1、考研数学（数学一）模拟试卷 279 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知函数 f(x)在区间(1-，1+)内具有二阶导数，f (x)0，且 f(1)=f(1)=1，则( )（A）在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)x（B）在 (1-，1)和(1 ，1+)内均有 f(x)x（C）在 (1-，1)内 f(x)x，在(1，1+)内 f(x)x（D）在(1-，1)内 f(x) x，在(1，1+)内 f(x)x2 已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f(x)2，则当 n 为大于 2 的正整数时，f(x)的 n 阶导数，则 fn(x)为(
2、)（A）n!f(x) n+1（B） nf(x)n+1（C） f(x)2n（D）n!f(x) 2n3 考虑二元函数的下面 4 条性质 ()f(x ，y)在点(x 0，y 0)处连续； ()f(x，y)在点(x0，y 0)处的两个偏导数连续； ()f(x ，y)在点(x 0，y 0)处可微； ()f(x，y)在点(x0，y 0)处的两个偏导数存在 若用 P Q 表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( )4 设函数 f(x)=x2，0x 1 ，而 S(x)= ，其中bn=201sinnxdx，n=1 ，2， 3，则 S(- 1/2)等于( )5 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程
3、组(AB)x=0( )（A）当 nm 时仅有零解（B）当 nm 时必有非零解（C）当 mn 时仅有零解（D）当 mn 时必有非零解6 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A*的特征值之一是( )（A）A -1A n（B） -1A（C） A（D）A n7 已知 0P(B)1，且 P(A1+A2)B=P(A 1B)+P(A 2B)，则下列选项必然成立的是( )（A）P(A 1+A2) =P(A1 )+P(A2 )（B） P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)（C） P(A1+A2)=P(A1B)+P(A 2B)（D）P(B)=P(A 1)P(BA 1)
4、+P(A2)P(BA 2)8 设随机变量 X 与 Y 服从正态分布，XN(，4 2)，Y N( ，5 2)，记 p1=Px-4)，p2=Y+5，则 ( )（A）对任何实数 ，都有 p1=p2（B）对任何实数 ，都有 p1p 2（C）只对 的个别值，才有 p1=p2（D）对任何实数 ，都有 p1p 2二、填空题9 若 g(x) ，又 f(x)在 x=0 处可导，则 d/dxfg(x) x=0_10 设准线方程为 ，母线的方向数为-1，0，1，这个柱面方程为_11 =_12 幂级数 的收敛半径为_13 若矩阵 ，B=A 23A+2E，则 B-1=_14 X，Y 相互独立，同服从 U(0，2)，即(
5、0 ，2)上的均匀分布，Z=min(X，Y)，则P(0Z1)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设：x 2/2 + y2/2 +z2=1(z0)点 P(x，y，z) ， 为曲面在点 P 处的切平面，d(x，y ，z) 为点 0(0，0，0)到平面 的距离，计算16 计算三重积分 ，其中 Q 是由曲线 绕 z 轴旋转一周而成的曲面与平面 z=4 所围成的立体17 某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 V/6，流入湖泊内不含 A 的水量为 V/6，流出湖的水量为 V/3设 2010 年底湖中 A 的含量为 5m0，超过国家规定指标，为了治理污染，从 2
6、011 年初开始，限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过可 m0/V，问至多经过多少年，湖中污染物 A 的含量降到 m0 以内( 设湖中 A 的浓度是均匀的)?18 将函数 f(x)= 展开成 x-1 的幂级数，并指出其收敛区间19 设 f(x)，g(x) 在-a ，a 上连续，g(x)为偶函数，且 f(x)满足条件 f(x)+f(-x)=A(A 为常数) ()证明 ()利用() 的结论计算定积分20 已知齐次线性方程组同解，求 a，b，c的值21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX=ax12+222+(-232)+2bx32 (b0)，其中二次矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之
7、积为-12 ()求 a，b 的值； ()利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换对应的正交矩阵22 两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时，停用而另一台自动开动试求两台记录仪无故障工作的总时间 7的概率密度 f(t)、数学期望和方差23 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似正态分布，平均成绩为72 分，96 分以上的占考生总数的 23，试求考生的外语成绩在 60 分到 84 分之间的概率，如下表：考研数学（数学一）模拟试卷 279 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求
8、。1 【正确答案】 A【试题解析】 设 (x)=f(x)-x，则 (x)=f(x)-1， (x)=f(x)， 由 f(x)0 得 (x)0，故 (x)单调减少， 则当 x1 时， (x) (1)=f(1)-1=0，当 x1 时， (x) (1)=0， 则 (x)在 x=1 处取得极大值， 当 x(1-，1) (1，1+)时 (x)(1)=f(1)-1=0，即 f(x)x故应选 (A)2 【正确答案】 A【试题解析】 为方便记 y=f(x)，由 y=y2，逐次求导得 y=2yy=2y3，y =3!y2y=3!y4，归纳可证 y(n)=n!yn+1应选(A)3 【正确答案】 A【试题解析】 f(x
