1、考研数学（数学一）模拟试卷 274 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)的导数在 x=a 处连续， ，则( )（A）x=a 是 f(x)的极小值点（B） x=a 是 f(x)极大值点（C） (af(a)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=a 不是 f(x)的极值点，(af(x)也不是曲线 y=f(x)的拐点2 设 其中 f(x)在 x=0 处可导， f(x)0，f(0)=0，则 x=0 是 F(x)的( )（A）连续点（B）可去间断点（C）跳跃间断点（D）第二类间断点3 则( )（A）a=1 ，b=0（B） a=0，b=-2（C） a=0，
2、b=1（D）a=1 ，b=-24 设 f 有连续导数， ，其中是由 y=x2+z2和 y=8-x2-z2 所围立体的外侧，则 I=( )（A）4（B） 8（C） 16（D）325 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A3=0，则( )（A）E-A 不可逆， E+A 也不可逆（B） E-A 不可逆，E+A 可逆（C） E-A 可逆，E+A 也可逆（D）E-A 可逆， E+A 不可逆6 设向量 可由向量组 a1，a 2，a m 线性表示，但不能由向量组(I)a1，a 2，a m-1 线性表示，记向量组 ()a 1，a 2，a m-1， 则( )（A）a m 不能由()线性表示，也
3、不能由()线性表示（B） am 不能由() 线性表示，但可能由()线性表示（C） am 可由() 线性表示，也可由()线性表示（D）a m 可由()线性表示，但不可由()线性表示7 设随机变量 X 和 Y 独立同分布，记 U=X-Y，V=X+Y ，则随机变量 U 和 V 必然( )（A）不独立（B）独立（C）相关系数不为零（D）相关系数为零8 某工厂每天分 3 个班生产，事件 Ai 表示第 i 班超额完成生产任务 (i=1，2，3) ，则至少有两个班超额完成任务的事件可以表示为( )二、填空题9 设 =_10 设 =_11 =_12 改变积分次序 =_13 设 A 为 m 阶方阵，B 为 n
4、阶方阵，且A=a，B=b，C= ，则C =_14 将 C，C ， E，E，I，N，S 这七个字母随机地排成一行，那么恰好排成SCIENCE 的概率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 18 设 f(x)在区间0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=0，f(1/2)=1，试证： ()存在 (1/2，1)，使 f()=； ()对任意实数 ，必存在 (0，)，使得 f()-f()-=119 计算二重积分 ，其中 D 是由直线 x=-2，y=0，y=2 以及曲线所围成的平面区域20 设 A 为 3 阶矩阵，a 1，a 2 为 A 的分别属于特征值-
5、1，1 的特征向量，向量 a3 满足 Aa 3=a2+a3， () 证明 a1，a 2，a 3 线性无关； ()令 P=(a1，a 2，a 3)，求 P-1AP21 已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 Ak=0，试证明矩阵 E-A 可逆，并求出逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位矩阵)22 设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份()求先抽到的一份是女生的概率 p；()已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q23 设随机变量 x 的概率密度为 令 Y
6、=X2，F(x ，y)为二维随机变量(X，Y) 的分布函数，求：()Y 的概率密度 fY(y)；()cov(X ，Y) ；()F(- 1/2，4) 考研数学（数学一）模拟试卷 274 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设， 又因为 f(x)在 x=a 处导数连续，则 f(a)=0，即 x=a 是 f(x)的驻点又由 ，知当 xa 时，f (x)0；当 xa 时，f (x)0，故 f(a)是极大值，所以选(B)2 【正确答案】 B【试题解析】 因为可见 F(x)在x=0 处的极限存在但不等于在此点的函数值， 因此 x=0
7、 为可去间断点，故选(B)3 【正确答案】 A【试题解析】 用洛必达法则，4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 由 A3=O 可得 E-A 3=(E-A)(E+A+A2)=E 和 E+A3=(E+A)(E-A+A2)=E 显然 E-A0，E+A 0，所以 E-A 和 E+A 均可逆故应选(C)6 【正确答案】 B【试题解析】 由题设，卢可由向量组 a1，a 2，a m 线性表示， 则存在一组数k1，k 2，k m，使 =k1a1+k2a2+kmam， 但是 不能由 a1，a 2，a m-1 线性表示，从而 km0， 因此 am=1/km(-k1a1-k2a2-km
