第 m 列依次和左部分的各列邻换一共进行了 mn次邻换于是【知识模块】 行列式17 【正确答案】 AB(,2 1,2 2,2 3), AB ,2 1,2 2,2 38 , 1, 2, 3(用性质,二,三,四列都提出 2) 8( , 1, 2, 3, 1

10、, 2, 3) 8(23)40【知识模块】 行列式18 【正确答案】 AB(, 1 2, 2 3, 3 1), AB , 1 2, 2 3, 3 1 ,2 1 2 3, 2 3, 3 1(把第 4 列加到第 2 列上) ,2 1, 2 3, 3 1 (第 2 列减去第 3 列) 2, 1, 2 3, 32, 1, 2, 3 2( , 1, 2, 3, 1, 2, 3) 2( , 1, 2, 3, 2, 3, 1)2a2b A B2a26【知识模块】 行列式19 【正确答案】 所求的是此行列式第 3 列元素的代数余子式 A13,A 23,A 33,A 43依次乘1,1,2,1 后的和A 13,A

11、 23,A 33,A 43 和行列式的第 3 列元素是无关的,此如果把第 3 列元素改为1,1,2,1,则 A13,A 23,A 33,A 43 不改变于是修改后的行列式的值它对第 3 列的展开式A 13A 23A 33A 43!【知识模块】 行列式20 【正确答案】 a (bc) 2a2(bc) 2 (a bc)(abc)(abc)(abc) 【知识模块】 行列式21 【正确答案】 先提出第 5 行的公因子 a再把上面 4 行依次加上它的2a 倍,a 倍,a 倍和 2 倍:【知识模块】 行列式22 【正确答案】 这 4 个向量线性相关 以它们为行(或列)向量构成的 4 阶行列式为 0 得a1

12、2【知识模块】 行列式23 【正确答案】 先把 2 至 4 列都加到第 1 列上,再 2 至 4 行都减去第 1 行,就可化为上三角行列式: D ( 3)(1) 3【知识模块】 行列式24 【正确答案】 先把 2 至 5 列都加到第 1 列上,要自下而上 2 至 4 行各减去上行:【知识模块】 行列式25 【正确答案】 用行、列的交换容易把此行列式化为分块的形式,第 4 列依次与3,2 列交换,第 4 行依次和 3,2 行交换:【知识模块】 行列式26 【正确答案】 对第 1 列展开: AA 11aA 41M 11aM 411a 4【知识模块】 行列式27 【正确答案】 记此行列式为 Dn当

13、n3 时,把 Dn 的第 2 行减第 1 行,然后第4 行减第 2 行,变为分块行列式: D nA D n-3 又易求出D11,D 20,D 31,于是 D n【知识模块】 行列式28 【正确答案】 记此行列式为 Dn 对第 1 行展开,得到一个递推公式 Dn(1a)Dn-1aD n-2 下面用数学归纳法证明本题结论 (1)验证 n1,2 时对: D 11a, D2 (1a) 2a1aa 2 (2)假设对 n1 和 n2 结论都对,证明对 n 也对: D n-11aa 2a 3(a) n-1, D n-21a a 2a 3(a)n-2, 则由递推公式 D n(1a)D n-1aD n-2D n

14、-1a(D n-1D n-2)D n-1(a) n 1aa 2a 3(a) n-1( a) n【知识模块】 行列式29 【正确答案】 记此行列式为 Dn,要证明 D n(n1)a n,(I n) 先求递推公式对第 1 行展开,得 D n2aD n-1a 2Dn-2 再用数学归纳法: 先检查 n1 和2,D 12a, D23a 2,(I 1)和(I 2)都成立 设当 k n 时(I k)都成立,则 D n2aD n-1a 2Dn-22ana n-1a 2(n1)a n-2(n1)a n,(I n)成立【知识模块】 行列式30 【正确答案】 设 ab把第 1 行分解为(a b,b,0)(b,0,0

15、)(a ,b,0),则得 DnbD n-1a n,(1) 对称地有 DnaD n-1b n,(2) a(1) 一 b(2),得 (a b)Dna n+1b n+1, D n 【知识模块】 行列式31 【正确答案】 把要证明的值的表达式和对第 1 行的展开式对照:就可看出结论也就是对每个 i,有 M 1ib 1bi-1ci+1cn 而这个等式只要写出 M1i就可得到:于是 M1i Gi H ib 1bi-1ci+1cn【知识模块】 行列式32 【正确答案】 a 0 的代数余子式 A11M 11 ci i1 时 ai 的代数余子式A1i1 ( 1)iM1i+1于是 M1i+1G iH i(1) i

16、+1bic1ci-1ci+1cn【知识模块】 行列式33 【正确答案】 各行减上行得【知识模块】 行列式34 【正确答案】 12345(1 1-1 2-1 3-1 4-1 5-1) 12345 2345 1345 1245 1235 1234【知识模块】 行列式35 【正确答案】 对第一行展开: DAA AA14A15 1M14M 12M1 13 M14M 15代入得D 12345 345 245 235 234【知识模块】 行列式36 【正确答案】 对第一列展开: 其中 Gi是一个对角线元素都是1 的 i1 阶下三角矩阵, Hi 是一个对角线元素都是 的ni 阶上三角矩阵,于是 M i1G iH i(1) i-1n-i 代入得 D ain-1【知识模块】 行列式37 【正确答案】 用矩阵消元法和初等变换法(1)A(ba)(c b)(ca) ,于是唯一解 A 0 a,b,c 两两不等 (2)得: 1a, 2b, 3c【知识模块】 行列式

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