9、，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续，则 f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则 f(x，y)在点 (x0，y 0)处连续，所以，(A)为答案4 【正确答案】 B【试题解析】 S(x)是函数 f(x)先作奇延拓后再作周期为 2 的周期延拓后的函数的傅氏级数的和由于 S(x)是奇函数，于是 S(- 1/2)=-S(1/2)，当 x=1/2 时，f(x)连续，由傅氏级数的收敛性定理 因此 S(- 1/2)=- 1/4，应选(B)5 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，AB 是 mm 矩阵，则 x 为 m 维列向量由已知，r(A)n 且 r
10、(A)m，r(B)m ，且 r(B)n，而 r(AB)min(r(A)，r(B)，因此 r(AB)m，且 r(AB)n当 m n 时，r(AB)nm，因此(AB)x=0 必有非零解，即(D)成立，同理可排除(A) 、(B)、(C)，所以选(D)6 【正确答案】 B【试题解析】 涉及 A*的问题，注意利用公式 AA*=A*A=AE 由题设 是 A的一个特征值，则存在 x0，使得 Ax=x， 于是 A*Ax=A*x，把 AA*=AE 层代入上式得 1/Ax=A *x， 即 1/ A是 A*的一个特征值故应选 (B)7 【正确答案】 B【试题解析】 由 P(A1+A2)B=P(A 1B)+P(A 2
11、B)得到所以 P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)，(B)是答案8 【正确答案】 A【试题解析】 只需将 x，y 标准化，由题设，把 X，Y 标准化有因此p1=p2，故选 (A)二、填空题9 【正确答案】 0【试题解析】 10 【正确答案】 1【试题解析】 柱面的母线方程可表示为解之，得(Z-t) 2=0，即Z=t 可知所求柱面方程为(X+Z) 2+Y2=111 【正确答案】 e【试题解析】 故原式=e12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 2/3【试题解析】 Pmin(X，Y)1=PX1Y1=PX1+PY1-PX1，Y1=2/3三、
12、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 由曲线 绕 z 轴旋转一周而成的旋转面方程是x2+y2=2z于是， 是由旋转抛物面 z=1/2(x2+y2)与平面 z=4 所围成，曲面与平面的交线是 x2+y2=8，z=4 选用柱会标变换，令 x=rcos，y=rsin，z=z 并选取先 rz后 的积分顺序，极角为 的半平面与 相截得 D()，于是 ：02，(r，z)D()，D()：0z4，0r 即 ：02，0z4，0r 因此17 【正确答案】 设从 2011 年初开始，第 t 年湖中污染物 A 的总量为 m，则浓度为 m/V，任取时间元素t，t+dt ，
13、排入湖中污染物 A 的含量为 ，流出湖的污染物 A 的含量为 ，则在此时间元素内污染物 A 的改变量为即至多经过 7 年湖中污染物 A 的含量不超过 m018 【正确答案】 其中，第一个幂级数的收敛区间为x-13，第二个幂级数的收敛区间为x-12，故幂级数的收敛区间为x-12，即-1x319 【正确答案】 知 arctanex+arctane-x 为常数，取 x=0 得，arctane x+arctane-x=arctan1+arctan1=/2，所以 f(x)+f(-x)=/2，20 【正确答案】 根据题意可知方程组()中方程组个数未知数个数，从而()必有无穷多解，所以() 必有无穷多解所以
14、() 的系数行列式必为 0，即对()系数矩阵作初等变换，有可得方程组()的通解为 k(-1，-1，1) T，其中k 为任意常数由于(-1，-1，1) T 是方程组()的解，故有 解得 b=1，c=2，或 b=0，c=1当 b=0，c=1 时，方程组()为 其系数矩阵的秩为 1，从而()与() 不同解，故 b=0。c=1 舍去当 a=2，b=2，c=2 时()与() 同解21 【正确答案】 () 由题设，二次型 f 相应的矩阵为 A= 设 A 的 3 个特征值为 1， 2， 3，则由已知条件知 1+2+3=1， 123=-12；利用“ 矩阵特征值之和=矩阵主对角线元素之和” 及“特征值之积=矩阵
15、行列式” 两个关系，得，可求出 b=2，即 a=1，b=2()由A-E=0，即 ，可求出 A 的特征值为1=2=2， 3=-3不难求得对应于 1=2=2 的特征向量为 1= 对应于3=-3 的特征向量为 3= ，对 1， 2， 3 正交规范化，得令矩阵 P=(1， 2， 3)=则 P 为正交矩阵，在正交变换 x=Py 下，其中y= 因此二次型的标准形为 2y12+2y22-3y3222 【正确答案】 由题设，设先开动的一台记录仪的无故障工作时间为 T1，后开动的一台记录仪的无故障工作时间为 T2，则由已知， Ti 的概率密度为 fi(x)=且显然 T1 与 T2 独立由于 T=T1+T2，则由卷积公式可得出当 t0 时 T 的概率密度，即所以 T 的概率密度为 f(t)= 又 Ti 服从参数为 5 的指数分布，则，则 T 的数学期望为 E(T)=E(T1+T2)=2E(T1)=2/5， T 的方差为 D(T)=D(T1+T2)=2D(T1)=2/2523 【正确答案】 设 X 为考生的外语成绩，由题设知 XN(72， 2)，且 PX96=23 =0 023由(x)的数值表知 24/=2，=12，这样 XN(72，12 2)，所求概率为【试题解析】 正态分布 N(， 2)由数学期望 和方差 2 唯一决定，而 =72，因此要计算 P(60X84)，只要由 PX96求出 2 即可
