1、考研数学（数学一）模拟试卷 289 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 R 上有定义，且 ，则( )（A）x=0 必是 g(x)的第一类间断点（B） x=0 必是 g(x)的第二类间断点（C）戈 =0 必是 g(x)的连续点（D）g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关2 微分方程 2yy=(y)2 的通解为( )（A）y=(x-c) 2（B） y=c1(x-1)2（C） y=c1+(x-c)2（D）y=c 1(x-c2)23 若正项级数 收敛，则 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性不确定4 设 ，其中
2、D1=(x，y)x 2+y2r2，D2=(x，y) x 2+y22r2，D 3=(x，y)xr，yr 则下列结论正确的是( )（A）I 1I 2 I3（B） I2I 3I 3（C） I1I 3I 2（D）I 3I 2 I15 设 a1，a 2，a 3 是四元非齐次方程组 Ax=b 的三个解向量，且秩 r(A)=3，a 1=(1，2，3，4) T，a 2+a3=(0，1，2，3) T，c 表示任意常数，则线性方程组Ax=b 的通解 x=( )6 n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角阵相似的( )（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要
3、条件7 在电炉上安装了四个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t0，电炉就断电，以 E 表示事件“电炉断电”，设 T(1)T(2)T(3)T(4)为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于( )（A）T (1)t0（B） T(2)t0（C） T(3)t0（D）T (4)t08 设 X1，X 2，X n 为来自总体 N(， 2)的简体随机样本， 为样本均值，记：则服从自由度为 n-1 的 t 分布的随机变量是( ) 二、填空题9 =_10 =_，其中 为曲线 绕 z 轴旋围一周而成曲面与平面 z=2，z=8 所围立体11 =_1
4、2 函数 F(x)= 的单调减少区间 _13 设 A=aij)nn 是正交矩阵，将 A 以行分块为 A=(a1，a 2，a n)T，则方程组AX=b，b=(b 1，b n)T 的通解为 _14 设随机变量 X 的数学期望 E(X)=，方差 D(X)=2，则由切比雪夫不等式，有PX-3_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(x)在1，+)上连续，若由曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体积为 V(t)=/3t2f(t)-f(1)，试求 y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件 y x=2=
5、2/9 的解16 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(x)0，试证存在 ，(a，b)，使得17 求连续函数 f(x)，使它满足 f(x)+20xf(t)=x218 将函数 f(x)=ln(1-x-2x2)展开成 x 的幂级数，并指出其收敛区间。19 已知 f(x)0，f(0)=0，试证：对任意的两正数 x1 和 x2，恒有 f(x1+x2)f(x 1)+f(x2)成立20 设 n 元线性方程组 Ax=b，其中()证明行列式A=(n+1)a n； ()a 为何值时，方程组有唯一解?求 x1； ()a 为何值时，方程组有无穷多解? 求通解21 设 n 阶矩阵 A= ()求
6、 A 的特征值和特征向量； ()求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵22 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的样本，X 的分布密度为 f(x，)=，试用矩估计法估计总体参数 23 假设随机变量 u 在区间-2，2上服从均匀分布，随机变量试求：()X 和 Y 的联合概率分布； ()D(X+Y)考研数学（数学一）模拟试卷 289 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查连续性及间断点的定义，由题设如果 a=0，则 g(x)在 x=0 连续； 如果 a0，则 g(x)在 x=0 不连续，且 x=0 为第一类间断
7、点所以选(D) 2 【正确答案】 C【试题解析】 因为此方程为二阶微分方程，故其通解中应含有 2 个自由常数，故可排除 A、B又 y=c1+(x-c)2 不是方程的解，故排除(C) 3 【正确答案】 C【试题解析】 因为绝对收敛，选(C) 4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 D1 D3 D2，且 e-(x2+y2)0，所以，I 1I 3I 2，(C)为答案5 【正确答案】 C【试题解析】 由题设，Ax=b 的系数矩阵 A 的秩为 3， 因此 Ax=0 的基础解系中只含一个解向量，由于已知 Aa1=b，Aa 2=b，Aa 3=b， 从而 A(2a1)-A(a2+a3)=26-26=0，则 A
