1、考研数学（数学一）模拟试卷 284 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 则当 x0 时，f(x) 是 g(x)的( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但不等价的无穷小2 设周期函数 f(x，y)在(-，+)内可导，周期为 4，又 则曲线 y=f(x)在点(5，f(5)处的切线的斜率为( )（A）1/2（B） 0（C） -1（D）-23 设函数 f(x， y)连续，F(u，v)= ，其中区域 Duv 为图中阴影部分，则 =( )（A）vf(u 2)（B） v/u f(u2)（C） vf(u)（D）v/u f(u)
2、4 设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 ，则函数f(x，y)在点(0，0)处( )（A）取极大值（B）取极小值（C）不取极值（D）无法确定是否有极值5 设 a1，a 2，a s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，则下列选项正确的是( )（A）若 a1， a2，a s 线性相关，则 Aa1，A 2， ，A s 线性相关（B）若 a1，a 2，a s 线性相关，则 Aa1，A 2，A s 线性无关（C）若 a1，a 2，a s 线性无关，则 Aa1，A 2，A s 线性相关（D）若 a1， a2，a s 线性无关，则 Aa1，A 2， ，A s 线性无关6 设 A，B 为同
3、阶可逆矩阵，则( )（A）AB=BA（B）存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B（C）存在可逆矩阵 C，使 CTAC=B（D）存在可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ=B7 设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，对给定的 a(0，1)，数 ua 满足 PXu a=a，若 PXx=a ，则 x 等于( ) （A）u a/2（B） u1- a/2（C） u1-a/ 2（D）u 1-a8 设随机变量 XN(0，1)，YN(1 ，4)且相关系数 pXY=1，则( )（A）PY=-2X-1=1（B） PY=2X-1=1（C） PY=-2X+1=1（D）PY=2X+1=1二、填空题9 设 ，其中 f 可导
4、，且 f(0)0, 则 dy/dx t=0=_10 函数 u=x2-2yz 在点(1，-2，2)处的方向导数量大值为_11 设函数 z=z(x，y)由方程 F(x-az，y-bz)=0 所给出，其中 F(u，v)任意可微，则=_12 =_13 设 A= ，a=(a，1，1) T，已知 Aa 与 a 线性相关，则 a=_14 设随机变量 X 服从于参数为(2，p)的二项分布，随机变量 Y 服从于参数为(3，p)的二项分布，若 PX1=5/9，则 PY1=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 求函数 I(x)= 在区间e，e 2上的最大值17 设函数 f(x，y)在 D：
5、x 2+y21 有连续的偏导数，且在 L：x 2+y2=1 上有 f(x，y)0证明： f(0，0)= ，其中 D2：r 2x2+y2118 试证明函数 f(x)=(1+ 1/x)x 在区间(0 ，+)内单调增加19 设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知MA=OA，且 L 经过点(3/2，3/2) ，求 L 的方程20 已知线性方程组 ()a，b 为何值时，方程组有解?()方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系； ()方程组有解时，求出方程组的全部解21 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，3，矩阵 A 的
6、属于特征值 1，2 的特征向量分别是 a1=(-1，-1，1) T，a 2=(1，-2，-1) T ()求 A 的属于特征值 3 的特征向量；()求矩阵 A22 假设 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，已知 E(Xk)=ak(k=1，2，3，4) ，证明：当 n 充分大时，随机变量 Zn= 近似服从正态分布，并指出其分布参数23 设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0， 2)的简单随机样本，其样本均值为，记 Yi=Xi- ，i=1，2，n (I)求 Yi 的方差 D(Yi)，i=1 ，2，n； ( )求Y1 与 Yn 的协方差 cov(Y1，Y n)； ()若
7、c(Y1+Yn)2 是 2 的无偏估计量，求常数 c考研数学（数学一）模拟试卷 284 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为，所以 f(x)是 g(x)的高价无穷小，因而选 (B)2 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，f(x)的周期为 4，则所求点(5f(5) 处切线的斜率应该与(1f(1)处的斜率相同，则由导数定义知 即为所求斜率，又由所以点(5 ，f(5) 处切线的斜率为 -2选(D)3 【正确答案】 A【试题解析】 在极坐标系下，选(A)4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 ，根据极限保号性，存在 0，当0
