1、考研数学二（行列式）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 =( )（A）22（B） 23（C） 24（D）252 四阶行列式 的值等于( )（A）a 1a2a3a4 一 b1b2b3b4。（B） a1a2a3a4+b1b2b3b4。（C） (a1a2 一 b1b2)(a3a4 一 b3b4)。（D）(a 2a3 一 b2b3)(a1a4 一 b1b4)。3 设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=( )（A）0。（B） a2。（C）一 a2。（D）na 2。4 设 且A =m ，则B=( )（A）m。（B）一 8m
2、。（C） 2m。（D）一 2m。5 设 则 f(x)=0 的根的个数为( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。6 设 1,2,3， 3， 2 均为四维列向量，且A= 1,2,3， 1=m，B= 1， 2， 2， 3=n，则 3， 2， 1，( 1+2)=( )（A）m+n 。（B） mn。（C）一 (m+n)。（D）n 一 m。7 1,2,3， 1， 2 均为四维列向量，A=( 1,2,3， 2)，B=( 3,1,2， 2)，且A=1，B =2，则A+B=( )（A）9。（B） 6。（C） 3。（D）1。8 设 A=(1,2,3)是三阶矩阵，则A=( )（A） 1 一 2， 2 一
3、3， 3 一 1。（B） 1+2， 2+3， 3+1。（C） 1+22， 3， 1+2。（D） 1， 2+3， 1+2。9 设 n 阶矩阵 A=(1， 2， n)，B=( n， 1， n-1)，若A=1，则A B=( )（A）0。（B） 2。（C） 1+(一 1)n+1。（D）1+(一 1)n。10 设矩阵 ，矩阵 B 满足 AB+B+A+2E=O，则B+E=( )（A）一 6。（B） 6。（C）（D）11 设 A 为三阶矩阵， ，则4A 一(3A *)一 1=( )（A） 。（B） 3。（C） 6。（D）9。二、填空题12 行列式 =_。13 计算行列式 =_。14 行列式 =_。15 在
4、xOy 平面上，平面曲线方程 ，则平面曲线与 x 轴的交点坐标是=_。16 设三阶行列式 D3 的第二行元素分别为 1、一 2、 3，对应的代数余子式分别为一3、2、1，则 D3=_。17 设行列式 则第四行元素余子式之和的值为_。18 已知三阶行列式 =_。19 设 A=(1,2,3，)，B=( 2， 3， 1，)，A=a，B=b，则A+B=_ 。20 设 A=(1,2,3)是三阶矩阵，且A=4 。若 B=(1 一 32+23， 2 一23，2 2+3)，则B=_。21 设 A，B 是三阶矩阵，满足 AB=A 一 B，其中则A+E=_ 。22 设 矩阵 B 满足 AB+B+A+2E=D，则B
5、+E =_ 。23 设 A 为奇数阶矩阵，且 AAT=ATA=E。若A0，则A 一E=_。24 已知 A，B，C 都是行列式值为 2 的三阶矩阵，则=_。25 已知 A 为三阶方阵，A 2 一 A 一 2E=0，且 0A 5，则A+2E=_。26 设三阶方阵 A 与 B 相似，且2E+A =0. 已知 1=1， 2=一 1 是方阵 B 的两个特征值，则A+2AB =_。27 已知 A，B 为三阶相似矩阵， 1=1， 2=2 为 A 的两个特征值，行列式B =2 ，则行列式 =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。28 计算行列式29 30 计算行列式31 计算行列式32 计算：
6、 ，其中未写出的元素都是 0。33 证明：34 设 n 阶矩阵 证明：行列式A =(n+1)a n。35 计算 n 阶行列式 ，其中 。36 计算37 计算38 设矩阵 三阶矩阵 B 满足 ABA*=EBA 一 1，试计算行列式B 。考研数学二（行列式）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 第一行加到第二行，然后第二行加到第三行，最后第三行再加到第四行，得到上对角线行列式 ，故该行列式值为 24。【知识模块】 行列式2 【正确答案】 D【试题解析】 根据行列式的按后行(列)展开法则，将此行列式第二、三行(列)展开
7、，得 所以应选D。【知识模块】 行列式3 【正确答案】 A【试题解析】 按这一列展开，D=a 1jA1j+a2jA2j+a2njA2nj=aA1j+aA2j+aA2nj，并注意到这一列元素的代数余子式中有 n 个为 a，n 个为一 a，从而行列式的值为零。所以应选 A。【知识模块】 行列式4 【正确答案】 D【试题解析】 将行列式A的第一列加到第二列上，再将第二、三列互换，之后第一列乘以 2 就可以得到行列式B。由行列式的性质知B=一 2A =一 2m。【知识模块】 行列式5 【正确答案】 C【试题解析】 按行列式展开得 所以有 f(x)=5(x2 一 4)=0，因此根的个数为 2。【知识模块