8、-1am-1)， 即 am 可由()a1，a 2，a m-1，线性表示，所以(A)、(D)不正确 若 am 能由向量组(I)线性表示，则存在另一组数 1， 2， m-1， 使得 am=1a+2a2+ m-1am-1， 从而=k1a1+km-1am-1+km1a1+2a2+ m-1am-1 =(k1+km1)a1+(k2+km2)a2+(km-1+kmm-1)am-1， 这与前述已知矛盾，所以 am 不能由向量组()线性表示，综上，选(B)7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 X 和 Y 独立必有相关系数为零，所以先直接计算相关系数即可 由 X 和 Y 独立同分布，知 E(X)=E(Y)，E(
9、X 2)=E(Y2)， 因此 cov(U，V)=cov(X-Y，X+Y)=E(X-Y)(X+Y)-E(X-Y)E(X+Y) =EX 2-Y2-E(X)-E(Y)E(X)+E(Y)=0，故应选(D)8 【正确答案】 A【试题解析】 因为“至少有两个班超额完成”的对立事件是“至多有一个班超额完成”，也就是“至少有一个班没有超额完成任务”应选(A)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 于是 f (x)=2(-1)(1+x) -2， f (x)=2(-1)(-2)(1+x)-3， 10 【正确答案】 【试题解析】 由题设，11 【正确答案】 /4e【试题解析】 由题设原积分=12 【正确答案】 【
10、试题解析】 13 【正确答案】 (-1) mnab【试题解析】 利用拉普拉斯展开定理，行列式 的 n 阶子式B的代数余子式为(-1) (m+1)+(m+2)+(m+n)+1+2+nA=(-1) mn A，由拉普拉斯展开定理有14 【正确答案】 1/1260【试题解析】 这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则基本事件总数为 n=7!，而有利事件的基本事件数为 1212111=4，故所求概率为：4/7!=1/1260三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 由题设，17 【正确答案】 虑用高斯公式计算，但 S 不是封闭的，所以
11、要添加辅助面设所添加铺助面为 S1：z=0(x 2+y24)，法向量朝下，S 与 S1 围成区域 ，S 与 S1 的法向量指向 的外部，在 Q 上用高斯公式得 用先二后一的求积顺序求三重积分：其中 Dxy：x 2+y24，因此 I=4-(-8)=1218 【正确答案】 () 由题设，引入辅助函数 (x)=x-f(x)，则 (x)在0，1上连续， 由已知条件()引入辅助函数，由原函数法将所需证明的等式中的 改写为 x， 有 f(x)-f(x)-x=1，即 f(x)-f(x)=1-x 由一阶线性非齐次微分方程的通解公式得：所以f(x)-xe -x=C，至此可令辅助函数为 g(x)=f(x)-xe-
12、x=-(x)e-x， 由已知条件及(I)中结论，知g(x)也是连续函数， 且 g(0)=f(0)-0e0=0，g()=-()e -x=0 由罗尔定理知存在一点 (0，)，使得 g()=0， 又 g(x)=-e-xf(x)-x+e-xf(x)-1， 所以-f()-+f ()-1=0 此即 f()-f()-=1，证毕19 【正确答案】 由题设，积分区域 D 如右图阴影所示，其在 D1 为辅助性半圆形区域，20 【正确答案】 () 假设 a1，a 2，a 3 线性相关，则 a3 可由 a1，a 2 线性表出， 可设a3=k1a1+k2a2，其中 k1，k 2 不全为 0， 否则由等式 Aa3=a2+
13、a3 得到 a2=0，不符合题设 因为 a1， a2 为矩阵 A 的分别属于特征值-1，1 的特征向量，所以 Aa1=-a1，Aa 2=a2， 则 Aa3=A(k1a1+k2a2)=-k1a1+k2/suba2=a2+k1a1k2a2 等式中 a1，a2 的对应系数相等，即显然此方程组无解，故假设不成立，从而可知 a1，a2，a3 线性无关 ( )因为 a1，a2，a3 线性无关，所以矩阵 P=(a1，a2，a3)可逆， 由于 AP=A(a1，a2 ，a3)=(-a1，a2，a2+a3)=(a1，a2，a3)等式两边同时左乘矩阵 P 的逆矩阵 P-1，可得 P-1AP=P-1P21 【正确答案
14、】 由代数公式 1-ak=(1-a)(1+a+ak-1)以及 A 与 E 可交换，有 E-Ak=(E-A)(E+A+Ak-1)，而 Ak=0，故有(E-A)(E+A+A k-1)=E 可知 E-A 可逆，且有(E-A) -1=E+A+Ak-122 【正确答案】 (I)由题设可知本题中有两个完全事件组：(1)报名表来自三个地区的事件所构成的事件组，(2)第一次取得男生表和女生表的事件所构成的事件组，定义事件如下： A i=报名表来自 i 地区，i=1，2，3，B i=第 i 次抽到男生表，i=1，2， 则 P(A1)=P(A2)=P(A3)=13，23 【正确答案】 (I)由已知条件得 P-1x2=1，所以 P0y4=1， 当 y0时，F Y(y)=PYy=0；
