1、考研数学（数学一）模拟试卷 215 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 则 f(x)在 x0 处( )（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导2 设 则 g(x)在区间(0，2)内( ) （A）无界（B）递减（C）不连续（D）连续3 设直线 L： 及平面 ：4x2yz60，则直线 L( )（A）平行于平面 （B）在平面 上（C）垂直于平面 （D）与平面 斜交4 设可微函数 f(x，y)在点(x o，y o)处取得极小值，则下列结论正确的是 ( )（A）f(x o，y)在 yy o 处导数为零（B） f(xo，y)在 y
2、y o 处导数大于零（C） f(xo，y)在 yy o 处导数小于零（D）f(x o，y)在 yy o 处导数不存在5 设三阶矩阵 A 的特征值为 1 1， 20， 31，则下列结论不正确的是( )（A）矩阵 A 不可逆（B）矩阵 A 的迹为零（C）特征值1，1 对应的特征值向量正交（D）方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量6 设矩阵 则 A 与 B( )（A）合同，且相似（B）合同，但不相似（C）不合同，但相似（D）既不合同，也不相似7 设随机变量 X 服从正态分布 N(1， 12)，随机变量 Y 服从正从分布 N(2， 22)，且 PX 11PY 21，则必有( )（A）
3、1 2（B） 1 2（C） 1 2（D） 1 28 对于任意两个随机变量 X 和 Y，若 E(XY)E(X).E(Y) ，则( ) （A）D(XY) D(X).D(y)（B） D(Xy)D(X)D(Y)（C） X 和 Y 独立（D）X 和 Y 不独立二、填空题9 10 11 12 13 设 A(a ij)nn 是正交矩阵，将 A 以行分块为 A( 1， 2， n)T，则方程组AXb，b(b 1，b n)T 的通解为_14 设随机变量 X 的数学期望 E(X) ，方差 D(X) 2，则由切比雪夫不等式，有PX 3_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 证明：当 0a b 时，
4、bsinb 2cosb basina2cosaa16 假设 f(x)在a，+)上连续， f(x)在(a，+) 内存在且大于零，记 F(x)证明：F(x)在(a，+)内单调增加17 设函数 f(x)在0，上连续，且 0，试证明：在(0，) 内至少存在两个不同的点 1， 2，使 f(1)f( 2)018 已知抛物线 ypx 2qx(其中 p0，q0)在第一象限内与直线 xy5 相切，且此抛物线与 x 轴所围成的平面图形的面积为 S (I)问p 和 q 何值时，S 达到最大值 ?()求出此最大值19 设 n 是曲面 2x23y 2z 26 在点 P(1，1，1)处的指向外侧的方法向量，求函数u= 在
5、点 P 处沿方向 n 的方向导数20 21 设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 11， 22， 3=3，其对应的线性无关的特征向量分别为22 假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为 t 的泊松分布，(I)求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；()求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障工作 8 小时的概率 Q23 设二维随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为求 X 和 Y 的联合分布 F(x，y) 考研数学（数学一）模拟试卷 215 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C2 【正确答案】 D
6、3 【正确答案】 C4 【正确答案】 A5 【正确答案】 C6 【正确答案】 B7 【正确答案】 A8 【正确答案】 B二、填空题9 【正确答案】 10 【正确答案】 旋转曲面的方程为：2xx 2y 2，用先二后一法求解得：11 【正确答案】 12 【正确答案】 13 【正确答案】 因 A 为正交矩阵，故 A1A T，而方程组 AXb 的解为：14 【正确答案】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设函数 F(x)xsinx2cosxx，则 F(x)在0，有连续的二阶导数，且 F(x)xcosx sinx ，F() 0，F(x)cosxxsinxcosxxsi
7、nx0 (x(0 ，)所以 F(x)在0，单调减少，从而 F(x)F() 0(x(0，)于是 F(x)在0，单调增加，因此当 0ab 时，F(b)F(a)即 bsinb2cosbbasina2cosaa16 【正确答案】 F(x)1(xa) 2f(x)(xa)f(x)f(a)令 (x)f(x)(xa)f(x)f(a) (xa) ，由于 (x)f(x)(xa) 0，因此 (x)在(a，+) 内单调增加，有 (x)(a)0，17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 (I)由题设，21 【正确答案】 22 【正确答案】 由已知条件知，事件N(t)k表示设备在任何长为 t 的时间内发生 k 次故23 【正确答案】