8、】 行列式6 【正确答案】 D【试题解析】 由行列式运算法则 3， 2， 1，( 1+2)= 3， 2， 1， 1+ 3， 2， 1， 2，且 3， 2， 1， 2=一 1,2,3， 2= 1， 2， 2， 3= B=n ，故可得 3， 2， 1，( 1+2)=一A+B=一 m+n。【知识模块】 行列式7 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵加法公式，得 A+=(1+3， 2+1， 3+2， 1+2)，结合行列式的性质有 A+B = 1+3， 2+1， 3+2， 1+2 =2( 1+2+3)，2+1， 3+2， 1+2 =2 1+2+3， 2+1， 3+2， 1+2 =2 1+2+3，一3，一
9、 1， 1+2 =2 1+2+3，一 3，一 1， 1+2 =2 2 一 3，一1， 1+2 =2 1， 2， 3， 1+2 =2 1， 2， 3， 1+2 =2( A + B)=6。【知识模块】 行列式8 【正确答案】 C【试题解析】 1+22， 3， 1+2= 1,2,3 =A。故选 C。【知识模块】 行列式9 【正确答案】 A【试题解析】 对于行列式A 一 B，将第 2n 列都加到第一列上，即A 一B= 1 一 n， 2 一 1， n 一 n-1=0， 2 一 1， n 一 n-1=0。【知识模块】 行列式10 【正确答案】 C【试题解析】 化简矩阵方程，构造 B+E，用因式分解法，则有
10、 A(B+E)+(B+E)=一E，即 (A+E)(B+E)=一 E，两边取行列式，由行列式乘法公式得A+E. B+E=1 ，又，因此应选 C。【知识模块】 行列式11 【正确答案】 D【试题解析】 4A 一(3A *)一 1=4A 一(3AA 一 1)一 1= 4AA= 3A=9 。【知识模块】 行列式二、填空题12 【正确答案】 一 2(x3+y3)【试题解析】 将后两列加到第一列上【知识模块】 行列式13 【正确答案】 (a 1c2 一 a2c1)(b1d2b2d1)【试题解析】 根据行列式按行(列)展开法则，按照第一行展开，=a1c2(b1d2b2d1)一 a2c1(b1d2b2d1)=
11、(a1c2a2c1)(b1d2b2d1)。【知识模块】 行列式14 【正确答案】 120【试题解析】 将行列式第四行的各元素加到第一行相应元素上后，提出公因子10，然后将第四行逐行换至第二行，即【知识模块】 行列式15 【正确答案】 (2，0) ，(3，0)【试题解析】 曲线的解，行列式为范德蒙德行列式，即有 ，解得 x=2 或 3，故曲线与 x 轴的交点坐标为(2，0)，(3，0)。【知识模块】 行列式16 【正确答案】 一 4【试题解析】 根据行列式的求解方法：行列式的值等于它的任一行元素与其相应的代数余子式乘积之和，故 D3=a21A21+a22A22+a23A23=1(一 3)+(一
12、2)2+31=一4。【知识模块】 行列式17 【正确答案】 0【试题解析】 第四行余子式之和【知识模块】 行列式18 【正确答案】 【试题解析】 结合行列式的性质：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面，即【知识模块】 行列式19 【正确答案】 2(a+b)【试题解析】 由题意 A+B=(1+2， 2+3， 3+1，+) ，即有A+B= 1+2， 2+3， 3+1，+。将该行列式的第一列的一 1 倍加到第二列得 A+B = 1+2， 3 一 1， 3+1，+。 再将新的行列式的第二列加到第三列可得 A+B = 1+2， 3 一 1，2 3，+ =2 1+2，一1， 3，
13、+ =一 2 1+2， 1， 3，+ =一 2 2， 1， 3，+ =一2( 2， 1， 3，+ 2， 1， 3，)，其中 2， 1， 3，=一A= 一a， 2， 1， 3，=一 B=一 b，故A+B =2(a+b)。【知识模块】 行列式20 【正确答案】 20【试题解析】 利用行列式的性质B= 1 一 32+23， 2 一 21，5 3=5 1一 32+23， 223， 3=5 1 一32， 2， 3=5 1， 2， 3=5A=20。【知识模块】 行列式21 【正确答案】 【试题解析】 由题设，AB=AB，则(A+E)(E 一 B)=E，因此【知识模块】 行列式22 【正确答案】 【试题解析