8、时，有 ，而 x2+1-xsinyx 2-x+1=(x-1/2)2+3/40，所以当 ，有 f(x，y)-f(0，0)0，即 f(x，y)f(0，0)，所以 f(x，y)在点(0，0)处取极大值，选 (A)5 【正确答案】 A【试题解析】 用秩的方法判断线性相关性 因为(Aa 1，Aa 2，Aa s)=A(a1，a 2，a s)，所以 r(Aa1，Aa 2，Aa s)r(a1，a 2，a s)，又若a1，a 2，a s 线性相关，则 r(a1，a 2，a s)s ，从而 r(Aa1，Aa 2，Aa s)s 所以 Aa1，Aa 2，Aa s，线性相关，故选(A)6 【正确答案】 D【试题解析】
9、由题设，选项(A)表示可逆矩阵乘法满足交换律，显然不能成立； (B)表示 A 与 B 相似，(C)表示 A 与 B 合同，这都是不成立的，所以(A) ，(B)，(C)皆可排除；关于(D) ，设 A，B 的逆矩阵分别为 A-1， B-1，则有 BAA-1=B，取P=B，Q=A -1，则 PAQ=B，从而(D)成立综上，选(D)7 【正确答案】 C【试题解析】 由题设，XN(0，1)则 PXu a=1-(a)=a，即 (ua)=1-a，其中(x)为 N(0，1)的分布函数，从而 PXx=2(x)-1=a ，即，综上知 x=u1-a /2，选(C)8 【正确答案】 D【试题解析】 设 Y=aX+b，
10、因为相关系数 pXY=1 所以 X，Y 正相关，即有 a0 又 XN(0 ，1) ，YN(1， 4)，则 E(X)=0，D(X)=1，E(Y)=1，D(Y)=4， 从而 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=b=1，D(Y)=D(aX+b)=a 22D(X)=a2=4 解得 a=2，b=1，故应选(D)二、填空题9 【正确答案】 3【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 函数 u=x2-2yz 在点(1，-2，2)处的方向导数的最大值即为函数 u=x2-2yz 在点(1，-2，2)处的梯度的模，而 gradu (1-2 ，2) =2x，-2x，-2y (1-2，2)=1，-4，4，
11、方向导数的最大值为11 【正确答案】 1【试题解析】 因 故12 【正确答案】 /12【试题解析】 13 【正确答案】 1【试题解析】 Aa= ，由于 Aa 与 a 线性相关，则存在数k0使 Aa=ka，即 a=ka，2a+3=k ，3a+4=k 三式同时成立，解此关于 a，k 的方程组可得 a=-1，k=114 【正确答案】 19/27【试题解析】 因 PX1=5/9，故 1-PX=0=1-C20(1-p)2=5/9， 解得 p=1/3，故PY1=1-PY=0=1-C 30(1/3)0(2/3)3=19/27三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 因为所以
12、 单调减少，而 a0，即 是单调减少有下界的数列，根据极限存在准则，()由()得 0对级数因为存在，所以级数根据比较审敛法，级数16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 由 只需证明，对于任意 x(0， +)，方括号中的值大于 0，记故函数 g(x)在 (0，+)上单调减少，由于 可见，对于任意 x(0，+)，有 g(x)= ，从而 f(x)0，x(0，+) 于是函数 f(x)在(0，+)上单调增加19 【正确答案】 设点 M 的坐标为(x，y)，则切线 MA：Y-y=y (X-x) 令 X=0，则Y=y-xy，故 A 点的坐标为(0，y-xy )，所以 C=3，再由曲线经过
13、第一象限得曲线方程为20 【正确答案】 () 考虑方程组的增广矩阵因此，当 b-3a=0 且2-2a=0 即 a=1，且 b=3 时，方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，故 a=1，b=3时，方程组有解 () 当 a=1，b=3，有因此，原方程组的同解方程组为 得导出组的基础解系为 1()令 x3=x4=x5=0，得原方程组的特解 =于是原方程组的全部解为 ，其中c1、c 2、c 3 为任意常数21 【正确答案】 () 由题设，实对称矩阵 A 的三个特征值不同，则相应的特征向量彼此正交，设 A 的属于特征值 3 的特征向量为 a3=(x1，x 2，x 3)T，则 a1Ta3=0 且a2Ta3=
14、0，写成线性方程组的形式为 ，可解得 ，其中 C 为任意非零常数，所以 A 的属于特征值 3 的特征向量为 a3=C(1，0，1) T()由于实对称阵必可对角化，即存在可逆矩阵 P，使 P-1AP= 且由前述可令P= ，因此 A=P 先求出 P-1= 则 A=22 【正确答案】 依题意 X1，X 2，X n 独立同分布，可知 X12，X 22，X n2，也独立同分布，由 E(Xk)=ak(k=1，2，3，4)有 E(i2)=a2，D(X i2)=E(Xi4)-E2(Xi2)=a4-a22，i=1，2，n于是 因此根据独立同分布的(列维- 林德伯格)中心极限定理，当 n 充分大时，故当 n 充分大时， 近似服从参数为的正态分布23 【正确答案】 根据题意设 X1，X 2，X n 以是一个简单随机样本，因此X1，X 2，X n 以相互独立，且与总体同分布，从而可知()因为 X1，X 2，X n 相互独立，所以 cov(Xi，X j)又由协方差的性质 cov(Y1，Y n)类似地，所以()因为 E(Y1+Yn)=E(Y1)+E(Yn)=0，所以若 c(Y1+Yn)2 是 2 的无偏估计量，则 c 应满足等式 2=Ec(Y1+Yn)2=cE(Y1+Yn)2= 由此解得