8、(2a1-a2-a3)=0， 即 2a1-a2-a3=(2，3，4， 5)T 是 Ax=0 的解，且(2，3， 4，5) T0，因而可作为 Ax=0 的基础解系，所以 Ax=b 的通解为 ，所以选(C)6 【正确答案】 B【试题解析】 若 n 阶方阵 A 有 n 个不同的特征值，则一定有，1 个线性无关的特征向量，从而必相似于对角矩阵，但反之不成立因此 n 阶矩阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角矩阵相似的充分而非必要条件故应选 (B)7 【正确答案】 C【试题解析】 由题设，已知 T(1)T(2)T(3)T(4)， 因此T (1)t0 T(2)t0 T(3)t0T(4)t0， 所以
9、 E=电炉断电 =T(3)t0，T (4)t0 T(3)t0故应选(C)8 【正确答案】 B【试题解析】 因 X1，X 2，X n 为来自总体 N(， 2)的简单随机样本， 为样本均值，由正态总体抽样分布的性质知，并且 U，V 相互独立，于是 服从自由度为 n-1 的 t 分布，故应选 (B)二、填空题9 【正确答案】 0【试题解析】 由级数 收敛知， 因为级数 收敛，因此其通项趋于 010 【正确答案】 336【试题解析】 旋转曲面的方程为：2z=x 2+y2，用先二后一法求解得：11 【正确答案】 -cotxln(sinx)-cotx-z+C【试题解析】 原式=-ln(sinx)d(cot
10、x)=-cotxln(sinx)+cotxdln(sinx) =-cotxln(sinx)+cotx =-cotxln(sinx)+cot2xdx =-cotxln(sinx)+(csc2x-1)dx=-cotxln(sinx)-cotx-z+C12 【正确答案】 0x1/4【试题解析】 F (x)=2- 0，所以 0x1/413 【正确答案】 【试题解析】 因 A 为正交矩阵，故 A-1=AT，而方程组 AX=b 的解为：X=A -1b=(a1T ，a 2TanT)14 【正确答案】 1/9【试题解析】 依切比雪夫不等式 PX-EXDX/ 2， 有 PX-EX3 2/(3)2=1/9三、解答
11、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由题设，旋转体体积应为 1tf2(x)dx，则两边对 t 求导，得 f2(t)=1/32tf(t)+t2f(t)，即 t2f(t)-3f2(t)+2tf(t)=0又由已知 f(2)=2/9，则可解出 C=-1，从而 f(t)=t/(1+t3)，所以 y=f(x)=x/(1+x3)16 【正确答案】 由题设，引入辅助函数，即 g(x)=ex，则 f(x)与 g(x)在区间a，b上满足柯西中值定理的条件，所以知存在一点 (a，b)，使得又 f(x)在区间a，b上满足拉格朗日中值定理的条件，则存在一点 (a，b)，使得 f(b)-f(a)
12、=f()(b-a) (2)将(2)式代入(1)式可得 整理得17 【正确答案】 方程 f(x)+20xf(t)dt=x2 两边对 x 求导得 f(x)+2f(x)=2x，令 x=0，由原方程得 f(0)=0于是，原问题就转化为求微分方程 f(x)+2f(x)=2x 满足初始条件f(0)=0 的特解由一阶线性微分方程的通解公式，得18 【正确答案】 由于 f(x)=ln(1-x-2x2)=ln(1+x)+ln(1-2x)，19 【正确答案】 令 F(x)=f(x+x2)-f(x)-f(x2)， 则 F(x)=f(x+x2)-f(x)=x2f(x+x2)0 (00 1)。 可见，F(x)单调减少，
13、又 x10，故 F(x1)F(0)，即 f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)0 也即 f(x1+x2)f(x 1)+f(x2)20 【正确答案】 () 利用行列式性质，有()若使方程组 Ax=b 有唯一解，则A=(n+1)a n0，即 a0则由克莱姆法则得()若使方程组 Ax=b有无穷多解，则A=(n+1)a n=0，即 a=0把 a=0 代入到矩阵 A 中，显然有 r(A B)=r(A)=n-1，方程组的基础解系含一个解向量，它的基础解系为k(1，0 ，0，0) T(k 为任意常数)代入 a=0 后方程组化为特解取为(0，1，0，0) T，则方程组 Ax=b 的通解为k(1，0 ，0，0
14、) T+(0，1，0，0) T，其中的 k 为任意常数21 【正确答案】 () 由题设，先由特征值多项式A-E=0 求 A 的特征值，即=1-+(n-1)b(1-b)n-1，因此 A 的特征值为 1=1(n-1)b， 2=3= n=1-b当 b0时，对应于 1=1+(n-1) 不难求出1= 是(A- 1E)x=0 的基础解系，从而属于 1 的特征向量为 C1= ，其中 C为任意非 0 常数，对应于 2=3= n=1-b，A-(1-b)E=易得出基础解系为1= 从而特征向量为 C22+C33+Cnn，其中C2，C 3， Cn 是不全为 0 的常数当 b=0 时，A= =E，从而 A-E=0，任意
15、非零向量皆为其特征向量 ()由前述已知，当 b0，A 有 n 个线性无关的特征向量，令 P=(1， 2， 3， n)，则 P-1AP=而当 b=0 时，A=E，任取 P 为可逆矩阵，都有P-1AP=E22 【正确答案】 23 【正确答案】 () 由题设，(X，Y) 的取值有四种可能即 (-1，-1) ，(-1，1)，(1，-1)，(1，1)，由已知 U，在-2，2上均匀分布，即 P(U-1)=1/4，P(U-1) =3/4； P(U1)=3/4，P(v1)=1/4 P(X ，Y)=(-1，-1)=PU-1 ，U1=PU-1=1/4， P(XY)=(-1 ，1)=PU-1 ，U1=0，P(X，Y)=(1，-1)=PU-1，U1=1/2，P(X，Y)=(1，1)=PU-1，U1=PU1=1/4，从而(X ，Y)的分布是由此，X+Y 的分布是且(X+Y) 2 的分布是(E(X+Y)=- 2/4+ 2/4=0 ，从而 D(X+Y)=E(X+Y)2=2