14、】 由 AB+B+A+2E=O 可知 A(B+E)+B+E=一 E，也即(A+E)(B+E)=一E。取行列式可得A+E B+E=E=1，由于故【知识模块】 行列式23 【正确答案】 0【试题解析】 A 一 E=AAA T=A(E 一 AT)=A .EAT =A.E A。由 AAT=ATA=E，可知 A 2=1，因为A0，所以A=1，即AE =E A。又 A 为奇数阶矩阵，所以 EA= 一(AE)=一AE= 一EA，故AE=0。【知识模块】 行列式24 【正确答案】 【试题解析】 根据行列式按行(列)展开法则，得【知识模块】 行列式25 【正确答案】 4【试题解析】 设 A 的特征值 i 对应的
15、特征向量是 xi(xi0，i=1，2，3)，则Axi=xi。由 A2 一 A 一 2E=D 可知，特征向量 xi 满足 (A2 一 A 一 2E)xi=0，从而有i2 一 i 一 2=0，解得 i=一 1 或 i=2。再根据A 123=及 0A5 可得，1=2=一 1， 3=2。由 Axi=Axi 可得(A+2E)x i=(i+2)xi，即 A+2E 的特征值i(i=1，2，3)满足 i=i+2，所以 1=2=1， 3=4，故A+2E=114=4。【知识模块】 行列式26 【正确答案】 18【试题解析】 由2E+A=0，可得一 2EA=0，即 =一 2 是 A 的一个特征值。因 A 与 B 相
16、似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知， 1=1， 2=一 1 也是 A的特征值，所以 A、B 的特征值均为 1=1， 2=一 1， 3=一 2，则 E+2B 的三个特征值分别为 3，一 1，一 3。从而可得A= 123=2，E+2B=3(一 1)(一 3)=9，故A+2AB=A(E+2B)=A. E+2B=18 。【知识模块】 行列式27 【正确答案】 【试题解析】 设 3，为 A 的另一特征值。由 A 与 B 相似知，A = B =2 ，且123=A =2，则有 3=1，从而 A，B 有相同的特征值 1=1， 2=2， 3=1。于是有【知识模块】 行列式三、解答题解答应写出文字说明、证明过程
17、或演算步骤。28 【正确答案】 把第一行的一 1 倍分别加至其余各行，然后将第 2 一 n 列依次加至第一列，得【知识模块】 行列式29 【正确答案】 把第二行的一 1 倍分别加至其余各行，再把第一行的 2 倍加至第二行，得【知识模块】 行列式30 【正确答案】 把第一行的一 1 倍分别加至其余各行得【知识模块】 行列式31 【正确答案】 利用行列式的性质，得【知识模块】 行列式32 【正确答案】 该行列式只有两条对角线上元素不为 0，可以按其中一行展开，找出递推关系式。将以上两个行列式分别按最后一行展开，得=andnD2n-2bncnD2n-2。由此得递推公式 D2n=(andn 一 bnc
18、n)D2n-2。按递推公式逐层代入得【知识模块】 行列式33 【正确答案】 本题可利用递推法证明。显然D1=an，根据上面的结论有左边=xD n+a0=x(xDn-1+a1)+a0=x2Dn-1+xa1+an=xnD1+an-1xn-1+a1x+a0=anxn+an-1xn-1+a1x+an=右边，所以，命题成立。【知识模块】 行列式34 【正确答案】 【知识模块】 行列式35 【正确答案】 ，则将该行列式按第一行展开得 再将上式中后面的 n 一 1 阶行列式按照第一列展开得 Dn=(+)Dn-1 一 Dn-2,则 Dn 一 Dn-1=(Dn-1一 Dn-2)=2(Dn-2 一 Dn-3)=
19、n-2(D2 一 D1)=n-2(2+3)一 (+)=n；即 D n一 Dn-1=n， (1)类似地，有 Dn 一 Dn-1=n， (2)(1) 一(2) 可得( 一 )Dn=n+1一 n+1，所以【知识模块】 行列式36 【正确答案】 设 则 A=B+C。易知 r(B)=r(C)=1，故 r(A)=r(B+C)r(B)+r(C)=1+1=2，因此，当 n3 时，Dn=A=0。当 n=2 及 n=1 时，与方法一相同。【知识模块】 行列式37 【正确答案】 把第 1 行的(一 x)倍分别加到第 2，3，n 行，得当 x0 时，再把第 j(j=2，3，n)列的 倍加到第 1 列，D n 化成了上三角行列式当 x=0 时，显然有 Dn=0，所以当 n2 时，总有 Dn=(一 1)n-1(n 一 1)n-2。【知识模块】 行列式38 【正确答案】 矩阵方程中出现了矩阵 A 的伴随矩阵 A*与 A 一 1，故考虑先将等式化简。由于 A*A=A E=2E，A 一 1A=E，故在等式 ABA*=EBA 一 1 两边同时右乘 A，可得 2AB=AB，则有(2A+E)B=A 。以上等式两边取行列式得2A+EB= A=2，易求得2A+E =55 ，因此 。【知识模块】 行列式
