1、考研数学（数学一）模拟试卷 283 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在 x=0 处连续，则下列命题错误的是 ( )2 设 f(x)为可导函数，且满足条件 ，则曲线 y=f(x)在点(f(1)处的切线斜率为 ( )（A）2（B） -1（C） 1/2（D）-23 设 f(X)是连续函数，且 F(x)= ，则 f(x)等于( )4 设幂级数 的收敛半径分别为 ，则幂级数 的收敛半径为( ) （A）5（B）（C） 1/3（D）1/55 设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是( ) （A）若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b
2、有唯一解（B）若方程组 AX=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解（C）若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解（D）若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解6 设 A 是 n 阶矩阵，下列不是命题“0 是矩阵 A 的特征值 ”的充分必要条件的是( )（A）A 的行向量组线性相关（B）方程组 AX=0 有非零解（C）对任何非零向量 b，方程组 AX=b 都没有唯一解（D）存在自然数 k，使得 Ak=07 设随机变量 X，Y 独立同分布，且 X 的分布函数 F(x)，则 Z=maxX，Y的分布函数为( ) （A）F 2(x)（B） F(x)F
3、(y)（C） 1-1-F(x)2（D）1-F(x)1-F(y)8 设总体 XN(， 2)，其中 2 未知，s 2= ，样本容量 n，则参数 的置信度为 1-a 的置信区间为( )二、填空题9 极限 =_10 设级数 条件收敛，则 p 的范围是_11 设 dy/dx=xln(1+x2)，且 y(0)=1/2，则 y(x)=_12 星形线 绕 Ox 轴旋转所得旋转曲面的面积为 _13 从 R2 的基 的过渡矩阵为_14 若随机变量 X1，X 2，X n 相互独立同分布于 N(，2 2)，则根据切比雪夫不等式得 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 证明：当 0a b 时，bsi
4、nb+2cosb+basina+2cosa+a16 假设 f(x)在a，+)上连续， f(x)在(a，+)内存在且大于零，记 F(x)=，证明：F(x)在(a，+)内单调增加17 设函数 f(x)在0，上连续，且 =0，试证明：在(0，)内至少存在两个不同的点 1， 2，使 f(1)=f(2)=018 已知抛物线 y=px2+qx(其中 p0，q0)在第一象限内与直线 x+y=5 相切，且此抛物线与 x 轴所围成的平面图形的面积为 S (I)问 p 和 q 何值时，S 达到最大值? ()求出此最大值19 设 n 是曲面 2x2+3y2+z2=6 在点 P(1，1，1)处的指向外侧的方法向量，求
5、函数 u=在点 P 处沿方向 n 的方向导数20 设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩(A)=n，A ij 是 A=(aij)nxm 中元素 aij(i，j=1，2，n)的代数余子式，二次型 f(x1，x 2，x n)= (I)记 X=(x1，x 2，x n)T，把 f(x1，x 2，x n)写成矩阵形式，并证明二次型 f(x)的矩阵为 A-1； ()二次型 g(x)=XTAX 与 f(x)的规范形是否相同?说明理由21 设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=3，其对应的线性无关的特征向量分别为 1=22 假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数
6、为 t的泊松分布，(I)求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；()求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障工作 8 小时的概率 Q23 设二维随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为 f(x，y)=求 X 和 Y 的联合分布 F(x，y) 考研数学（数学一）模拟试卷 283 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 、(B)、 (C)选项都正确，只有(D)选项错误，f(0-)=-1，所以 f(0)不存在故应选(D)2 【正确答案】 D【试题解析】 本题实际上要求 f(1)，由题设3 【正确答案】 A【试题解析
7、】 故选(A)4 【正确答案】 A【试题解析】 5 【正确答案】 D【试题解析】 故方程组 AX=0 一定有非零解，选(D)6 【正确答案】 B【试题解析】 若 0 是矩阵 A 的特征值，则A=0，即 r(A)n，所以方程组AX=0 有非零解，反之若方程 AX=0 有非零解，则 r(A)n ，即A=0，所以 0是矩阵 A 的特征值，选(B)7 【正确答案】 A【试题解析】 设 Z 的分布函数为 G(x)因为随机变量 X，Y 独立同分布，所以有G(x)=PZx=PmaxX，Yx=PXxPYx=F(x)F(x)=F 2(x)，故应选(A)8 【正确答案】 D【试题解析】 因为 2 未知，所以选用统
8、计量 故 的置信度为 1-a 的置信区间为二、填空题9 【正确答案】 0【试题解析】 因 ，且 sinx 和 cosx 均为有界函数，故10 【正确答案】 - 1/2p1/2【试题解析】 11 【正确答案】 1/2(1+x 2)ln(1+x2)-1+1【试题解析】 12 【正确答案】 (12/5)a 2【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 设过渡矩阵为 P，则(a 1 a2)P=(1 2)所以14 【正确答案】 1/【试题解析】 因为 X1，X 2，X n 相互独立同分布于 N(，2 2)，所以XN(，2 2/n)，从而三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答
9、案】 设函数 F(x)=xsinx+2cosx+x，则 F(x)在0，有连续的二阶导数，且 F(x)=xcosx-sinx+，F ()=0， F (x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx0 (x(0，) 所以 F(x)在0 ，单调减少，从而 F(x)F()=0(x(0，) 于是 F(x)在0，单调增加，因此当 0a b 时， F(b)F(a) 即 bsinb+2cosb+basina+2cosa+a16 【正确答案】 令 (x)=f(x)(x-a)-f(x)+f(a)(xa)，由于 (x)=f(x)(x-a)0，因此 (x)在(a+) 内单调增加，(x)(a)=0，故 ，所以 F(
10、x)单调增加【试题解析】 要证 F(x)在 (a，+)内单调增加，只需证 f(x)0， 为此须先求出F(x)的导数 F(x)，再利用 f(x)大于零的条件进行推证17 【正确答案】 引入辅助函数 ，则 f(0)=0，f()=0，又由因此必存在一点 (0，)，使得 F()sin=0；否则 F(x)sinx 在(0，)内恒正(或负)，均与 0)sinxdx=0 矛盾，当 (0，) 时，sin0，因此 F()=0综上知 F(0)=F()=F()=0，0 ，在区间0 ， ， 上分别用罗尔定理，则至少存在 1(0，) ，2(，)，使得 F(1)=F(2)=0，即 f(1)=f(2)=018 【正确答案】
11、 由题设，抛物线与直线的位置关系如图所示抛物线 y=pxx+qx 与 x 轴的交点为(0，0)及(- q/p，0)，面积又知抛物线与直线相切，因此二者的公共点唯一，从而方程组 有唯一解，可推知 px2+(q+1)x-5=0 的根的判别式为 0，即=(q+1) 2+20p=0，可解得 p=-1/20(1+q)2由此令dS/dq=0，则 q=3当 0q3 时，S (q)0；当 q3 时，S (q)0；所以 q=3 时，S(q)取极大值，也即最大值，此时 p=- 5/4，S max=225/3219 【正确答案】 先求方向 n 的方向余弦，再求 gradu，最后按方向导数的计算公式求出 曲面 2x2
12、+3y2+z2=6 上点 P(1，1，1)的法向量为4x，6y，2z P=22，3，1，在 P 点指向外侧，取正号，并单位化得20 【正确答案】 () 由题设，已知 A 为 n 阶实对称矩阵，从而上式两边可转置，已知 r(A)=n，从而A0，A 可逆，且 A-1= 则由(1)式知f(x1，x 2， xn)=xTA-1X 且(A -1)T=(AT)-1=A-1， 故 f(x1，x 2，x n)=xTA-1X 是f(X)的矩阵表示，且相应矩阵为 A-1，证毕()由于(A -1)TAA-1=(AT)-1 层=A -1，则A-1 与 A 合同，于是 g(X)与 XTAX 与 f(X)有相同规范形，得证21 【正确答案】 22 【正确答案】 由已知条件知，事件N(t)=k 表示设备在任何长为 t 的时间内发生k 次故障，其概率为 PN(t)=k= (I)由于 T 是非负随机变量，所以当 t0 时，事件T t与事件N(t)=0等价，因此 F(t)=PTt=1-PTt=1-PN(t)=0=1- =1-e-t因此 F(t)= ，即 T 服从参数为 的指数分布23 【正确答案】 如图，由 f(x，y)=当 x0 或 y0 时，F(x，y)=0；当 0x1，0y1 时，当 x1，0y1 时，当 x1，y1 时，F(x，y)=1 所以，X 和 Y 的联合分布函数 F(x，y)=
